理數高考試題答案及解析-北京

親愛的同學:

經過一番刻苦學習，大家一定躍躍欲試地展

示了一下自己的身手吧！那今天就來小試牛刀

吧！注意哦：在答卷的過程中一要認真仔細哦！

不交頭接耳，不東張西望！不緊張！養(yǎng)成良好的

答題習慣也要取得好成績的關鍵！

祝取得好成績！一次比一次有進步!

-、M抨題乂&7J、迦。母小融)力?.姑4U才.仕母<1、也夕IJWH'J四T0壩中，然用付三肚H妥水

的一項.

1.已知集合A={xGR|3x+2>0}B={xdR|(x+1)(x-3)>0}則ACB=

22

A(-oo,-1)B(-1,--)C(,3)D(3,+8)

33

【解析】和往年一樣，依然的集合(交集)運算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。因

2

為4={%€/?|3》+2〉0}0%>-1,利用二次不等式可得8={幻％<-1或%>3}畫出數

軸易得：AnB={x|x〉3}.故選D.

【答案】D

0<x<2,

2.設不等式組《表示平面區(qū)域為D,在區(qū)域D內隨機取一個點，則此點到坐標

0<y<2

原點的距離大于2的概率是

兀K-171,、4一萬

(A)-(B)-------(C)—(D)-------

4264

0<x<2

【解析】題目中《表示的區(qū)域如圖正方形所示，而動點D

0<y<2

可以存在的位置為正方形面積減去四分之一圓的面積部分，因此

2

2x2--^-2A"

P=--------4------==_,故選D。

2x24

【答案】D

3.設a,bWR?！癮=0”是“復數a+bi是純虛數”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】當。=0時，如果b=0同時等于零，此時初=0是實數,不是純虛數，因此不

是充分條件；而如果。+瓦已經為純虛數，由定義實部為零，虛部不為零可以得到a=0,

因此想必要條件，故選B。

【答案】B

4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為()

C.8D.16

【解析】Z=0,s=l=>Z=l,s=l=Z=2,s=2=k=2,s=8,循環(huán)結束，輸

出的s為8,故選C。

【答案】

5.如圖.ZACB=90°,CD1.AB于點D,以BD為直徑的圓與BC交于點￡.則()

A.CE-CB=AD?DBB.CE-CB=AD?AB

C.AD?AB=CD2D.CE?EB=CD2

【解析】在A4cB中，ZACB=90°,CD_LAB于點D,所以CO?=A。?08,由切割線定

理的CD?=CE?CB,所以CE?CB=AD-DB。

【答案】A

6.從0,2中選一個數字.從135中選兩個數字，組成無重復數字的三位數.其中奇數的個數為

（）

A.24B.18C.12D.6

【解析】由于題目要求的是奇數，那么對于此三位數可以分成兩種情況：奇偶奇；偶奇奇。

如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個位開始分析（3種選擇），之后十位（2種選擇），最后百

位（2種選擇），共12種；如果是第二種情況偶奇奇，分析同理：個位（3種情況），十位（2種

情況），百位（不能是0,一種情況），共6種，因此總共12+6=18種情況。

【答案】B

7.某三棱錐的三視圖如圖所示，該三梭錐的表面積是（）

A.28+675B.30+675C.56+1275D.60+1275

【解析】從所給的三視圖可以得到該幾何體為三棱錐，如圖所示，圖中藍色數字所表示的為

直接從題目所給三視圖中讀出的長度，黑色數字代表通過勾股定理的計算得到的邊長。本題

所求表面積應為三棱錐四個面的面積之和，利用垂直關系和三角形面積公式，可得：

s底=10,S后=10，s右=10,S充=6百，因此該幾何體表面積

S—S底+S后+S右+S左=30+6Vs,故選Bo

【答案】B

8.某棵果樹前n前的總產量S與n之間的關系如圖所示.從目前記錄的結果看，前m年的年

平均產量最高。m值為（）

A.5B.7C.9D.ll

【解析】由圖可知6,7,8,9這幾年增長最快，超過平均值，所以應該加入，因此選C。

【答案】C

第二部分(非選擇題共110分)

二.填空題共6小題。每小題5分。共30分.

x=2+t[x=3cosa

9.直線4。為參數)與曲線4(a為參數)的交點個數為______.

[y=3sina

【解析】直線的普通方程x+y—1=0,圓的普通方程為/+丁=9,可以直線圓相交,

故有2個交點。

【答案】2

10.己知｛為｝等差數列S”為其前n項和。若％=g，S2^a.,則出=。

【解析】因為S2=/n4+%=/n4+%+d=4+2d=>d=q=g，

1)1

所以。2=4+d=1，=na\+〃(“一I"=W+W〃。

11

【答案】%=1,S=—n~0H—n

2n44

11.在△ABC中，若4=2,b+c=7,cosB=,貝！Jb=。

4

,TIE人en/+c~-14+(c+b｝(c—b

【解析】在4ABC中，利用余弦定理cos3=-----------=>一一=------——-

2ac44c

c=3,

4+7(j),化簡得：8c-7。+4=0,與題目條件b+c=7聯立，可解得＜/?=4,

4c

a=2.

【答案】4

12.在直角坐標系xOy中，直線1過拋物線y'=4x的焦點F.且與該撇物線相交于A、B兩點.

其中點A在x軸上方。若直線1的傾斜角為60°.則AOAF的面積為

【解析】由V=4x可求得焦點坐標F(l,0),因為傾斜角為60。，所以直線的斜率為

^=tan600=V3,利用點斜式，直線方程為y=gx—Q,將直線和曲線聯立

A（3,2折

y=V3x-V3

=>V12.73，因此SAQAF=5*。尸*%=jxlx26=百.

丁=4xB（y?。?/p>

【答案】V3

13.己知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點，則。E-C8的值為.

DEDC的最大值為。

【解析】根據平面向量的數量積公式萬石?在=淀?麗=|7運|?|￡&|cose,由圖可知,

|D￡|cos^=|DA|,因此。￡。3=|。*2=1,

DE-DC=|DE\-1DC|cosa=|DE|-cosa,而|DE|-cosa

就是向量了在而邊上的射影，要想讓瓦?皮最大，即讓

射影最大，此時E點與B點重合，射影為皮，所以長度為1.

【答案】1,1

14.已知/(幻=〃2(1-2m)。+〃2+3),g(x)-2X-2,若同時滿足條件:

①VxeR,/(%)<0或8(》)<0；

②Vxw(-oo,-4),f(x)g(x)<0o

則m的取值范圍是。

【解析】根據g(x)=2'—2<0,可解得x<l。由于題目中第一個條件的限制VxeR,

/。)<0或8(尤)<0成立的限制，導致(幻在時必須是/(x)<0的。當〃2=0時，

/(幻=0不能做到了(x)在時/(x)<0,所以舍掉。因此，/(x)作為二次函數開口只

能向下，故〃?<(),且此時兩個根為王=2加，x2=-m-3?為保證此條件成立，需要

1

X[=2m<1m<一

2，和大前提加<0取交集結果為—4<加<0；又由于條件2：

x=-m-3<1

2m>-4

要求尤e(-8,-4),/(x)g(x)<0的限制，可分析得出在xe(-巴-4)時，/(x)恒負，因

此就需要在這個范圍內g(x)有得正數的可能，即-4應該比和々兩根中小的那個大，當

me(—1,0)時，一根一3<-4,解得，交集為空，舍。當加=一1時，兩個根同為一2>-4,

舍。當〃ze(-4,一1)時，2加<一4,解得加<一2,綜上所述〃ze(-4,-2).

【答案】me(-4,-2)

三、解答題公6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

15.(本小題共13分)

己知函數/⑺=⑶一一儂小山2工

sinx

(1)求/(幻的定義域及最小正周期;

(2)求/(%)的單調遞減區(qū)間。

解：(1)由sinxrO得x戶kl(kWZ),

故求￡(x)的定義域為{x|x壬kx，kWZ}.

4.、(sinx-cosx)sin2x

Vf(x)=------：--------

sinx

=2cosx(sinx-cosx)

=sin2x_cos2x-l

二迎sin(2x-：)~1

???f(x)的最小正周期T=^r.

(2);?函數y=sinx的單調遞減區(qū)間為[2k嗚，2kzty](k€Z)

二由2kx+§<2x-：<2kxi?多，x^kt(k€Z)

得ld+1&x《kx+'景，(k€Z)

■?.f(x)的單調遞咸區(qū)間為：[kx+y,tarty](k€Z)

16.(本小題共14分)

如圖1,在RtAABC中，NC=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,AB上的點，且

DE〃BC,DE=2,將4ADE沿DE折起到aAiDE的位置，使A|C_LCD,如圖2.

(I)求證：A|CJ_平面BCDE；

(II)若M是AQ的中點，求CM與平面A)BE所成角的大??；

(HI)線段BC上是否存在點P,使平面AQP與平面A|BE垂直？說明理由

解：⑴_LOE,\EVDE

：.OEJ■平面A。，

又ACU平面AC。，

/.A,C1DE

又AC_LC￡),

ACJ■平面BCOE。

(2)如圖建系C-xyz,則0(-2,(),0),4(0,0,2⑹,5(0,3,0).￡(-2,2,0)

.,.港=(0,3,-2百)，庭=(-2,-1,0)

設平面ABE法向量為”=(x,y,z)

則(一竺一二=0二口2底=0...'=7',

[A1E/2=0[-2x-y=0=_2

'一一5

n=(-1,2,

又；M(-l,0,73)

：.CM=(-\,0,G)

兩i_1+3_4_V|

cos6=

ICM|?InI-Vl+4+3-Vl+3~2-242~2

???CM與平面A.BE所成角的大小45。。

(3)設線段8c上存在點P,設P點坐標為(()，a,()),則ae[(),3]

則帚=(0,a,-2網，加=(2,.，0)

設平面4QP法向量為1=(%,x，z,)

則網-2日=0

2x.+ay.-01

飛=一產

%=(-3〃，6,V3a)

假設平面ADP與平面A/E垂直，

則%?〃=(),；.3a+12+3。=0,6a=—12,a=—2,

：0<a<3,...不存在線段BC上存在點P,使平面AOP與平面A8E垂直。

17.(本小題共13分)

近年來，某市為了促進生活垃圾的風分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他

垃圾三類，并分別設置了相應分垃圾箱，為調查居民生活垃圾分類投放情況，現隨機抽取了

該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾，數據統計如下(單位：噸)：

“廚余垃圾”箱"可回收物''箱“其他垃圾”箱

廚余垃圾400100100

可回收物3024030

其他垃圾202060

(I)試估計廚余垃圾投放正確的概率；

(II)試估計生活垃圾投放錯誤額概率；

(m)假設廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為?,b,c

其中。＞0,a+b+c=60Q.當數據a,"c的方差/最大時，寫出a,b,c的值(結論不要求

證明)，并求此時$2的值。

222

(注:?=-[(XI-X)+(X2-X)+???+(X?-X)],其中』為數據石,乙,…的平均數)

n

解：(1)由題意可知：—=-

6003O

(2)由題意可知：迎+6。+”.

100010。

(3)由題意可知：?=1(a2+/?2+c2-120000),因此有當a=600,b=0,c=0時，有

s2=80000.

18.(本小題共13分)

已知函數/(x)=加+l(a>0),g(x)=J?+.

(D若曲線y=/(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(1.c)處具有公共切線.求a.6的值：

(2)當>二46時，求函數/(x)+g(x)的單調區(qū)間，并求其在區(qū)間(Y>,-1］上的最大值.

解：(1)由(1,c)為公共切點可得：

/(x)=ax2+1(〃>0),則f\x)=2ax,&=2。，

3

^(x)=x+bx9則/'(無)=3/+力，k2=3+bf

/.2a=3+b

又/⑴=a+l,g⑴=l+b，

a+l=l+b,即a=代入①式可得：\3.

p=3

(2)va2=4h,??.設/20)=/(幻+8(幻=尤3+火2+1〃2%+1

4

=;

則〃'(x)=3Y+2ar+(〃2,令//(x)=0,解得：x［=—|,x2~~

a>0,?,?

26

.?.原函數在(T，-￡)單調遞增，在［-1)單調遞減，在［￡，+8)上單調遞增

2

①若一14一@,即。<2時，最大值為"1)=。；

24

②若一色<—1<—j即2<a<6時，最大值為4—4=1

26I2)

③若時，即心6時，最大值為/?D=1?

綜上所述：

當ae(O,2］時，最大值為"1)=。一(；當ae(2,+8)時，最大值為〃,幻=1.

19.(本小題共14分)

己如曲線C:(5-6)./+(m-2))」8(zweR)

(1)若曲線。是焦點在k軸上的橢圓，求m的取值范圍：

(2)設桁=4,曲線C與y軸的交點為月，8(點/位于點8的上方)，直線y=h+4與曲線。交于不同

的兩點A，.N.直線y=l與直線外/交于點G,求證：月，G.N三點共線.

解：(1)原曲線方程可化簡得：一二+^^=1

OO

5-tnm-2

88

5-mm-2

87

由題意可得：>0，解得：一<"?<5

5—m2

-A_>o

m-2

(2)由已知直線代入橢圓方程化簡得：(2女2+1)/+16履+24=0,

3

A=32(2&2—3),解得：k2>-

2

由韋達定理得：XM+/=①,xMxN='②

乙K十1乙K十1

設N(XN，攵/+4)，M(xM,kxM+4),G(XG,1)

M8方程為：y=^^-x-2,則I

工材

__3x

???AG=―^―,-1AN=屈,xk+2),

13+6N

欲證A,G,N三點共線，只需證前，麗共線

即3，"—(xNk+2)=-xAr成立,化簡得：(3k+k)xMxN=-6(xw+xv)

xMk+6

將①②代入易知等式成立，則A,G,N三點共線得證。

20.(本小題共13分)

設.4是由個實數組成的M行”列的數表.滿足：每個數的絕對值不大于1.且所有數的和為零.記

S(m.")為所有這樣的數表構成的集合.

對于”).記：(.4)為.4的第，行各數之和(ISWM),c,(4)為.4的第/列各數之和(10W”)；

記*(4)為|耳(/)|,…，匕(孫，俯(4)|,?(4)1，….匕。)|中的最XU

(3)給定正整數，,對于所有的XwS(2,2/+1).求川川皿太值，

解：(1)由題意可知斗伊)=1.2,e(A)=-L2,c,(A)=l.l,Q(A)=0.7,C3(A)=-1.8

二k(A)=0.7

(2)先用反證法證明”(A)Wl：

若—A)>1

則Ic](A)|=|a+11=a+1>1,/.a>0

同理可知h>0,a+b>0

由題目所有數和為0

即a+h+c=-l

c=-\-a-b<—\

與題目條件矛盾

/.k(4)Wl.

易知當a=6=0時，乂4)=1存在

k(A)的最大值為1

2?+1

(3)Z(A)的最大值為

t+2

2/+1

首先構造滿足-A)=I+2的A={%/}?=1,2,j=1,2,2f+1）：

tt-\

aaa

U=4.2=…=\.t=Lq.，+I=i.,+2=…=&2，+l=_正

t2+t+\,

"Li

經計算知，A中每個元素的絕對值都小于1,所有元素之和為0,且

|((A)HG(A)|=三，

廠+r+lr+12r+l

C|(A)|=|C(A)=...=C,(A)=1+—~—>1+-->--

7■r(/+2)t+2t+2

t-\2t+\

Ic,+1(A)|=|cf+2(A)|=...=|C,(A)|=1+

2+1t+2t+2

2f+1

下面證明是最大值.若不然，則存在一個數表AeS(2,2f+l),使得

t+2

.2/+1

k(A)=x>-----.

t+2

由MA)的定義知A的每一列兩個數之和的絕對值都不小于x,而兩個絕對值不超過1

的數的和，其絕對值不超過2,故A的每一列兩個數之和的絕對值都在區(qū)間［x,2］中.由于

x>l,故A的每一列兩個數符號均與列和的符號相同，且絕對值均不小于

設A中有g列的列和為正，有〃列的列和為負，由對稱性不妨設g</7,則

+另外，由對稱性不妨設A的第一行行和為正，第二行行和為負.

考慮A的第一行，由前面結論知A的第一行有不超過f個正數和不少于f+1個負數，每

個正數的絕對值不超過1(即每個正數均不超過1),每個負數的絕對值不小于x-l(即每

個負數均不超過l-x),因此

|4(A)|=4(A)</■1+(/+1)(1—x)=2/+1—(/+l)x=x+(2r+1-(r+2)x)<x>

2t+l

故A的第一行行和的絕對值小于x,與假設矛盾.因此A(A)的最大值為

親愛的同學:

經過一番刻苦學習，大家一定躍躍欲試地展

示了一下自己的身手吧！成績肯定會很理想的，

在以后的學習中大家一定要用學到的知識讓知

識飛起來，學以致用！在考試的過程中也要養(yǎng)成

仔細閱讀，認真審題，努力思考，以最好的狀態(tài)

考出好成績！你有沒有做到這些呢？是不是又忘

了檢查了？快去再檢查一下剛完成的試卷吧!

承載希望

放飛夢槨

怎樣調整好考試心態(tài)

心態(tài)就是一個人的心情。心情的好壞，會直接地影響

我們工作、學習的效果。你也能看到，在體育比賽中，由于

心理狀態(tài)的起伏，參賽選手的發(fā)揮會跟著有較大的起伏。同

樣的道理，心理狀態(tài)的正常與否對參加考試的同學來說也至

關重要。心理方面的任何失衡都會使你手忙腳亂，得分率降

低，平時掌握的內容也有可能發(fā)揮不出來；相反，保持良好

的心態(tài)，則會使你如虎添翼，發(fā)揮出最佳水平。

加強心理調整，保持考前狀態(tài)

考試中的心理偏差有兩種：一是過于放松，難以集中

注意力，總是想起別的東西；二是過于緊張，心跳加快，

手心出汗，有頭暈的感覺。那么如何進行考前的心理狀態(tài)

調整呢？考前應該按照一定的時間順序進行自身的心理狀

態(tài)調整。

在考前10天：每個學生的實力已經定型，一般無論怎

么用功，水平也不會有顯著地提高。所以，考生在這個時段

主要應該進行一些提綱挈領的復習，即考前復習要有所側

重，特別是檢查一下重點內容的掌握情況，如老師明確指定

和反復強調的重點內容，自己最薄弱的、經常出錯的地方。

所以，考前10天考生宜看書而不宜做題。通過看書可以溫

習已有的知識，增強自信心，而做題則不同，一旦題目太難,

就會挫傷自信心。另外，考試前人的精神往往高度集中，理

解力和記憶力在短期內急劇提高，因此在這個時段內應該加

強記憶方面的知識，如歷史、地理、政治、英語等，但是也

不可過度緊張而耗費考試時的精力。

在考前3天：這個時間很多學生認為萬事大吉，完全不

沾書本，這是十分錯誤的。重要內容雖然已經掌握了，但還

是要適當瀏覽一下，如歷史、地理、政冶的基本知識、語文

的文學常識、英語的單詞、數學的公式等。對自己已經考過

的試題應該看一看，把經常出錯的地方再強化一下，適當地

做一點“熱身題”。所以，在考前3天還要適當地翻閱一下

書本，這樣做不僅使這些重點內容始終在大腦中處于待提取

的激活狀態(tài)，而且可以使自己心里踏實。

在這3天，應該調整自己的心理狀態(tài)，切不要把弦繃得

太緊，應該適當地放松自己，如通過散步、和家人聊天、聽

音樂等方式調整自己的心態(tài)。此外，還應該做好考試的物質

準備，如文具、準考證、換冼的衣物、考試中提神的香水等。

在考前1天：考試前1天仍然有許多準備要做，不要認

為“萬事俱備，只欠東風”，也不要“破罐子破摔”，聽天由

命。在這天應注意以下問題，第一，注意自己的飲食，考前

1天應該遵循自己平時的飲食習慣，可以多加幾個菜，適當

增加肉蛋類食品，但不要為了補充能量而暴飲暴食，以免消

化不良，直接影響第二天的考試；第二，不要參加劇烈的運

動，以免體能消耗過大或發(fā)生其他的意外，從而影響第二天

的考試。也不要長時間地玩棋牌、上網打游戲，以免過度興

奮。適當的放松和休息應該是最后一天的主旋律；第三，熟

悉考場，應該仔細考察通往考場所在地的交通線路，選擇路

程最短、干擾最少、平時最熟悉的路線，還應該考慮如果發(fā)

生交通堵塞后的應對措施。對考場所在學校、樓層、教室、

廁所以及你的座位位置都要親自查看，做到心中有數，以防

止不測事件的發(fā)生；第四，要認真檢查考試時所使用的準考

證、文具等，并把它們全部放在文具盒內，以保證第二天不

出現慌忙現象；第五，如果有的同學不看書心里就不踏實，

還要臨陣磨槍，那就不妨把第二天所考科目的課本隨意

翻閱一遍，但不可太動腦筋。如果有的同學不愿再看書，那

就聽一些輕松歡快的音樂，以放松一下自己；第六，嚴格按

照平時的作息時間上床睡覺，不應太晚，也不宜太早，以免

成太早或太晚上床而又不能及時入睡。睡前可用溫水洗腳，

以幫助自己睡眠，如數數、深呼吸等。切不要服用安眠藥，

因為安眠藥會抑制人的大腦，導致第二天考試不夠興奮。

要增強自信心

要獲取好成績，一定要有自信心。這如同體育運動員

一樣，要在比賽中獲取好的名次，應該具有良好的競技狀態(tài),

以保證自己能夠發(fā)揮出最好的水平。考生在進入考場之前，

多想一些有把握獲取好成績的條件，如“自己已經全面和系

統地復習了"，“考試就像平時測驗，無非在這里多做幾道題

而已”，盡量回憶和憧憬一些美好的事情，設法使大腦皮層

產生興奮中心，產生一種積極的情緒。

自我放松，緩和緊張的心理狀態(tài)

常用的自我放松訓練有以下幾種：

呼吸松弛訓練。坐在座位上，雙目微閉，兩腳著地，

雙手自然放在膝上，腳與肩同寬。然后進行腹式呼吸3~4次。

吸氣時用鼻慢慢地吸，先擴張到腹部，在擴張到胸部，吸足

氣后屏一屏氣，然后用鼻和嘴將氣慢慢地吐出，這個過程連

續(xù)多次就可以達到平靜的心理狀態(tài)，消除緊張和憂慮的效

果。

肌肉松弛訓練?？荚嚂r，坐姿要放松，一旦雙手發(fā)生

顫抖或有緊張情緒，可迅速拉緊所有的肌肉，然后立即解除

緊張、也可馬上做深呼吸，反復兩三次，這時全身肌肉必會

放松，就可避免生理、心理緊張加劇而引起的惡性循環(huán)。

轉移想象訓練。轉移也是保持良好心境的一種方式。如

涂抹一點清涼油，聽聽音樂，從事散散步、游泳等不劇烈的

體育運動，使心態(tài)平衡，頭腦清醒，緊張緩解。

自我暗示訓練。要善于利用自我暗示語的強化作用。如可以

暗示自己“今天精神很好”，“考出好成