河北省唐山市高三數(shù)學(xué)三模試卷含答案解析

高三數(shù)學(xué)三模試卷一、單項選擇題，設(shè)集合A.

{2}是虛數(shù)單位，A.

-2，那么C.〔 〕B.D.，假設(shè)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，那么〔 〕B.

2C.D.角 的始邊與x

軸非負半軸重合，終邊過點B.，那么〔 〕C.D.，那么 〔 〕B.雙曲線C：

的左、右焦點分別為C.D.、 ，O

為坐標(biāo)原點，點P

在

C的一條漸近線上，假設(shè) ，那么 的面積為

〔 〕A. B. C. D.6. 〔其中 〕的展開式的常數(shù)項與其各項系數(shù)之和相等，那么其展開式中A.-45 B.

45 C.

-180 D.

180的系數(shù)為〔

〕7.赤道式日晷(guǐ〕是利用日影變化規(guī)律制成的天文記時儀器〔如下左圖)，“日〞指“太陽〞，“晷〞表示“影子〞，“日晷〞的意思為“太陽的影子〞.晷針在晷面上的日影自西向東慢慢移動，晷面的刻度〔如下右圖〕是均勻的，移動的晷針日影猶如現(xiàn)代鐘表的指針，日影落在晷面相應(yīng)的刻度上便可讀取時間.晷面上刻有十二個時辰，用十二地支表示，每個時辰大約

2

小時，正子時表示凌晨

0

點左右，那么下右圖表示的時間大約是幾點鐘？假設(shè)再過

31

個小時大約是哪個時辰？

〔 〕A.

4

點，戌時B.

5

點，亥時C.

9

點，申時D.

10

點，酉時8.函數(shù)，那么不等式的解集為〔

〕A.C.B.D.二、多項選擇題9.函數(shù)，假設(shè)，且，那么以下不等式成立得有〔

〕A. B.10.以下說法正確的選項是〔

〕C.D.某投擲類游戲闖關(guān)規(guī)那么是游戲者最多投擲

5

次，只要有一次投中，游戲者即闖關(guān)成功，并停止投擲，每次投中的概率為 ，那么游戲者闖關(guān)成功的概率為從

10

名男生、5

名女生中選取

4

人，那么其中至少有一名女生的概率為C.

隨機變量X

的分布列為，那么D.

假設(shè)隨機變量，且.那么，11.將邊長為

2

的正方形沿對角線折成直二面角，如下列圖，點分別為線段 的中點，那么〔 〕A.B.與所成得角為C.

過且與平行得平面截四面體所得截面的面積為D.四面體 的外接球的外表積為

8π拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出：反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點，拋物線

r： ，O

為坐標(biāo)原點，一束平行于

x

軸的光線 從點 射入，經(jīng)過r

上的點 反射后，再經(jīng)

r

上另一點反射后，沿直線 射出，經(jīng)過點

Q，那么〔 〕B.C.PB

平分 D.延長AO

交直線 于點

C，那么

C，B，Q

三點共線三、填空題13.等差數(shù)列 的前

n

項和為 ， ， ，那么

．中，在

．四棱錐，點P

為線段AC

上的動點， ，那么 的取值范圍是的底面是正方形，側(cè)棱長均為

3，那么該四棱錐的體積的最大值為

．恰有一個解，那么實數(shù)

a

的取值范圍是

．16.關(guān)于x

的不等式四、解答題17.如下列圖，在梯形ABCD

中，，，點E

是AD

上一點，，.〔1〕求的大小；〔2〕假設(shè)的面積為，求

BC.18.假設(shè)數(shù)列及滿足且，.〔1〕證明：〔2〕求數(shù)列；的通項公式.19.在四棱錐中，，，，，，，.〔1〕證明：平面；〔2〕假設(shè)二面角 的余弦值為 ，求直線

PB

與平面PCD

所成角的正弦值.20.某病毒在進入人體后有潛伏期，患者在潛伏期內(nèi)無任何病癥，但已具傳染性.假設(shè)一位病毒攜帶者在潛伏期內(nèi)每天有

n

位密接者，每位密接者被感染的概率為

p，參考數(shù)據(jù)： ， ， ， ， .〔1〕假設(shè) ， ，求一天內(nèi)被一位病毒攜帶者直接感染人數(shù)

X

的分布列和均值：〔2〕某定點醫(yī)院為篩查某些人員是否感染此病毒，需要檢測血液樣本是否為陽性，有以下兩種檢驗方式：①逐份檢驗，即k

份血液樣本需要檢驗

k

次；②混合檢驗，即將k

份〔

且

〕血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，假設(shè)檢驗結(jié)果為陰性，那么這

k份血液樣本全為陰性，因而這k

份血液樣本只要檢驗一次就夠了：如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這

k份血液樣本究競哪份為陽性，就要對

k份血液樣本再逐份檢驗，此時這

k

份血液樣本的檢驗次數(shù)為k+1

次.假設(shè)樣本的檢驗結(jié)果相互獨立，且每份樣本檢驗結(jié)果是陽性的概率為 ，為使混合檢驗需要的檢驗的總次數(shù)21.函數(shù)〔1〕求函數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù) 的期望值更少，求

k

的取值范圍..的單調(diào)區(qū)間；〔2〕設(shè)

，證明：22.在直角坐標(biāo)系

中，相切于

P，Q，R，且.， ，C

為動點，設(shè)，記點

C

的軌跡為曲線

E.的內(nèi)切圓分別與邊

AC，BC，AB〔1〕求曲線E

的方程；〔2〕不過原點O

的直線

l

與曲線

E

交于

M，N，且直線經(jīng)過

MN

的中點

T，求的面積的最大值.答案解析局部一、單項選擇題1.【解析】【解答】故答案為：B．，，

故，【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出集合

B，再利用條件，從而結(jié)合交集的運算法那么，進而求出集合A

和集合B

的交集。2.【解析】【解答】由題意，又由為純虛數(shù)，所以，解得。故答案為：A.【分析】利用條件結(jié)合復(fù)數(shù)的乘除法運算法那么，從而求出復(fù)數(shù)的代數(shù)表達式，再利用復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的判斷方法，從而求出a

的值。3.【解析】【解答】由正弦、余弦函數(shù)的定義有，，所以。故答案為：B.【分析】利用條件結(jié)合三角函數(shù)的定義，再結(jié)合二倍角的正弦公式，從而求出4.【解析】【解答】因為 ，所以，即的值。，所以 ，故答案為：B.【分析】利用對數(shù)的換底公式，求解。中，5.【解析】【解答】雙曲線C：因 ，那么點P

在線段， ，漸近線方程：上，那么P

點縱坐標(biāo)y0

有，的中垂線：，所以三角形面積。故答案為：C【分析】利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點的位置，進而求出

a,b的值，再結(jié)合雙曲線中

a,b,c

三者的關(guān)系式，從而求出c

的值，進而求出焦點的坐標(biāo)和漸近線方程，因

，那么點P

在線段

的中垂線 上，從而結(jié)合中點的坐標(biāo)公式結(jié)合兩直線垂直斜率之積等于-1，再結(jié)合代入法求出P

點縱坐標(biāo)y0，再利用三角形面積公式，從而求出三角形 面積

。6.【解析】【解答】由于 〔其中 〕的展開式的通項公式為，當(dāng)?shù)贸?shù)項為

1，令，各項系數(shù)之和為，由題意知，得或，解得，，所以或又所以，，所以其展開式中的系數(shù)為。故答案為：D.【分析】利用二項式定理求出展開式中的通項公式，從而求出展開式中的常數(shù)項，再利用賦值法令，從而求出各項系數(shù)之和，再利用

〔其中

〕的展開式的常數(shù)項與其各項系數(shù)之和相等，從而求出a

的值，再結(jié)合展開式中的通項公式，從而求出展開式中 的系數(shù)。7.【解析】【解答】解：圖中指針落在“辰〞、“巳〞之間，因為辰代表

8

點，巳代表

10

點，所以圖示位置大約為

9

點，再過

31

個小時，那么一共經(jīng)過了 小時，而

40

除以

24，商

1

余

16，16

除以

2

等于

8

，所以從“子〞開始順時針數(shù)

8

個，到達“申〞時。故答案為：C【分析】利用條件結(jié)合函數(shù)的周期性，再結(jié)合除法求余的方法，從而求出圖示位置大約為

9

點和從“子〞開始順時針數(shù)

8

個，到達“申〞時。，8.【解析】【解答】由得即整理得：,，所以 ，解得。故答案為：D.【分析】利用函數(shù)的解析式結(jié)合代入法和求和法，得出，

再利用 ，得出 ，

再利用，

再利用一元二次不等式求解集的方法，從而求出

不等式指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，所以的解集。二、多項選擇題，即，也即，所以，即，故答案為：項

A

符合題意.，所以時取得等號，當(dāng)9.【解析】【解答】A.

由由 ，那么B.

由A

的推導(dǎo)可得當(dāng)且僅當(dāng)

，即所以時，由，可得與條件矛盾.，B

符合題意.C.,當(dāng)且僅當(dāng),即時，等號成立，

C符合題意.D.

由，那么，那么由 ，那么故答案為：ABC，那么，所以，D

不正確.【分析】利用條件結(jié)合作差比較大小法、均值不等式求最值的方法，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，從而得出不等式成立的選項。10.【解析】【解答】A.

5

次都沒投中的概率為 .所以游戲者闖關(guān)成功的概率為 ，A

符合題意.B.

從

10

名男生、5

名女生中選取

4

人，那么其中至少有一名女生分為：1

名女生

3

名男生、2

名女生

2

名男生、3

名女生

1

名男生和

4

名都是女生四種情況.共有 種情況.而所以其中至少有一名女生的概率為：.B

不正確.C.

由，那么，解得所以，C

符合題意.D.

由隨機變量所以故答案為：AC，那么，,D

不正確.【分析】利用獨立事件乘法求概率公式得出

5

次都沒投中的概率，再利用對立事件求概率公式，從而求出游戲者闖關(guān)成功的概率；利用條件結(jié)合組合數(shù)公式，再結(jié)合分類加法計數(shù)原理結(jié)合古典概型求概率公式，從而求出其中至少有一名女生的概率；利用隨機變量X

的分布列為

結(jié)合的值；利用條件結(jié)合正態(tài)分布對應(yīng)的的值，進而選出說法正確的選項。概率之和等于

1，從而求出a

的值，再利用代入法，從而求函數(shù)的對稱性，從而結(jié)合隨機變量的期望公式和性質(zhì)，從而求出11.【解析】【解答】如圖，取 中點 ，連接 ，由正方形的性質(zhì)得，均為等腰直角三角形，所以，所以是二面角的平面角，因為二面角是直二面角，所以，所以，如圖，以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，，所以，所以，，所以與所成得角為 ，A

選項錯誤；所以，所以所以取不成立，B

選項錯誤；中點 ，連接 ，由中位線定理得所以四邊形，為平行四邊形，且為過 且與 平行得平面截四面體所得截面，由于，所以，所以，所以四邊形為矩形，面積為，C

選項正確；，的外接球的球心，半徑為，的外接球的外表積為因為所以點 即為四面體所以四面體故答案為：CD.，D

選項正確.【分析】利用折疊的方法結(jié)合條件，再利用直二面角的定義和中點的性質(zhì)，從而求出異面直線所成的角，再利用線線垂直的判斷方法、再利用兩直線平行結(jié)合平面截四面體所得截面的方法，再結(jié)合矩形的定義和向量的方法，推出四邊形

為矩形，再利用矩形的面積，從而求出過

且與

平行得即為四面體平面截四面體 所得截面的面積，因為 ，所以點的外接球的球心，進而求出球的半徑，再利用球的外表積公式，從而求出四面體外接球的外表積，進而選出正確選項。12.【解析】【解答】設(shè)拋物線的焦點為 ，那么 .的因為，且軸，故，故直線.由可得，故，A

不符合題意.又，故，故，故，B

符合題意.直線，由可得，故，為等腰三角形，故，，故PB

平分所以

C，B，Q

三點共線，D

符合題意.因為 ，故而 ，故 即故答案為：BCD.，C

符合題意.【分析】設(shè)拋物線的焦點為

，從而利用拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦點坐標(biāo)，因為

且軸，故，所以直線 ，再利用直線與拋物線相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合韋達定理得出，又因為，故

，故 ，再利用兩點距離公式求出A,B

兩點的距離，因為直線

，再利用兩直線相交求交點的方法，可得交點C

的坐標(biāo)，故

，所以C，B，Q

三點共線，因為

，故

為等腰三角形，故

，而，故 ，

即 ，故PB

平分

，從而選出正確的選項。三、填空題13.【解析】【解答】設(shè)等差數(shù)列 的公差為 ，由得①，②，由①②得

，故答案為：5n-3。，所以?！痉治觥坷脳l件結(jié)合等差數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列前

n項和公式，從而解方程求出首項和公差，再利用等差數(shù)列的通項公式，從而求出數(shù)列的通項公式。14.【解析】【解答】如圖，過 作 ，垂足為 ，取 的中點為 ，連接 ，設(shè)，，，那么 ，因為點P為線段

AC

上的動點且故 且故 。故答案為：[8,16]。【分析】過 作量積的定義，那么，垂足為，設(shè)，取 的中點為 ，連接，因為點P

為線段AC

上的動點且，再利用數(shù)，故且 ，從而求出數(shù)量積的取值范圍。15.【解析】【解答】如圖，設(shè)底邊邊長為

，連接

，它們的交點為

，連接，因為而，故，故平面，同理.，又，，故體積為，其中，令，，那么，假設(shè)，那么 ；假設(shè)， ，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，故體積的最大值為。故答案為：。【分析】設(shè)底邊邊長為，連接 ，它們的交點為，再利用等腰三角形三線合一，故平面 ，又因為，連接 ，因為，同理

，再利用線線，再利用勾股定理求出

PO

的長，

再利垂直推出線面垂直，故用四棱錐的體積公式為 ，其中 ，令 ， ，再利用分類討論的方法結(jié)合求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，從而求出函數(shù)的最大值，進而求出該四棱錐的體積的最大值。16.【解析】【解答】設(shè)函數(shù) ，假設(shè) 時，當(dāng)

時，

，此時不等式

，有無窮多個整數(shù)解，不符合題意；假設(shè)假設(shè)時，時，可得無解，不符合題意；，那么必有，解得，所以，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，，所以函數(shù)當(dāng)在時，，當(dāng) 時，上單調(diào)遞減，在；當(dāng)單調(diào)遞增，時，，恰好有一個整數(shù)解，即為

，即即當(dāng) 時，綜上可得，實數(shù)

a

的取值范圍是，?！痉治觥吭O(shè)函數(shù) ，再利用分類討論的方法結(jié)合函數(shù)求極限的方法，再結(jié)合求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用關(guān)于

x

的不等式范圍。四、解答題恰有一個解，從而求出實數(shù)a

的取值17.【解析】【分析】〔1〕

解：利用條件結(jié)合余弦定理，得出角形內(nèi)角，從而求出 的大小?！?〕

設(shè) ，那么 ，其中的值

，再利用為三，因為

DE＝2AE＝4，所以，再利用角之間的關(guān)系式，得出 ，再利用三角形的面積公式和兩角差的余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式、輔助角公式化簡得出三角形△BCE

的面積為，由得，從而求出的值

，因為，從而求出 的值

，從而求出此時，的值

，在△BCE

中，由余弦定理得，故出 的長。18.【解析】【分析】〔1〕因為又因為 ，(n∈N*)，所以，又因為 ，也滿足，，所以當(dāng) 且 時，有，所以證出對任意的n∈N* ，

都有，

再利用遞推公式變形結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，進而求出數(shù)列

的通項公式，從而成立?！?〕

將 代入 ，

得出的定義，從而利用等比數(shù)列通項公式求出數(shù)列求出數(shù)列 的通項公式。19.【解析】【分析】(1)由，，得，所以，即 ，又因為 再結(jié)合線線垂直證出線面垂直，所以

AC⊥平面

PBD，再利用線面垂直的定義推出線線垂直，所以

，又因為再利用線線垂直證出線面垂直，所以 平面 。(2)

以D

為原點， ， ， 的方向分別為

x

軸、y

軸、z

軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

DP＝h，

從而求出點的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)表示得出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合數(shù)量積求向量的夾角公式，從而結(jié)合誘導(dǎo)公式求出直線PB

與平面

PCD

所成的角的正弦值。【解析】【分析】〔1〕利用條件結(jié)合隨機變量服從二項分布求出隨機變量的分布列，再利用隨機變量分布列結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式，從而求出隨機變量