高考理科數(shù)學(xué)《直線與圓》題型歸納與訓(xùn)練含答案解析

2020年高考理科數(shù)學(xué)《直線與圓》題型概括與訓(xùn)練【題型概括】題型向來(lái)線方程、兩直線的地點(diǎn)關(guān)系例1已知兩直線h：mx8yn0和l2:2xmy10?試確立m、n的值，使:(1兒與J訂交于點(diǎn)Pm,1；li//J;(3)11丄12，且l1在y軸上的截距為一1.【答(1)m1,n7.案】(m4,n2或:時(shí)m4,n2時(shí)，I1//l22)(3)m0n8,n0【解(1)2”m8口析】由題意得，解得m1,n72n10⑵m0時(shí)，m:然1不行于l2；當(dāng)顯|.平mm820m4亠m4當(dāng)m0時(shí)，由m8ne2m，得8(1)n0n2或1n2即m4,n2時(shí)或m4,n2時(shí)，hm//(3)當(dāng)且僅當(dāng)2m8m0,即m0時(shí)，l1丄l2l2.n1,?n8..又8即m0,n8時(shí)，11丄12，且11在y軸上的截距為一1.【易錯(cuò)點(diǎn)】忽視對(duì)m0的狀況的議論【思想點(diǎn)撥】碰到直線類題型，第一要注意特別狀況如斜率不存在時(shí)或k0時(shí)，而且對(duì)于直線平行和垂直時(shí)與A1A2和B,B2間的關(guān)系要嫻熟記憶。例2如圖，設(shè)向來(lái)線過點(diǎn)(—1,1)，它被兩平行直線直1仁x+2y—1=0,I:x+2y—3=0所截的線段的中點(diǎn)在2線13:x—y—1=0上，求其方程.1【答案】2x7y50.【分析】與|1、J平行且距離相等的直線方程為設(shè)x2y20.所求直線方程為x2y2x0.又直線過112120.解A1,1—.???所求直線方程為2x7y50.32【易錯(cuò)點(diǎn)】求錯(cuò)與11、|2平行且距離相等的直線方程【思想點(diǎn)撥】此題的重點(diǎn)在于求到|1、J平行且距離相等的直線方程，再利用這條直線求出和第三條支線的交點(diǎn)，進(jìn)而求解此題題型二圓的方程（對(duì)稱問題、圓的幾何性質(zhì)運(yùn)用）例1已知實(shí)數(shù)x、y知足方程Xy24x10.（i）求y的最大值和最小值；x⑵求yx的最大值和最小值.【答案】（1）y的最大值為.3，最小值為...3.x（2）yx的最大值為2,6，最小值為2-、6.y23，表示以點(diǎn)2,0為圓心，以■3為半徑的圓.設(shè)1k，即ykx,xk取最大值和最小值，此時(shí)貲0J3，解得kJ3.故丿的最大值【分析】（1）原方程化為x2當(dāng)Jk21x【易錯(cuò)點(diǎn)】理解錯(cuò)給定要求結(jié)果的含義直線ykx與圓相切時(shí)，斜率為,3，【思想點(diǎn)撥】正確理解給定結(jié)果的含義，在利用題中的條件解決問題。最小值為、-3.⑵設(shè)yxb，yxb，當(dāng)yxb與圓相切時(shí)，縱截距b獲得最大值和最小值，此時(shí)即x32.6.故yx的最大值為2,6，最小值為2.6.Q為圓x2y216上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程例2已知點(diǎn)P10,0,x,y為所求軌跡上隨意一點(diǎn),【分析】設(shè)點(diǎn)MQx0,y010x2x°2x-10,即oy°由于M為PQ的中點(diǎn)，所以2y2y.【答案】x52y24.又由于點(diǎn)Q在圓x2y216上,22所以2x102y16,322故所求的軌跡方程為X5y4【易錯(cuò)點(diǎn)】中點(diǎn)的錯(cuò)誤應(yīng)用【思想點(diǎn)撥】求出中點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的方程及求出所求的直線題型三直線與圓、圓與圓的地點(diǎn)關(guān)系例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C:x2+(y-3)2=2,點(diǎn)A是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AP,AQ分別切圓C于P,Q兩點(diǎn)，則線段PQ長(zhǎng)的取值范圍是【答案】PQ.晳22.【分析】設(shè)/PCA=e，所以PQ=^2sin0.2又cos0=—,AC?[3,+)，所以cos0?0,—,8AC3所以cos20?270,曲宀宀9，，所以sin0?“1，所以PQ?召」4,2,2.33【易錯(cuò)點(diǎn)】直接去求線段的長(zhǎng)度【思想點(diǎn)撥】轉(zhuǎn)變思想，把要求的線段長(zhǎng)度轉(zhuǎn)變?yōu)榻嵌鹊年P(guān)系，進(jìn)而解決問題例2已知圓C:x2(2)從圓C外一點(diǎn)y22x4y30.⑴若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程;得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).y10，或【x答y-案3】(1)0x.【分析】⑴將圓C配方得x12(y2)22.ykx,當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零時(shí)，設(shè)直線方程為P(Xi,yi)向該圓引一條切線，切點(diǎn)為M,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有PMPO,求使得PM取由k+2l=2，解得k26，得y(2、環(huán).當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí),4-1+2-at—設(shè)直線方程為xya0，由一產(chǎn)一！J2，得a1,a3.42???直線方程為xy10，或xy-30.2222⑵由POPM，得Xiyi(Xi1)(yi2)2,即點(diǎn)P在直線l:2x4y30上.當(dāng)PM取最小值時(shí)，即OP獲得最小值，直線OPl,?直線OP的方程為2xy0.得點(diǎn)P的坐標(biāo)為-?,3.105【易錯(cuò)點(diǎn)】沒有分類議論【思想點(diǎn)撥】考察用點(diǎn)斜式、斜截式求直線的方法，利用分類議論思想來(lái)解決問題題型四定點(diǎn)定值軌跡問題例1已知t?R，圓C:x2+y2-2tx-2t2y+4t-4=0.若圓C的圓心在直線x-y+2=0上，求圓C的方程.圓C能否過定點(diǎn)？假如過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；假如可是定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明原因【答案】(1)圓C的方程為x2+y2+2x-2y-8=0或x2+y2-4x-8y+4=0.(2)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為2,0【分析】⑴由原方程配方得(x-t)2+(y-t2)2=t4+t2-4t+4，其圓心為C(t,t2).依題意知t-t2+2=0，所以t=-1或2.即圓C的方程為x2+y2+2x-2y-8=0或x+y2-4x-8y+4=0.(2)整理圓C的方程為(x2+y2-4)+(-2x+4)t+(-2y)t2=0,22xy-40x2,,y0,令-2x40,-2y00).所以圓C過定點(diǎn)(2,【易錯(cuò)點(diǎn)】漏解【思想點(diǎn)撥】判斷圓能否過定點(diǎn)，或是求圓所過定點(diǎn)坐標(biāo)的問題，能夠在方程形式上轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)于某個(gè)參量5的方程，聯(lián)合恒等式的關(guān)系，再結(jié)構(gòu)對(duì)于x,y的方程組求該點(diǎn)的坐標(biāo)?若方程組有解，則說(shuō)明圓過定點(diǎn)，否則圓可是定點(diǎn)?6例2如圖，已知圓C：x2+(y-3)2=4,—?jiǎng)又本€I過點(diǎn)A(-1,0)與圓C訂交于P,Q兩點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，I與直線m：x+3y+6=0訂交于點(diǎn)N.(1)求證：當(dāng)I與m垂直時(shí)，I必過圓心C.⑶探究AMUUU【答(1)看法析案】⑵當(dāng)PQ=2、、3時(shí)，求直線I的方程.UUUUU若相關(guān)，請(qǐng)說(shuō)明原因(3)UUUUUUUUAN與直線I的傾斜角沒關(guān)，且AM'AN=-5.AM(2)x=-1或4x-3y+4=0.【分析】⑴由于I與m垂直，且k1=3，所以當(dāng)I與m垂直時(shí)，I的方程為y=3(x+1),I必過=-，所以k=3.又kACml3圓心C.⑵①當(dāng)直線I與x軸垂直時(shí)，易知x=-1，切合題意②當(dāng)直線I與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線I的方程為y=k(x+1)，即kx-y+k=0.由于PQ=2j3，所以CM=J4$=1,則由CM=-^-=1，得k」,Jk13所以直線1:4x-3y+4=0,進(jìn)而所求的直線I的方程為x=-1或4x-3y+4=0.由于CM丄MN，所以u(píng)uruurAM'AN=(AC

uuuuuuuuuuuuruuuuuuuuuuuuu+CM)AN=AC'AN+CM'AN=AC'AN?①當(dāng)I與x軸垂直時(shí)，易得N1,-375uuu則AN=0,3?又AC=(1，3)，所以AM-AN=AC-AN=-5；②當(dāng)I的斜率存在時(shí)，設(shè)直線I的方程為y=k(x+1),則由yk(x1),-3k-6-5k彳得N,uuu-5-5k則AN=13k13k綜上,uuuuuuuuuuuuuuuAN與直線I的傾斜角沒關(guān)，且AM?AN=-5.x3y60,AM13k13kuuuuuuuuuuu-5+-15k所以AM?AN:AC?A=-513k13k【易錯(cuò)點(diǎn)】忽視對(duì)斜率不存在狀況的議論【思想點(diǎn)撥】一般地，波及到圓的切線或考慮其弦長(zhǎng)問題時(shí)，若需要求直線的方程，則務(wù)必需全面考慮問題，即要考慮直線的斜率存在與不存在兩種狀況【穩(wěn)固訓(xùn)練】題型向來(lái)線方程、兩直線的地點(diǎn)關(guān)系1?已知直線11：ax+2y+6=0和直線b：x+(a—1)y+a2-1=0.試判斷l(xiāng)1與l2能否平行；11丄12時(shí)，求a的值.【答案】(1)當(dāng)a=—1時(shí)，h//12,不然11與l2不平行(2)a=I【分析】(1)由A1B2—A2B1=0，得a(a—1)—1X2=0，由A1C2—A2C1MQ得a(a2—1)—1X6^,0a(a1)120???11//12?2,a(a21)160a1故當(dāng)a=—1時(shí)，丨1//12,不然|1與|2不平行.28(2)由A1A2+B1B2=0得a+2(a—1)=0?a=3.2?已知A(4,—3),B(2,—1)和直線1:4x+3y—2=0,在座標(biāo)平面內(nèi)求一點(diǎn)P,使PA=PB,且點(diǎn)P到直線I的距離為2.9【答案】P的坐標(biāo)為1,4或

278【分析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b),：A(4,-3),B(2,-1),???線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,-2),???線段AB的垂直均分線方程為y+2=x-3,即卩x-y-5=0.???點(diǎn)P(a,b)在上述直線上，?a—b-5=0?①|(zhì)4a+3b-2|又P(a,b)到直線1:4x+3y-2=0的距離為2,5=2,即卩4a+3b-2=±10②27彳a=V278a=17聯(lián)立①②可得或??所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,4或，7b=-4.87b=--3?如圖，已知A(4,0)、B(0,4)，從點(diǎn)P(2,0)射出的光芒經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，則光芒所經(jīng)過的行程是【答案】CD=2.10程PMN的長(zhǎng)為CD=2、和.【分析】由題意知點(diǎn)P對(duì)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為D(4,2)，對(duì)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C(-2,0),則光芒所經(jīng)過的路題型二圓的方程(對(duì)稱問題、圓的幾何性質(zhì)運(yùn)用)1?依據(jù)以下條件，求圓的方程：(1)經(jīng)過P(-2,4)、Q(3,-1)兩點(diǎn)，而且在x軸上截得的弦長(zhǎng)等于6;⑵圓心在直線y=—4x上，且與直線I:x+y-1=0相切于點(diǎn)P(3,-2).【答案】(1)x2+y2-2x-4y-8=0,或x2+y2-6x-8y=0(2)(x-1)2+(y+4)2=810【分析】(1)設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,2D-4E-F=20,①將P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得3D-E+F=-10.②112y0,1-y解0得,

又令y=0,得x2+Dx+F=0?③D=—2,E=—4,F=—8,或D=—6,E=—8,設(shè)xi,X2是方程③x2+y2—2x—4y—8=0，或x2+y2—6x—8y=0.的兩根，由Xi一4x0—2(xo,—4x0)，依題意得~=1,X2|=6有D2—4F=⑵如圖，設(shè)圓心36,④由①、②、④解得故所求圓的方程為???X0=1,即圓心坐標(biāo)為(1,—4),半徑r=22,故圓的方程為(x—1)2+(y+4尸=8.2?在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b(x?R)與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn).記過三個(gè)交點(diǎn)的圓為圓C.(1)求圓C的方程;(2)圓C能否經(jīng)過定點(diǎn)(與b的取值沒關(guān))?證明你的結(jié)論.【答案】(1)x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.(2)圓C必過定點(diǎn)(0,1),(-2,1)【分析】⑴設(shè)所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x2+Dx+F=0,這與x2+2x+b=0是同一個(gè)方程，故D=2,F=b；令x=0,得y2+Ey+b=0,此方程有一個(gè)根為b,代入得E=-b-1,所以圓C的方程為x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.證明以下：原方程轉(zhuǎn)變?yōu)?x-y-2(/+y2+2x-y)+b(1-y)=0,即,⑵圓C必過定點(diǎn)(0,1),(-2,1).1.3.點(diǎn)P(4,—2)與圓x2+y2=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)軌跡方程是【答案】(x—2)2+(y+1)2=1【分析】設(shè)圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為(X0,y0),x0+y0=4,連線中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),2x=x°+4X0=2x—4貝V?y=2y+2，代入x2+詭=4中得(x—2)2+(y+1)2=1.2y=y—20°題型三直線與圓、圓與圓的地點(diǎn)關(guān)系1.若過點(diǎn)P(1,1)的直線將圓形地區(qū)｛(x,y)|x2+y2w4分為兩部分，且使得這兩部分的面積之差最大，則該直12線的方程為_____________.【答案】x+y-2=0【分析】當(dāng)圓心與點(diǎn)P的連線和過點(diǎn)P的直線垂直時(shí)，切合條件.圓心O與點(diǎn)P連線的斜率k=1,所以所求直線的斜率為-1,故所求直線方程為x+y-2=0.13k0.【答案】【解析】2?直線

ykx3與圓(x3)2(y3)24訂交于M,N兩點(diǎn)，若MN2.3，貝Uk的取值范圍是AC.MC2-MA2431.???當(dāng)MN2?.3時(shí)，圓心C到直線ykx3的距離d1.k0.設(shè)圓心為C,弦MN的中點(diǎn)為A，當(dāng)MN2.3時(shí),3.若圓O：x2+y2=5與圓Oi：(x-m)2+y2=20(m?R)訂交于A,B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線相互垂直，則線段AB的長(zhǎng)是________.【答案】AB41AB12OAAO12、、525=4.【分析】依題意得OO1=；520=5,且^OO1A是直角三角形，SVOO/二一?一OO1=—OAAO1,所以AB=222OO1題型四定點(diǎn)定值軌跡問題1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1:(x+1)2+y2=1,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=1.設(shè)動(dòng)圓C同時(shí)均分圓C1、圓C2的周長(zhǎng).求證：動(dòng)圓圓心C在一條定直線上運(yùn)動(dòng)14(2)動(dòng)圓C能否經(jīng)過定點(diǎn)?若經(jīng)過，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請(qǐng)說(shuō)明原因【答案】(1)動(dòng)圓圓心C在定直線x+y-3=0上運(yùn)動(dòng)15(2)動(dòng)圓C過定點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為1-祭2-^1和1+三2+^12222【分析】⑴設(shè)圓心C(x,y),由題意，得CCi=CC2,即,(x1)2y2’(x-3)2(y-4)2，化簡(jiǎn)得x+y-3=0，即動(dòng)圓圓心C在定直線x+y-3=0上運(yùn)動(dòng).圓C過定點(diǎn).設(shè)C(m，3-m)，則動(dòng)圓C的半徑為1CCi2=.1(m1)2(3-m)2.于是動(dòng)圓C的方程為(x-m)2+(y-3+m)2=1+(m+1)2+(3-m)2,整理，得x2+y2-6y-2-2m(x-y+1)=0，聯(lián)立方程組0,x-y10，2y-6y-2x解得32或2-3Jy23J93\/23/23/2所以動(dòng)圓C過定點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為1-——,2-——和1+--------2+-------2222已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=4，直線|1過定點(diǎn)A(1,0).(1)若I1與圓相切，求直線11的方程?⑵若|1與圓訂交于P,Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，又|1與|2：x+2y+2=0的交點(diǎn)為N，判斷AMAN能否為定值？假如，則求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明原因【答案】(1)x=1或3x-4y-3=0.(2)AM-AN是定值且為6.【分析】⑴①若直線11的斜率不存在，即直線為x=1,切合題意.②若直線h斜率存在，設(shè)直線丨1的方程為y=k(x-1)，即kx-y-k=0.16|3k-4-k|3由題意知，圓心(3,4)到已知直線h的距離等于半徑2,即2=2,解得k=,Vk214217所以所求直線方程為x=1或3x-4y-3=0.x2y2k-23kkx-y-k0,2k1r2k1（2）方法一：直線與圓訂交，斜率必然存在，且不為0，可設(shè)直線方程為kx-y-k=0.又由于直線CM與li垂直,ykx-k，由1得Mk24k34k22ky-4-(x-3)，1k2'1k2k4k21k22k-2-13k=2|2k1^/1k2O"1k2k122k11k方法二：直線與圓訂交，斜率必然存在2，且不為所以AMAN=0y0,得“貉「產(chǎn)1

22k=6為定值?故AMAN是定值且為6.|2k1|0，可設(shè)直線方程為kx-y-k=0.ykx-k,再由22(x-3)(y-4)4,得(1+k2)x2-(2k2+8k+6)x+k2+8k+21=0,8k6k24k34k22k所以X1