任意角三角函數(shù)1（教學(xué)設(shè)計(jì)）

任意角的三角函數(shù)1.2.1任意角的三角函數(shù)(1)(教學(xué)設(shè)計(jì))一、教學(xué)目標(biāo)：一、知識(shí)與技術(shù)（1）把握任意角的正弦、余弦、正切的概念（包括這三種三角函數(shù)的概念域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)）；（2）明白得任意角的三角函數(shù)不同的概念方式二、進(jìn)程與方式初中學(xué)過:銳角三角函數(shù)確實(shí)是以銳角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù).引導(dǎo)學(xué)生把那個(gè)概念推行到任意角,通過單位圓和角的終邊,探討任意角的三角函數(shù)值的求法,最終取得任意角三角函數(shù)的概念.3、情態(tài)與價(jià)值任意角的三角函數(shù)能夠有不同的概念方式，而且各類概念都有自己的特點(diǎn).過去適應(yīng)于用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)的“比值”來概念，這種概念方式能夠表現(xiàn)出從銳角三角函數(shù)到任意角的三角函數(shù)的推行，有利于引導(dǎo)學(xué)生從自己已有認(rèn)知基礎(chǔ)動(dòng)身學(xué)習(xí)三角函數(shù)，但它對準(zhǔn)確把握三角函數(shù)的本質(zhì)有必然的不利阻礙，“從角的集合到比值的集合”的對應(yīng)關(guān)系與學(xué)生熟悉的一樣函數(shù)概念中的“數(shù)集到數(shù)集”的對應(yīng)關(guān)系有沖突，而且“比值”需要通過運(yùn)算才能取得，這與函數(shù)值是一個(gè)確信的實(shí)數(shù)也有不同，這些都會(huì)阻礙學(xué)生對三角函數(shù)概念的明白得.本節(jié)利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)概念任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù).那個(gè)概念清楚地說明了正弦、余弦函數(shù)中從自變量到函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系，也說明了這兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系.二、教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn):任意角的正弦、余弦、正切的概念（包括這三種三角函數(shù)的概念域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)）；終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）.難點(diǎn):任意角的正弦、余弦、正切的概念（包括這三種三角函數(shù)的概念域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)）.三、學(xué)法任意角的三角函數(shù)能夠有不同的概念方式，本節(jié)利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)概念任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù).說明了正弦、余弦函數(shù)中從自變量到函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系，也說明了這兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系.四、教學(xué)假想yP（a，b）yP（a，b）rOM提問：銳角的正弦、余弦、正切如何表示？借助右圖直角三角形，溫習(xí)回憶.對對邊鄰邊αsinα=，conα=，tanα=（圖1）引入：銳角三角函數(shù)確實(shí)是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。數(shù),你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)嗎?一、三角函數(shù)的概念如圖,設(shè)銳角的極點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的正半軸重合,那么它的終邊在第一象限.在的終邊上任取一點(diǎn),它與原點(diǎn)的距離.過作軸的垂線,垂足為,那么線段的長度為,線段的長度為.那么;;.試探：關(guān)于確信的角，這三個(gè)比值是不是會(huì)隨點(diǎn)在的終邊上的位置的改變而改變呢？顯然，咱們能夠?qū)Ⅻc(diǎn)取在使線段的長的特殊位置上，如此就能夠夠取得用直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)：;;.試探：上述銳角的三角函數(shù)值能夠用終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)表示.那么,角的概念推行以后，咱們應(yīng)該如何對初中的三角函數(shù)的概念進(jìn)行修改，以利推行到任意角呢？本節(jié)課就研究那個(gè)問題――任意角的三角函數(shù).關(guān)于確信的角，上面三個(gè)比值都是一個(gè)確信的實(shí)數(shù)，這確實(shí)是說，正弦、余弦、正切別離可看成從一個(gè)角的集合到一個(gè)比值集合的映射，它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，這些函數(shù)都叫做三角函數(shù)。指出：（1）sin不是sin與的乘積，它是一個(gè)比值。三角函數(shù)記號(hào)是一個(gè)整體，離開自變量的“sin”，“tan”等是沒成心義的；（2）由于一個(gè)角對應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，一個(gè)實(shí)數(shù)也對應(yīng)一個(gè)角，即角的集合與實(shí)數(shù)集之間能夠成立一一對應(yīng)關(guān)系。因此，三角函數(shù)也能夠看成是以“實(shí)數(shù)”為自變量的函數(shù)。實(shí)數(shù)（可取的）角三角函數(shù)（實(shí)數(shù)）【探討新知】1.探討:結(jié)合上述銳角的三角函數(shù)值的求法,咱們應(yīng)如何求解任意角的三角函數(shù)值呢?顯然,咱們只需在角的終邊上找到一個(gè)點(diǎn),使那個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1,然后就能夠夠類似銳角求得該角的三角函數(shù)值了.因此,咱們在此引入單位圓的概念:在直角坐標(biāo)系中,咱們稱以原點(diǎn)為圓心,以單位長度為半徑的圓.2.試探:如何利用單位圓概念任意角的三角函數(shù)的概念?如圖,設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn),那么:（1)叫做的正弦(sine),記做,即；（2）叫做的余弦(cossine),記做,即；（3）叫做的正切(tangent),記做,即.注意:當(dāng)α是銳角時(shí)，此概念與初中概念相同（指出對邊，鄰邊，斜邊所在）；當(dāng)α不是銳角時(shí)，也能夠找出三角函數(shù)，因?yàn)椋热挥薪?，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點(diǎn)，從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值.3.試探:若是明白角終邊上一點(diǎn),而那個(gè)點(diǎn)不是終邊與單位圓的交點(diǎn),該如何求它的三角函數(shù)值呢?前面咱們已經(jīng)明白,三角函數(shù)的值與點(diǎn)在終邊上的位置無關(guān)，僅與角的大小有關(guān).咱們只需計(jì)算點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,那么,,.因此，三角函數(shù)是以為自變量,以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，又因?yàn)榻堑募吓c實(shí)數(shù)集之間能夠成立一一對應(yīng)關(guān)系，故三角函數(shù)也能夠看成實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù).歸納：三角函數(shù)概念及概念域：三角函數(shù)定義一：單位圓法定義二：比值法定義域4.例題選講例1（講義P12例1）.求的正弦、余弦和正切值.學(xué)生活動(dòng)：讓學(xué)生自己試探并獨(dú)立完成.然后與講義的解答相對照一下，發(fā)覺此題的難點(diǎn).教師活動(dòng)：此題題意很簡單，可是如何入手卻是難點(diǎn)，關(guān)鍵是對本節(jié)課的三角函數(shù)概念的要點(diǎn)有無領(lǐng)會(huì)清楚（任意角三角函數(shù)的概念要點(diǎn)：點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)、點(diǎn)到極點(diǎn)的距離），因此此題的重點(diǎn)的地方是如何利用單位圓找到那個(gè)點(diǎn)P，如圖4能夠明白，又點(diǎn)P在第四象限，取得，如此就能夠夠很容易患到此題答案.不妨讓學(xué)生取，可否也取得點(diǎn)P的坐標(biāo)，取得的三角函數(shù)值是不是與單位圓的一樣。如此能夠讓學(xué)生更深刻體驗(yàn)三角函數(shù)的概念.變式訓(xùn)練1：求的正弦、余弦和正切值.例2（講義P12例2）．已知角的終邊過點(diǎn)，求角的正弦、余弦、正切值.教材給出這兩個(gè)例題，主若是幫忙明白得任意角的三角函數(shù)概念.我也能夠嘗試其他方式:如例2:設(shè)則.于是,,.變式訓(xùn)練2：已知角的終邊過點(diǎn)P（12，-5），求角的三角函數(shù)值。5.探討:請依照任意角的三角函數(shù)概念,設(shè)終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)P(x,y)，將正弦、余弦和正切函數(shù)的概念、概念域填入下表；再將這三種函數(shù)的值在各個(gè)象限的符號(hào)填入表格中：三角函數(shù)定義及定義域三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)定義（比值法）定義（單位圓法）r=1定義域第一象限第二象限第三象限第四象限Y正正負(fù)負(fù)X正負(fù)負(fù)正正負(fù)正負(fù)分析：三角函數(shù)在各象限的符號(hào)①正弦值關(guān)于第一、二象限為正（），關(guān)于第三、四象限為負(fù)（）；②余弦值關(guān)于第一、四象限為正（），關(guān)于第二、三象限為負(fù)（）；③正切值關(guān)于第一、三象限為正（同號(hào)），關(guān)于第二、四象限為負(fù)（異號(hào)）．注意：假設(shè)終邊落在軸線上，那么可用概念求出三角函數(shù)值.6．誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)：例3（講義P14例4）.確信以下三角函數(shù)值的符號(hào),然后用計(jì)算器驗(yàn)證:(1);(2);(3);(4)解析：（1）負(fù)（2）負(fù)（3）正（4）負(fù)變式訓(xùn)練3：確信以下三角函數(shù)值的符號(hào)（1）sin2（2）sin20說出與以下各角終邊相同的角的一樣表達(dá)式：（1）300；（2）-；（3）。觀看：角3900和-3300的角與300的角終邊的位置相同。試探：它們的同一三角函數(shù)值的關(guān)系如何？什么緣故？歸納：依照三角函數(shù)的概念能夠明白，任意角的三角函數(shù)值取決于角終邊的位置，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等。那么，如何寫出它的數(shù)學(xué)表達(dá)式呢？誘導(dǎo)公式：學(xué)生口答其數(shù)學(xué)表達(dá)式，教師板書：sin(k+)=sin；cos(k+)=cos；tan(k+)=tan；(其中)問：用弧度制如何寫出這組公式？答：sin(2k+)=sin；cos(2k+)=cos；tan(2k+)=tan；(其中)以上這組公式通常叫做誘導(dǎo)公式（一）。公式（一）的特點(diǎn)：觀看：誘導(dǎo)公式（一）的結(jié)構(gòu)有何特點(diǎn)？歸納：這組公式的兩邊是同名函數(shù)，角度相差3600（或2）的整數(shù)倍，抓住函數(shù)與角度兩個(gè)方面的特點(diǎn)利于經(jīng)歷公式。例4（講義P13例3）．求證：當(dāng)且僅當(dāng)不等式組成立時(shí)，角為第三象限角.例5（講義P14例5）.求以下三角函數(shù)值:(1);(2);(3)利用公式一,能夠把求任意角的三角函數(shù)值,轉(zhuǎn)化為求到(或到)角的三角函數(shù)值.另外能夠直接利用計(jì)算器求三角函數(shù)值,但要注意角度制的問題.變式訓(xùn)練5：求以下各三角函數(shù)值：cos43210；（2）sin(-)；（3）tan(-)。分析：利用誘導(dǎo)公式（一）進(jìn)行恒等變形。解：（1）cos43210=cos(123600+10)=cos10=；sin(-)=sin(-2；又解：sin(-)=sin(-+4)=sin=.tan(-)=tan(-2+)=tan=tan()=-tan=-1；又解：tan(-)=tan()=tan=tan()=-tan=-1課堂鞏固練習(xí)（講義P15練習(xí)NO：1；2；3；4；5；6；7）[課堂小結(jié)、鞏固反思](1)本節(jié)的三角函數(shù)概念與初中時(shí)的概念有何異同?(2)你能準(zhǔn)確判定三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)嗎?(3)請寫出各三角函數(shù)的概念域；(4)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有什么關(guān)系?你在解題時(shí)會(huì)準(zhǔn)確熟練應(yīng)用公式一嗎？[課時(shí)必記]一、設(shè)終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)P(x,y)，將正弦、余弦和正切函數(shù)的概念、概念域填入下表；再將這三種函數(shù)的值在各個(gè)象限的符號(hào)填入表格中：三角函數(shù)定義及定義域三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)定義（比值法）定義（單位圓法）r=1定義域第一象限第二象限第三象限第四象限y正正負(fù)負(fù)x正負(fù)負(fù)正正負(fù)正負(fù)二、誘導(dǎo)公式一：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等。sin(2k+)=sin；cos(2k+)=cos；tan(2k+)=tan；(其中)sin(k+)=sin；cos(k+)=cos；tan(k+)=tan；(其中)作用：把任意角的三角函數(shù)化為0到2的三角函數(shù)。3、專門聲明：題中要求用計(jì)算器計(jì)算的一很不用計(jì)算器，只需把任意角的三角函數(shù)化為0到2的三角函數(shù)4、特殊角的三角函數(shù)值：度60090018002700弧度0sin010-10cos10----101tan01不存在-10不存在0[分層作業(yè)]A組：一、（講義P20習(xí)題1.2A組NO：1）二、（講義P20習(xí)題1.2A組NO：2）3、（講義P20習(xí)題1.2A組NO：6）4、（講義P20習(xí)題1.2A組NO：7）五、（講義P20習(xí)題1.2A組NO：8）六、設(shè)kZ，求以下各三角函數(shù)值：sin2k；（2）sin(2k+)；（3）sin(2k+)；（4）sin(2k+)。解：（1）sin2k=sin0=0；sin(2k+)=sin=1；sin(2k+)=sin=0sin(2k+)=sin=-1。指出：由（1）（3）可歸納出sinn=0(nZ)。B組：一、(tb0