數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）拉格朗日中值定理的一些應(yīng)用

畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目：拉格朗日中值定理的一些應(yīng)用姓名：學(xué)號(hào)：教學(xué)院：數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院專業(yè)班級(jí)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2008級(jí)本2班指導(dǎo)教師：完成時(shí)間：2012年4畢節(jié)學(xué)院教務(wù)處制拉格朗日中值定理的一些應(yīng)用摘要：本文主要論述拉格朗日中值定理在基礎(chǔ)理論、函數(shù)極限計(jì)算、不等式證明、恒等式證明、根的存在性的判別以及其他方面等的應(yīng)用.通過(guò)構(gòu)造函數(shù)并結(jié)合極限理論和不等式的知識(shí)給出證明,并給出實(shí)例進(jìn)行說(shuō)明.關(guān)鍵詞：拉格朗日中值定理洛爾定理柯西中值定理連續(xù)SeveralapplicationofLagrange'smeanvaluetheoremCandidate:ZhangdaofangMajor:Mathematicsandappliedmathematicsgrade2008class2StudentNo.:04310801015Advisor:LiutaoAbstract：ThispapermainlydiscussestheLagrangemeanvaluetheoreminthebasictheory,computingfunctionlimit,inequalityproof,identity,existenceofrootsofdiscriminationandotheraspectsoftheapplication.Throughtheconstructorandthecombinationofthelimittheoryandinequalityofknowledgehasbeengiven,andgivesexamplestoillustrateKeywords:Lagrange'smeanvaluetheorem;Esmololtheorem;Cauchymeanvaluetheorem;Continuous目錄引言 11.預(yù)備知識(shí) 1拉格朗日中值定理 1拉格朗日中值定理的幾何意義 1拉格朗日中值定理的推廣 12..拉格朗日中值定理的一些應(yīng)用 2拉格朗日中值定理在基礎(chǔ)理論中的應(yīng)用 2拉格朗日中值定理在函數(shù)極限運(yùn)算中的應(yīng)用 3拉格朗日中值定理在函數(shù)極限運(yùn)算中的應(yīng)用 42.4利用拉格朗日中值定理證明恒等式. 5利用拉格朗日中值定理判別根的存在性 6拉格朗日中值定理在其他方面的應(yīng)用 73.小結(jié) 84.致謝 10引言拉格朗日中值定理是微分學(xué)最重要的定理之一,又稱為微分中值定理.它是溝通函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間的橋梁,是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)局部性研究函數(shù)整體性的重要工具.利用微分中值定理可用巧妙地解決一些問(wèn)題,下面將論述拉格朗日中值定理在幾個(gè)方面的應(yīng)用.1.預(yù)備知識(shí)拉格朗日中值定理若函數(shù)滿足如下條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo).則在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得.拉格朗日中值定理的幾何意義若閉區(qū)間內(nèi)有一條連續(xù)曲線,曲線上每一點(diǎn)都存在切線,則曲線上至少存在一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的切線平行于過(guò)點(diǎn)的直線.1.3拉格朗日中值定理和洛爾定理洛爾定理：若函數(shù)滿足如下條件：(1)在閉區(qū)間上連續(xù),(2)在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo),(3)則在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得.通過(guò)比較可知洛爾定理是拉格朗日中值定理的當(dāng)時(shí)的特殊形式.1.4拉格朗日中值定理的推廣柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣,而拉格朗日中值定理是柯西中值定理中時(shí)的特殊情況.柯西中值定理：若函數(shù)與滿足下列條件:(1)在閉區(qū)間上連續(xù),(2)在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo),且對(duì),有,則在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得 泰勒定理若函數(shù)在區(qū)間上存在直到階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),在內(nèi)存在階導(dǎo)數(shù),則對(duì)任意給定的,,至少存在一點(diǎn),使得其中2..拉格朗日中值定理的一些應(yīng)用拉格朗日中值定理在基礎(chǔ)理論中的應(yīng)用函數(shù)為常數(shù)的判別法：如果在區(qū)間內(nèi),則在內(nèi)為一常數(shù).證明：在內(nèi)任取兩點(diǎn)和,設(shè),則在上函數(shù)滿足拉格朗日中值定理,從而有,介于與,特別有,故,即.這個(gè)等式對(duì)內(nèi)任取兩點(diǎn)和都成立,說(shuō)明在內(nèi)為一常數(shù).單調(diào)性判別：設(shè)函數(shù)在內(nèi)內(nèi)恒有,則在內(nèi)是遞增的.證明：在內(nèi)任取兩點(diǎn)和,設(shè),則在上函數(shù)滿足拉格朗日中值定理,從而有,介于與,于是.這表明,即函數(shù)是增函數(shù).導(dǎo)數(shù)的極限：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)的極限：（*）存在（也可為）,則在點(diǎn)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在且等于,證明：取（使）,計(jì)算.作比,取極限,當(dāng)時(shí),由（*）式得依定義有.曲線凸性判別法:設(shè)函數(shù)在內(nèi)恒有,則曲線在該區(qū)間內(nèi)是凸向下的.證明：設(shè)是內(nèi)任意的一點(diǎn),則曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程為在內(nèi)任取兩點(diǎn)不同于的一點(diǎn),則依定義需要證明,為此我們來(lái)考慮這個(gè)差值（介于與之間）（介于與之間）(**)如此借助于中值定理所獲得的等式(**),就把關(guān)于曲線凸向下的研究,即關(guān)于差符號(hào)的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)于函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)的研究.由此可證所述.小結(jié)：拉格朗日中值定理在上述基礎(chǔ)理論中的應(yīng)用非常廣泛,所以有必要對(duì)其應(yīng)用加以理解和重視.拉格朗日中值定理在函數(shù)極限運(yùn)算中的應(yīng)用2.2.分析：此極限滿足“”型,可用羅必達(dá)法則求解,但是用羅必達(dá)法則則須求很多次導(dǎo)數(shù)之比,非常麻煩,通過(guò)觀察此極限發(fā)現(xiàn)它是“”型,只須令函數(shù),則在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件,解：,由于在上連續(xù),所以從而有依定義有.曲線凸性判別法:設(shè)函數(shù)在內(nèi)恒有,則曲線在該區(qū)間內(nèi)是凸向下的.證明：設(shè)是內(nèi)任意的一點(diǎn),則曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程為在內(nèi)任取兩點(diǎn)不同于的一點(diǎn),則依定義需要證明,為此我們來(lái)考慮這個(gè)差值（介于與之間）（介于與之間）(**)如此借助于中值定理所獲得的等式(**),就把關(guān)于曲線凸向下的研究,即關(guān)于差符號(hào)的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)于函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)的研究.由此可證所述.小結(jié)：拉格朗日中值定理在上述基礎(chǔ)理論中的應(yīng)用非常廣泛,所以有必要對(duì)其應(yīng)用加以理解和重視.拉格朗日中值定理在函數(shù)極限運(yùn)算中的應(yīng)用2.2.分析：此極限滿足“”型,可用羅必達(dá)法則求解,但是用羅必達(dá)法則則須求很多次導(dǎo)數(shù)之比,非常麻煩,通過(guò)觀察此極限發(fā)現(xiàn)它是“”型,只須令函數(shù),則在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件,解：,由于在上連續(xù),所以從而有分析：通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)此不等式為“”,則在區(qū)間和上滿足拉格朗日中值定理的條件.證明：,由于,則可知,即小結(jié):在證明不等式時(shí),出現(xiàn)“”和“”的形式,并且在和上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件,則可以將不等式根據(jù)拉格朗日中值定理進(jìn)行變換在證明；若在不等式的兩邊出現(xiàn)“”型,另一邊出現(xiàn)“”型,則可將不等式變形為含“”在和“”型，則構(gòu)造“”型.利用拉格朗日中值定理證明恒等式.例.證明等式：證明：設(shè),則在（-1,1）內(nèi)恒有于是在（-1,1）內(nèi).又因?yàn)?所以,即于是在（-1,1）內(nèi)恒有.又由于,從而在[-1,1]內(nèi)恒有小結(jié)：在證明恒等式時(shí),若等式中出現(xiàn)：“”或“”的形式時(shí),均可考慮運(yùn)用拉格朗日中值定理進(jìn)行證明.2.5利用拉格朗日中值定理判別根的存在性2證明：若方程有正根,則方程必存在小于的正根.證明：令,則可知且在上連續(xù),根據(jù)拉格朗日中值定理（或羅爾定理）可知,至少存在一個(gè)有,且,則可知方程至少存在一個(gè)根,且,故證畢

.2方程在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有兩個(gè)不同的根.證明：運(yùn)用反證法,假設(shè)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)相同的根,且.令,則在區(qū)間上連續(xù),則有在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理（或羅爾定理）的條件,則有存在使得即存在使得.而即,解得,又.則假設(shè)不成立,故原命題得證.小結(jié)：在討論函數(shù)根的存在性問(wèn)題時(shí),可利用函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,借助拉格朗日中值定理（或羅爾定理）判別某些函數(shù)根的存在性.當(dāng)需要判別某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間是否有根時(shí),若此函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù),則看該函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是否有兩個(gè)或者有兩個(gè)以上的點(diǎn)的函數(shù)值相等.若存在,則其導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間有根；若不存在,則其導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間無(wú)根.當(dāng)需要判別某個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否有根時(shí),則看起導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間上是否存在導(dǎo)數(shù)值為零的點(diǎn).若存在使其導(dǎo)函數(shù)值為零的點(diǎn),則原來(lái)的函數(shù)可能有根;若不存在使其導(dǎo)函數(shù)值為零的點(diǎn),則原來(lái)的函數(shù)一定不存在根.這不是一個(gè)充要條件,,說(shuō)明利用拉格朗日中值定理判別根有局限性.2.6拉格朗日中值定理在其他方面的應(yīng)用證明的方法例：設(shè)函數(shù)在[0,1]是上連續(xù),在上可導(dǎo),有,且存在.使得.證明一定存,使得證明：作輔助函數(shù),由于,,有在上連續(xù),根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)根的存在性定理可知,存在,使得,于是函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)且,此即.小結(jié)：證明存在一點(diǎn),使得的證明方法有如下幾種：1、作輔助函數(shù),驗(yàn)證在上滿足洛爾定理的條件,由定理的結(jié)論就得到了命題的證明；2、應(yīng)用拉格朗日中值定理,證等式的一邊化為,另一邊轉(zhuǎn)化為證明存在和滿足某種關(guān)系式的方法.例：設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,證明：存在,,使得.證明：作輔助函數(shù),則在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,故由洛爾定理知,使得,此即從而令得小結(jié)：證明存在和滿足某種關(guān)系式的方法是：1、或者用兩次拉格朗日中值定理；2、或者用一次拉格朗日中值定理和一次洛爾定理；3、或者用兩次柯西中值定理；4、或者用一次拉格朗日中值定理和一次柯西中值定理.在證明中藥對(duì)待證等式進(jìn)行證明,讓后將待證等式中的或變?yōu)?再根據(jù)待證等式就可以做出輔助函數(shù)了.中值不等式例：設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且，證明：若不恒為常數(shù),則在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得.證明：因?yàn)榍也缓銥槌?shù),所以至少存在一點(diǎn),使得,于是或不妨設(shè),則在上應(yīng)用拉格朗日中值定理可知,至少存在一點(diǎn),使得小結(jié)：證明中值不等式的方法與上述證明等式的方法相似，此處不再一一說(shuō)明.3.小結(jié)本文從數(shù)學(xué)分析中常用的幾個(gè)方面概述了拉格朗日中值定理的應(yīng)用,以便讀者更好的理解拉格朗日中值定理.拉格朗日中值定理的應(yīng)用時(shí)一個(gè)龐大的研究課題,加上我自身理論、能力方面的欠缺.所以本文中還有很多的不足和無(wú)法涉及的內(nèi)容,懇請(qǐng)批評(píng).參考文獻(xiàn)[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué).高等數(shù)學(xué)[M].同濟(jì)大學(xué)出版社.2004.132.[2]數(shù)學(xué)分析講義[M].劉玉璉編.高等教育出版社.2007年5月(第五版).[3]數(shù)學(xué)分析的理論、方法與技巧[M].鄧樂(lè)斌編,華中科技大學(xué)出版社.(2005年12月第一版)[4]簡(jiǎn)明微