初中人教版數(shù)學勾股定理經(jīng)典題型分析

勾股定理經(jīng)典題型解析種類一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路點撥:寫解的過程中，必然要先寫上在哪個直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。解析：(1)在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=貫穿交融【變式】:如圖∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,則AB的長是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13,CD=12222∴AC=AD－CD=132－122=25AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得222AB=AC－BC=52－32=16AB=4AB的長是4.種類二：勾股定理的構造應用、如圖，已知：在中，，，.求：BC的長.思路點撥：由條件，想到構造含角的直角三角形，為此作于D，則有，，再由勾股定理計算出AD、DC的長，進而求出BC的長.解析：作于D，則因，∴（的兩個銳角互余）∴（在中，若是一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）.依照勾股定理，在中，.依照勾股定理，在中，..貫穿交融【變式1】如圖，已知：，，于P.求證：.解析：連接BM，依照勾股定理，在中，.而在中，則依照勾股定理有.∴又∵（已知），.在中，依照勾股定理有，.【變式2】已知：如圖，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。解析：如何構造直角三角形是解此題的要點，能夠連接AC，或延長AB、DC交于F，或延長AD、BC交于點E，依照此題給定的角應選后兩種，進一步依照此題給定的邊選第三種較為簡單。解析：延長AD、BC交于E。∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。AE=2AB=8，CE=2CD=4，22222BE=AE-AB=8-4=48，BE==?！逥E2=CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。S四邊形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=種類三：勾股定理的實質應用（一）用勾股定理求兩點之間的距離問題3、以下列圖，在一次夏令營活動中，小明從陣營A點出發(fā)，沿北偏東60°方向走了到達B點，爾后再沿北偏西30°方向走了500m到達目的地C點。1）求A、C兩點之間的距離。2）確定目的地C在陣營A的什么方向。解析：（1）過B點作BE米，Ｈ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．因此高度上有米的余量，因此卡車能經(jīng)過廠門．（二）用勾股定理求最短問題4、國家電力總公司為了改進農(nóng)村用電電費過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進行電網(wǎng)改造，某地有四個農(nóng)村A、B、C、D，且正好位于一個正方形的四個極點，現(xiàn)計劃在四個農(nóng)村聯(lián)合架設一條線路，他們設計了四種架設方案，如圖實線部分．請你幫助計算一下，哪一種架設方案最省電線．思路點撥：解答此題的思路是：最省電線就是線路長最短，經(jīng)過利用勾股定理計算線路長，爾后進行比較，得出結論．解析：設正方形的邊長為1，則圖（1）、圖（2）中的總線路長分別為AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3圖（3）中，在Rt△ABC中EA

同理∴圖（3）中的路線長為圖（4）中，延長EF交BC于H，則由∠FBH＝及勾股定理得：＝ED＝FB＝FC＝

FH⊥BC，BH＝CH∴EF＝1－2FH＝1－∴此圖中總線路的長為

4EA+EF＝3

＞>∴圖（

4）的連接線路最短，即圖（

4）的架設方案最省電線．貫穿交融【變式】如圖，一圓柱體的底面周長為

20cm，高ＡＢ為

4cm，ＢＣ是上底面的直徑．一只螞蟻從點

A出發(fā)，沿著圓柱的側面爬行到點C，試求出爬行的最短行程．解：如圖，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周長的一半＝１０（提問：勾股定理）∴AC＝＝＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）．答：最短行程約為１０．７７cm．

cm，依照勾股定理得種類四：利用勾股定理作長為的線段5、作長為、、的線段。思路點撥：由勾股定理得，直角邊為近似地可作。作法：以下列圖

1的等腰直角三角形，斜邊長就等于，直角邊為和

1的直角三角形斜邊長就是，（1）作直角邊為1（單位長）的等腰直角△ACB，使AB為斜邊；（2）以AB為一條直角邊，作另素來角邊為1的直角。斜邊為；（3）按次這樣做下去，最后做到直角三角形，這樣斜邊、、、的長度就是、、、。貫穿交融【變式】在數(shù)軸上表示的點。解析：能夠把看作是直角三角形的斜邊，，為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù)，而10又是9和1這兩個完好平方數(shù)的和，得其他兩邊分別是3和1。作法：以下列圖在數(shù)軸上找到A點，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC為半徑，以O為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點B即為。種類五：抗命題與勾股定理逆定理、寫出以下原命題的抗命題并判斷可否正確1．原命題：貓有四只腳．（正確）．原命題：對頂角相等（正確）3．原命題：線段垂直均分線上的點，到這條線段兩端距離相等．（正確）4．原命題：角均分線上的點，到這個角的兩邊距離相等．（正確）思路點撥：掌握原命題與抗命題的關系。解析：1.抗命題：有四只腳的是貓（不正確）抗命題：相等的角是對頂角（不正確）3.抗命題：到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直均分線上．

?（正確）4.抗命題：到角兩邊距離相等的點，在這個角的均分線上．

（正確）總結升華：此題是為了學習勾股定理的抗命題做準備。7、若是

ABC的三邊分別為

a、b、c，且滿足

a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷

ABC的形狀。思路點撥：要判斷

ABC的形狀，需要找到

a、b、c的關系，而題目中只有條件

a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有從該條件下手，解決問題。解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0?！?a-3)2≥0,(b-4)2≥0,(c-5)2≥0。a=3，b=4，c=5?！?2+42=52,∴a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形?？偨Y升華：勾股定理的逆定理是經(jīng)過數(shù)量關系來研究圖形的地址關系的

,在證明中也常要用到。貫穿交融【變式1】四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積?！敬鸢浮浚哼B接AC∵∠B=90°，AB=3，BC=4222∴AC=AB+BC=25（勾股定理）∴AC=5222∵AC+CD=169，AD=169222∴AC+CD=AD∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）【變式2】已知:△ABC的三邊分別為m2－n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數(shù),且m＞n),判斷△ABC可否為直角三角形.解析:此題是利用勾股定理的的逆定理，只要證明:a2+b2=c2即可證明：因此△ABC是直角三角形.【變式3】如圖正方形ABCD，E為BC中點，F(xiàn)為AB上一點，且BF=AB。請問FE與DE可否垂直?請說明。【答案】答：DE⊥EF。證明：設BF=a，則BE=EC=2a,AF=3a，AB=4a,EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE222222=CE+CD=4a+16a=20a。連接DF（如圖）DF222222=AF+AD=9a+16a=25a。222∴DF=EF+DE,∴FE⊥DE。經(jīng)典例題精析種類一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長是20，求此直角三角形的面積。思路點撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長度，求面積，能夠先經(jīng)過比值設未知數(shù)，再依照勾股定理列出方程，求出未知數(shù)的值進而求面積。解析：設此直角三角形兩直角邊分別是3x，4x，依照題意得：3x）2+（4x）2＝202化簡得x2＝16；∴直角三角形的面積＝×3x×4x＝6x2＝96總結升華：直角三角形邊的有關計算中，常常要設未知數(shù)，爾后用勾股定理列方程（組）求解。貫穿交融【變式1】等邊三角形的邊長為2，求它的面積。【答案】如圖，等邊△ABC，作AD⊥BC于D則：BD＝BC（等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合）∵AB＝AC＝BC＝2（等邊三角形各邊都相等）∴BD＝1在直角三角形222222ABD中，AB＝AD+BD，即：AD＝AB－BD＝4－1＝3∴AD＝S△ABC＝BC·AD＝注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長為a，則其面積為a?！咀兪?】直角三角形周長為12cm，斜邊長為5cm，求直角三角形的面積?！敬鸢浮吭O此直角三角形兩直角邊長分別是x，y，依照題意得：由（1）得：x+y＝7，2x+y）＝49，x+2xy+y＝49(3)－(2)，得：xy＝122∴直角三角形的面積是2xy＝×12＝6（cm）【變式3】若直角三角形的三邊長分別是n+1，n+2，n+3，求n。思路點撥：第一要確定斜邊（最長的邊）長n+3，爾后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜邊長為n+3，由勾股定理可得：222（n+1）+（n+2）＝（n+3）2化簡得：n＝4∴n＝±2，但當n＝－2時，n+1＝－1<0，∴n＝2總結升華：注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜邊的情況下，第一要先確定斜邊，直角邊?！咀兪?】以以下各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（）A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來進行判斷，對數(shù)據(jù)較大的能夠用c2＝a2+b2的變形：b2＝c2－a2＝（c－a）（c+a）來判斷。比方：關于選擇D，82≠（40+39）×（40－39），∴以8，39，40為邊長不能夠組成直角三角形。同理能夠判斷其他選項。【答案】：A【變式5】四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。解：連接AC∵∠B=90°，AB=3，BC=4222∴AC=AB+BC=25（勾股定理）∴AC=5222∵AC+CD=169，AD=169222∴AC+CD=AD∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）∴S四邊形=S+S=AB·BC+AC·CD=36ABCD△ABC△ACD種類二：勾股定理的應用2、如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且∠QPN＝30°，點A處有一所中學，AP＝160m。假設拖拉機行駛時，周圍100m以內(nèi)會碰到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校可否會碰到噪聲影響？請說明原由，若是受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，那么學校受影響的時間為多少秒？思路點撥：（1）要判斷拖拉機的噪音可否影響學校A，實質上是看A到公路的距離可否小于100m,小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計算其長度。（2）要求出學校受影響的時間，實質是要求拖拉機對學校A的影響所行駛的行程。因此必定找到拖拉機行至哪一點開始影響學校，行至哪一點后結束影響學校。解析：作AB⊥MN，垂足為B。在RtABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°，AP＝160，AB＝AP＝80。（在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半）∵點A到直線MN的距離小于100m,∴這所中學會碰到噪聲的影響。如圖，假設拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛到點C處學校開始碰到影響，那么AC＝100(m)，由勾股定理得：BC2＝1002-802＝3600,∴BC＝60。t

同理，拖拉機行駛到點D處學校開始走開影響，那么，∴CD＝120(m)。拖拉機行駛的速度為:18km/h＝5m/s＝120m÷5m/s＝24s。

AD＝100(m)，BD＝60(m),答：拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校會碰到噪聲影響，學校受影響的時間為24秒?？偨Y升華:勾股定理是求線段的長度的很重要的方法,若圖形缺少直角條件,則能夠經(jīng)過作輔助垂線的方法,構造直角三角形以便利用勾股定理。貫穿交融【變式1】如圖學校有一塊長方形花園，有極少許人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們不過少走了__________步路（假設2步為1m），卻踩傷了花草。解析：他們原來走的路為3+4＝7(m)設走“捷徑”的路長為xm，則故少走的路長為7－5＝2(m)又因為2步為1m，因此他們不過少走了4步路。【答案】4【變式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個小三角形都是邊長為

1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。1）直接寫出單位正三角形的高與面積。2）圖中的平行四邊形ABCD含有多少個單位正三角形？平行四邊形ABCD的面積是多少？3）求出圖中線段AC的長（可作輔助線）?！敬鸢浮浚?）單位正三角形的高為，面積是。2）如圖可直接得出平行四邊形ABCD含有24個單位正三角形，因此其面積。3）過A作AK⊥BC于點K（以下列圖），則在Rt△ACK中，，，故種類三：數(shù)學思想方法（一）轉變的思想方法我們在求三角形的邊或角，或進行推理論證時，常常作垂線，構造直角三角形，將問題轉變成直角三角形問題來解決．3、以下列圖，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求線段EF的長。思路點撥：現(xiàn)已知BE、CF，要求EF，但這三條線段不在同一三角形中，因此要點是線段的轉變，依照直角三角形的特色，三角形的中線有特