多邊形內(nèi)角和學(xué)習(xí)要點(diǎn)

多邊形內(nèi)（外）角和學(xué)習(xí)要點(diǎn)多邊形的內(nèi)角和與外角和是多邊形的重要內(nèi)容之一，其中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想和眾多的知識(shí)，我們?cè)趯W(xué)習(xí)中要注意歸納和總結(jié)：一、理解內(nèi)角和公式的推導(dǎo)理解公式的推導(dǎo)，弄清它的來龍去脈，可以加深對(duì)公式的理解與掌握，并且能從中學(xué)到許多常用的方法．（一）對(duì)于邊形的內(nèi)角和公式：邊形的內(nèi)角和，其常見推導(dǎo)方法有如下四種：方法一：從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引邊形的條對(duì)角線，把邊形分割為個(gè)三角形（如圖1所示），則這個(gè)三角形的內(nèi)角和的和就是邊形的內(nèi)角和，從而得到邊形的內(nèi)角和；方法二：在邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，然后把這一點(diǎn)與各頂點(diǎn)連接，將邊形分割為個(gè)三角形（如圖2所示），這個(gè)三角形的內(nèi)角和的和比邊形的內(nèi)角和多出了一個(gè)周角即，因此，邊形的內(nèi)角和A4A3A4A3A2A1AnA5PA4A3A2A1AnA5AnA5A4A3A2A1PA4A3A2A1AnA5P圖4圖3圖2圖1圖4圖3圖2圖1方法三：在邊形的一邊上取一點(diǎn)，把這一點(diǎn)與各頂點(diǎn)連結(jié)（如圖3所示），把邊形分割為個(gè)三角形，這個(gè)三角形內(nèi)角和的和比邊形的內(nèi)角和多出了一個(gè)平角即，因此，邊形的內(nèi)角和．方法四：如圖4，在n邊形外取一點(diǎn)P（不在n邊形任一邊的延長(zhǎng)線上），連接這點(diǎn)與各頂點(diǎn)，得到（n－1）個(gè)三角形（不含△A2PA3）．因?yàn)檫@（n－1）個(gè)三角形的內(nèi)角和是（n－1）·180°，以點(diǎn)P為公共頂點(diǎn)的（n－1）個(gè)角連同∠PA2A3、∠PA3A2的和是180°（應(yīng)去掉），所以n邊形的內(nèi)角和是（n－1）·180°－180°，即（n－2）·180°說明：1、不論是哪一種推導(dǎo)方法，都是考慮如何將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，以便能利用我們已熟知的三角形內(nèi)角和．2、理解上面的推導(dǎo)方法關(guān)鍵之處有兩點(diǎn)：（1）要確定轉(zhuǎn)化后的三角形的個(gè)數(shù)與多邊形的邊數(shù)之間的關(guān)系；（2）要確定轉(zhuǎn)化后的三角形的內(nèi)角和與多邊形的內(nèi)角和之間的關(guān)系。3、四種方法也體現(xiàn)了一種分類思想，即點(diǎn)P與多邊形的頂點(diǎn)重合，點(diǎn)P在形內(nèi)，點(diǎn)P在邊上，點(diǎn)P在形外。這些思想對(duì)于解決數(shù)學(xué)問題是極為重要的，希望同學(xué)們把它掌握好?。ǘ?duì)于多邊形外角和等于，其推導(dǎo)的關(guān)鍵是運(yùn)用外角與相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)，將外角和轉(zhuǎn)化為內(nèi)角和．二、挖掘公式的作用１．對(duì)于邊形的內(nèi)角和，在學(xué)習(xí)中要明確以下幾點(diǎn)應(yīng)用：（1）已知邊數(shù)，可求得其內(nèi)角和，如：12邊形的內(nèi)角和；（2）邊數(shù)每增加1，內(nèi)角和就增加，如：97邊形內(nèi)角和比95邊形的內(nèi)角和大；（3）如果已知邊形的內(nèi)角和，那么可以求出它的邊數(shù)，如：已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于，求它的邊數(shù)．首先我們可以運(yùn)用公式列出方程，解這個(gè)方程，得．（4）多邊形的內(nèi)角和是180的整數(shù)倍。2．對(duì)于多邊形的外角和，應(yīng)明確兩點(diǎn)：（1）多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)；（2）多邊形內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化為外角問題常常有化難為易的效果，三、掌握常用的數(shù)學(xué)思想1、化歸思想：多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)是將多邊形分割為三角形，將多邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為我們所熟知的三角形內(nèi)角和來解決的．象這種把一個(gè)陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題加以解決的思想，在數(shù)學(xué)中稱為化歸思想．運(yùn)用化歸思想可以把繁雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，把抽象的問題轉(zhuǎn)化為直觀的問題，把疑難的問題轉(zhuǎn)化為容易的問題，把新問題轉(zhuǎn)化為己經(jīng)解決的問題，從而使不好入手的問題得以解決．2、方程思想和分類思想四、典例分析：例1、一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于，求它的邊數(shù)．分析：若設(shè)邊數(shù)為，由內(nèi)角和公式，得，解這個(gè)方程，得．這是利用內(nèi)角和公式求解．若從外角入手，易知每個(gè)外角為，又因?yàn)橥饨呛蜑?，故邊?shù)為（邊）．ABABCDEFG12圖1）（例2、如圖1所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)。分析：所給圖形雖是由若干條線段首尾順次相連而成，但不是凸多邊形，因而無法直接采用凸多邊形內(nèi)角和計(jì)算公式求解，為此，可聯(lián)結(jié)AD，將所求問題轉(zhuǎn)化為三角形和凸多邊形的內(nèi)角和來求解。解：聯(lián)DA，因?yàn)椤螪GA=∠BGC∴∠1+∠2=∠B+∠C∵凸四邊形ADEF的內(nèi)角和為∠1+∠EDC+∠E+∠F+∠BAF+∠2=（4-2）×180°=360°所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°例3、如果一個(gè)凸多邊形的所有內(nèi)角從小到大排列起來，恰好依次增加相同的度數(shù)，設(shè)最小內(nèi)角為100°，最大內(nèi)角為140°，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為多少？分析：最小內(nèi)角100°，最大內(nèi)角為140°，并且依次增加相同的度數(shù)，則多邊形的內(nèi)角平均度數(shù)為（10