南京市2020屆高三下學期5月模擬考試數(shù)學試題含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精江蘇省南京市2020屆高三下學期5月模擬考試數(shù)學試題含解析一、填空題（本大題共14小題,每小題5分，計70分.不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上）1.設集合M＝｛m｜﹣3＜m＜2，m∈Z}，N＝R，則M∩N＝_____．【答案】{﹣2，﹣1，0,1}【解析】【分析】可以求出集合M,然后進行交集的運算即可．【詳解】∵M＝｛﹣2，﹣1，0,1}，N＝R，∴M∩N＝｛﹣2，﹣1，0，1}．故答案為：｛﹣2，﹣1，0，1｝．【點睛】本題考查了描述法、列舉法的定義，交集的定義及運算，考查了計算能力,屬于基礎題．2.復數(shù)z復平面上對應點位于第_____象限．【答案】一【解析】【分析】首先進行復數(shù)的除法運算,分子和分母同乘以分母的共軛復數(shù)，分母變成一個實數(shù)，分子進行復數(shù)的乘法運算，整理成復數(shù)的標準形式，寫出對應點的坐標，看出所在的象限．【詳解】∵復數(shù)，∴復數(shù)對應的點的坐標是（，）∴復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限，故答案為:一【點睛】本題考查復數(shù)的實部和虛部的符號,是一個概念題，考查了復數(shù)的四則運算,屬于簡單題．3。某次測驗，將20名學生平均分為兩組，測驗結(jié)果兩組學生成績的平均分和標準差分別為90，6;80，4．則這20名學生成績的方差為_____．【答案】51【解析】【分析】由方差定義可得n個數(shù)與其平均數(shù)，方差間關系xxxnS2+n2,利用此關系可結(jié)合條件把20個數(shù)據(jù)中的前10個數(shù)，后10個數(shù)分別找出其平方和，及平均數(shù),進而求出20名學生成績的方差．【詳解】設x1，x2…xn的方差S2［（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]［xxx2(x1+x2+…+xn)+n2］［x12+xxn2］∴xxxnS2+n2,則xxx10×36+10×902＝81360，xxx10×16+10×802＝64160,85．∴S2[xxx202]［81360+64160﹣20×852]＝51，故答案：51．【點評】本題依托平均數(shù)，方差，標準差的定義關系，考查學生的數(shù)據(jù)處理能力和計算能力，屬于中低檔題．4。執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為_____．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)程序框圖進行模擬運算即可．【詳解】第1次循環(huán):k＝0，S＝1；第2次循環(huán)：S＝1×21＝2，k＝2；第3次循環(huán)：S＝2×22＝8,k＝3；此時不滿足循環(huán)條件k＜3，輸出S＝8．故答案為：8．【點睛】本題主要考查了程序框圖的識別和判斷問題，根據(jù)條件模擬運算是解題的關鍵，考查了計算能力，屬于簡單題．5。拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻且四面上分別標有1,2，3，4的正四面體，記底面上的數(shù)字分別為，則為整數(shù)的概率是_____．【答案】【解析】總數(shù)為為整數(shù)有共8個，所以概率是6.函數(shù)f(x）=（x﹣3）ex的單調(diào)遞增區(qū)間是．【答案】（2，+∞）【解析】試題分析:首先對f（x）=（x﹣3）ex求導,可得f′(x）=（x﹣2）ex，令f′(x)＞0，解可得答案．解:f′(x）=(x﹣3）′ex+（x﹣3）（ex)′=（x﹣2）ex，令f′（x)＞0，解得x＞2．故答案為（2,+∞）．考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．7。已知雙曲線的離心率為，那么此雙曲線的準線方程為_____．【答案】【解析】【分析】利用雙曲線的離心率為，求出a,c，再求出雙曲線的準線方程．【詳解】∵雙曲線的離心率為，∴（m﹣3）（m+5）＜0，，∴﹣5＜m＜3，，∴m,∴a，c＝2，∴雙曲線的準線方程為故答案為:．【點睛】本題考查雙曲線的準線方程，考查離心率，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．8.已知正四棱錐的體積為,底面邊長為，則側(cè)棱的長為．【答案】【解析】【分析】先設底面正方形的中心為，根據(jù)題意得到，再由求出，結(jié)合勾股定理即可得出結(jié)果.【詳解】設底面正方形的中心為，又底面邊長為2可得由【點睛】本題主要考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，熟記棱錐的結(jié)構(gòu)特征及體積公式即可，屬于基礎題型。9。已知函數(shù)若則函數(shù)的最小正周期為．【答案】【解析】【詳解】試題分析：，所以，由此可得：，又因為，所以令得，所以函數(shù)的最小正周期．考點：三角函數(shù)的性質(zhì)．10。已知等差數(shù)列{an}滿足:a1＝﹣8，a2＝﹣6．若將a1,a4,a5都加上同一個數(shù)m，所得的三個數(shù)依次成等比數(shù)列，則m的值為_____．【答案】—1【解析】【分析】【分析】由題意可得公差d＝a2﹣a1＝2，從而an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣10，設所加的這個數(shù)為x，根據(jù)（a1+x）（a5+x）,解出x的值．【詳解】已知等差數(shù)列{an}中，a1＝﹣8，a2＝﹣6，∴公差d＝a2﹣a1＝2，∴an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣10．將a1，a4,a5都加上同一個數(shù)，所得的三個數(shù)依次成等比數(shù)列，設所加的這個數(shù)為x,則有(a1+x)(a5+x)，即(﹣2+x）2＝（﹣8+x）（0+x），解得x＝﹣1．故答案為：﹣1．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，求等差數(shù)列的通項公式，求得an＝2n﹣10，是解題的關鍵，屬于中檔題．11.設函數(shù)和的圖象在軸左、右兩側(cè)靠近軸的交點分別為、，已知為原點，則．【答案】【解析】試題分析：由得，即，所以，即，則，所以；考點:1．三角函數(shù)的恒等變換；2．平面向量的數(shù)量積；12.設f（x）＝asin2x+bcos2x（a，b∈R），若f（x）的最大值為，則a+b的取值范圍為_____．【答案】［，］．【解析】【分析】由條件利用輔助角公式、正弦函數(shù)的最值求得a2+b2＝5，再利用基本不等式求得（a+b）2≤10，從而求得a+b的取值范圍．【詳解】∵f（x)＝asin2x+bcos2xsin（2x+θ）（a，b∈R)，若f（x）的最大值為，∴a2+b2＝5，∴（a+b)2＝a2+b2+2ab≤2（a2+b2）＝10，∴a+b，故a+b的取值范圍為[，]，故答案為：［，］．【點睛】本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值，基本不等式的應用,屬于中檔題．13.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a,b，c，已知b＝2,且cos2B+cosB+cos（A﹣C）＝1，則a+2c的最小值為_____．【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù),結(jié)合正弦定理以及基本不等式求解即可．【詳解】解:由cos2B+cosB+cos（A﹣C）＝1?1﹣2sin2B+cosB+cosAcosC+sinAsinC＝1?1﹣2sin2B﹣cosAcosC+sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC＝1?sinAsinC＝sin2B，由正弦定理得到ac＝b2，而,當且僅當?shù)忍柍闪⒂蒪＝2，可得．故答案為:．【點評】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，正弦定理基本不等式的應用，考查分析問題解決問題的能力．14。已知正實數(shù)x，y滿足x＋＋3y＋＝10，則xy的取值范圍為________．【答案】【解析】10＝＋≥2，即25≥3xy＋＋143(xy）2－11xy＋8≤01≤xy≤.二、解答題（本大題共6小題，計90分。解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟,請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)）15.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b，c,向量（1）當時，求b的值；（2）當∥時，且，求的值．【答案】（1）b＝1．（2)2【解析】【分析】（1)由題意得，即，由正弦定理有：,聯(lián)立即可得解b的值．(2）由平行條件得a＝sinA?sinB，由,則可得，聯(lián)立即可得解．【詳解】（1）由題意得：，即得，在三角形中由正弦定理有：，由以上兩式可知：b＝1．(2）由平行條件得,，則可得到:，∴．【點睛】本題主要考查了正弦定理，平面向量數(shù)量積的坐標運算，兩角和的余弦函數(shù)公式的綜合應用,考查了計算計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．16。如圖，四棱錐A﹣BCDE中，AB、BC、BE兩兩垂直且AB＝BC＝BE，DE∥BC，DE＝2BC，F(xiàn)是AE的中點．（1）求證：BF∥面ACD；（2）求證:面ADE⊥面ACD．【答案】（1)見解析(2）見解析【解析】【分析】（1)取AD的中點M，連接CM、MF,推導出四邊形BCMF為平行四邊形,從而CM∥BF，由此能證明BF∥面ACD．（2)作DE中點N,連接CN，推導出CM⊥AD,BF⊥AE，CM⊥AE，由此能證明面ADE⊥面ACD．【詳解】證明:（1）取AD的中點M,連接CM、MF．∵F、M分別為AE、AD中點,∴DE∥2MF，DE=2MF又∵DE∥2BC，DE=2BC∴FM∥BC，F(xiàn)M=BC，∴四邊形BCMF為平行四邊形,∴CM∥BF，又∵BF?面ACD，CM?面ACD，∴BF∥面ACD．（2)作DE中點N，連接CN，∵DE∥2BC，DE=2BC，N為DE中點N，∴DN＝BC，又∵AB、BC、BE兩兩垂直，且AB＝BC＝BE,∴AC＝CD，∵M為AD中點，∴CM⊥AD，又∵F是AE的中點，且AB＝BE，∴BF⊥AE,∵CM∥BF,∴CM⊥AE，又∵AD∩AE＝A，AE、AD?面ADE，∴CM⊥面ADE，∵CM?面ACD，∴面ADE⊥面ACD．【點睛】本題考查線面平行、面面垂直的證明，考查了空間思維能力和推理能力，屬于中檔題．17。為解決城市的擁堵問題,某城市準備對現(xiàn)有的一條穿城公路MON進行分流，已知穿城公路MON自西向東到達城市中心點O后轉(zhuǎn)向東北方向（即）．現(xiàn)準備修建一條城市高架道路L，L在MO上設一出入口A,在ON上設一出入口B．假設高架道路L在AB部分為直線段，且要求市中心O與AB的距離為10km．（1）求兩站點A，B之間距離的最小值;（2)公路MO段上距離市中心O30km處有一古建筑群C，為保護古建筑群，設立一個以C為圓心，5km為半徑的圓形保護區(qū)．則如何在古建筑群C和市中心O之間設計出入口A，才能使高架道路L及其延伸段不經(jīng)過保護區(qū)（不包括臨界狀態(tài)）？【答案】（1）；(2）設計出入口A離市中心O的距離在到20km之間時，才能使高架道路L及其延伸段不經(jīng)過保護區(qū)（不包括臨界狀態(tài))．【解析】【分析】（1)過點O作于點E，則，設，則，，則有，然后利用三角函數(shù)的知識求出分母的最大值即可（2）以O為原點建立平面直角坐標系，設直線AB的方程為，可得和,解得或(舍），可得，又當時，，從而可得.【詳解】(1）過點O作于點E,則，設，則，所以，所以；因為；所以當時，AB取得最小值為；（2)以O為原點建立平面直角坐標系,如圖所示；則圓C的方程為，設直線AB的方程為;∴,∴，解得或（舍)，∴，又當時，,所以；綜上知，當時,即設計出入口A離市中心O的距離在到20km之間時，才能使高架道路L及其延伸段不經(jīng)過保護區(qū)（不包括臨界狀態(tài))．【點睛】1.本題考查的是三角函數(shù)的實際應用,要善于利用三角函數(shù)的有界性求最值2。由實際問題建立直角坐標系,運用直線與圓的位置關系，確定參數(shù)范圍。18.已知點M是圓C：(x+1）2+y2＝8上的動點，定點D（1，0），點P在直線DM上,點N在直線CM上,且滿足2，?0,動點N的軌跡為曲線E．（1)求曲線E的方程;（2）若AB是曲線E的長為2的動弦，O為坐標原點，求△AOB面積S的最大值．【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】（1)由已知得NP為DM的垂直平分線,｜ND|＝｜NM｜，，由此能求了軌跡E的方程．（2）法一：設直線AB的方程為y＝kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0．由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式，結(jié)合已知條件能求出△AOB面積S的最大值．（2）法二：設直線AB的方程為y＝kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0．由此利用根的判別式、韋達定理、點到直線的距離公式，結(jié)合已知條件能求出△AOB面積S的最大值．【詳解】（1）解：因為,，所以NP為DM的垂直平分線，所以｜ND|＝｜NM|，又因為，所以所以動點N的軌跡是以點C(﹣1,0）,D(1，0)為焦點的長軸為的橢圓．所以軌跡E的方程為．（2）解法一：因為線段AB的長等于橢圓短軸的長，要使三點A、O、B能構(gòu)成三角形，則弦AB不能與x軸垂直，故可設直線AB的方程為y＝kx+m，由,消去y，并整理，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2＝0．設A（x1，y1），B（x2，y2），又△＝16k2m2﹣4（1+2k2)(2m2﹣2）＞0，所以,因為｜AB｜＝2，所以,即所以，即，因為1+k2≥1,所以．又點O到直線AB的距離，因為h，所以S2＝h2＝2m2(1﹣m2)所以，即S的最大值為．（2）解法二:因為線段AB的長等于橢圓短軸的長，要使三點A、O、B能構(gòu)成三角形,則弦AB不能與x垂直，故可設直線AB的方程為y＝kx+m,由，消去y，并整理，得（1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2＝0．設A（x1，y1),B（x2，y2），又△＝16k2m2﹣4(1+2k2）（2m2﹣2)＞0,所以，．因為|AB｜＝2，所以．因為，所以，所以，又點O到直線AB的距離,所以h．所以S2＝h2．設，則，所以，即S的最大值為．【點睛】本題考查橢圓方程的求法,考查了三角形面積的最大值的求法，解題時要注意根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式的合理運用，要求較高的計算能力,本題屬于難題．19.設首項為a1的正項數(shù)列{an｝的前n項和為Sn，q為非零常數(shù)，已知對任意正整數(shù)n，m，Sn+m＝Sm+qmSn總成立．（1）求證:數(shù)列｛an}是等比數(shù)列;（2）若不等的正整數(shù)m,k,h成等差數(shù)列，試比較amm?ahh與ak2k的大小;（3）若不等的正整數(shù)m,k，h成等比數(shù)列，試比較與的大?。敬鸢浮浚?）見解析（2）見解析（3)見解析【解析】【分析】（1）令n＝m＝1，得a2＝qa1，令m＝1，得Sn+1＝S1+qSn（1），從而Sn+2＝S1+qSn+1兩式相減即可得出an+2＝qan+1，進而可判斷出數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列（2）根據(jù)m，k，h成等差數(shù)列,可知m+h＝2k，進而可判定，進而根據(jù)等比數(shù)列的通項公式分q大于、等于和小于1三種情況判斷．（3）正整數(shù)m，k，h成等比數(shù)列，則m?h＝k2，判斷出，進而根據(jù)等差根據(jù)等比數(shù)列的通項公式分a1和q大于、等于和小于1三種情況判斷．【詳解】（1）證：因為對任意正整數(shù)n，m,Sn+m＝Sm+qmSn總成立，令n＝m＝1，得S2＝S1+qS1,則a2＝qa1令m＝1,得Sn+1＝S1+qSn（1），從而Sn+2＝S1+qSn+1（2），（2）﹣（1）得an+2＝qan+1,（n≥1）綜上得an+1＝qan（n≥1），所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列（2）正整數(shù)m，k，h成等差數(shù)列，則m+h＝2k，所以，則①當q＝1時,amm?ahh＝a12k＝ak2k②當q＞1時,③當0＜q＜1時，（3）正整數(shù)m，k，h成等比數(shù)列，則m?h＝k2,則，所以，①當a1＝q，即時，②當a1＞q,即時，③當a1＜q，即時，【點睛】本題主要考查了等比關系的確定和等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等比數(shù)列與不等式綜合，考查了分類討論思想和計算能力，屬于難題．20。已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）若曲線在處的切線也是拋物線的切線，求的值；（2）若對于任意恒成立,試確定實數(shù)的取值范圍；（3）當時，是否存在，使曲線在點處的切線斜率與在上的最小值相等？若存在，求符合條件的的個數(shù)；若不存在,請說明理由。【答案】（1）或；(2)（3）相等，一個。【解析】【分析】（1)求出在的切線，與聯(lián)立，根據(jù)切線與拋物線只有一個交點，則；（2）分，,根據(jù)導數(shù)討論；（3）轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點通過導數(shù)求解。【詳解】(1），所以在處的切線為即：與聯(lián)立，消去得，由知，或（2）①當時，在上單調(diào)遞增，且當時，,，故不恒成立,所以不合題意；②當時，對恒成立，所以符合題意；③當時令，得,當時，，當時，，故在上是單調(diào)遞減，在上是單調(diào)遞增，所以又,,綜上：（3）當時，由（2）知，設，則,假設存在實數(shù)，使曲線在點處的切線斜率與在上的最小值相等，即為方程的解,令得：，因為，所以.令，則,當是，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故方程有唯一解為1，所以存在符合條件的,且僅有一個.【點睛】本題考查導數(shù)的綜合應用。復雜方程的根問題：1、轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點求解；2、轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點求解。［選做題］(本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并在答題相應的區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩小題評分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）[選修4-2:矩陣與變換］21.設矩陣A，求矩陣A的逆矩陣的特征值及對應的特征向量．【答案】λ1＝﹣1,對應一個特征向量為，λ2，對應的一個特征向量為．【解析】【分析】由矩陣A，求得丨A丨及A*，A﹣1A＊，求得A﹣1，由特征多項式f（λ）＝0，求得矩陣的特征值，代入求得特征向量．【詳解】丨A丨1﹣4＝﹣3,A＊,A的逆矩陣為A﹣1A＊，則特征多項式為f（λ）＝（λ）2λ2λ，令f（λ）＝0，解得：λ1＝﹣1，λ2,設特征向量為，則，可知特征值λ1＝﹣1,對應的一個特征向量為，同理可得特征值λ2，對應一個特征向量為．【點睛】本題考查求矩陣特征值及特征向量，考查逆矩陣的求法,考查計算能力，屬于中檔題．[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程］22。在極坐標系中，求曲線關于直線對稱的曲線的極坐標方程?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥繉⑶€和直線的極坐標方程轉(zhuǎn)化成直角坐標方程,從而求得對稱曲線的直角坐標方程，再轉(zhuǎn)化成極坐標方程。【詳解】以極點為坐標原點，極軸為x軸建立直角坐標系，則曲線的直角坐標方程為，且圓心C為.直線的直角坐標方程為，因為圓心C關于的對稱點為，所以圓心C關于的對稱曲線為。所以曲線關于直線對稱的曲線的極坐標方程為?！军c睛】本題考查極坐標方程與普通方程的互化問題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力。[選修4—5:不等式選講］23.若關于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集為（1，2）,求函數(shù)f（x)＝（a﹣1）（b﹣1)的最大值．【答案】．【解析】分析】由題意可得1，2是方程x2﹣ax+b＝0的兩根,運用韋達定理可得a＝3，b＝2，即有f（x）＝2,運用柯西不等式即可得到所求最大值．【詳解】關于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集為(1，2），可得1,2是方程x2﹣ax+b＝0的兩根,即有1+2＝a，1×2＝b，解得a＝3，b＝2,則函數(shù)f(x）＝（a﹣1）（b﹣1）2，由x﹣3≥0，4﹣x≥0可得3≤x≤4,由柯西不等式可得，（2）2≤（4+1）（x﹣3+4﹣x),即有2．當2，即為x∈［3，4］時，f(x）取得最大值．【點睛】本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用柯西不等式,考查二次方程和二次不等式的轉(zhuǎn)化思想，考查運算能力，屬于中檔題．［必做題]（第22、23題,每小題10分，計2