高中數(shù)學一輪復習基礎知識手冊第十三篇：幾何證明選講

第十三篇幾何證明選講1．理解相似三角形的定義與性質，掌握直線與圓的位置關系2．會證明和應用以下定理(1)直角三角形的射影定理；(2)圓周角定理；(3)圓的切線的判定定理與性質定理；(4)相交弦定理；(5)圓內接四邊形的性質定理與判定定理；(6)切割線定理.知識能力解讀知能解讀(一)相似三角形的判定及有關性質1．平行線等分線段定理推論2：經(jīng)過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰．2．平行線分線段成比例定理定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例．3．相似三角形的判定及性質(1)相似三角形的判定值叫做相似比(或相似系數(shù))．②預備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的三角③相似三角形的判定定理判定定理1：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似．判定定理2：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角行于三角形的第三邊．判定定理3：對應任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似．簡述為：三邊對應成比例，兩三角形相似．④直角三角形相似的判定形的兩條邊對應成比例，那么它們相似．定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似．(2)相似三角形的性質定理：①相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比．②相似三角形周長的比等于相似比．③相似三角形面積的比等于相似比的平方．質的作用：①可用來證明線段成比例、角相等．②可間接證明線段相等．③可計算周長、特殊線段長．4．直角三角形的射影定理直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影與斜邊的比例中項．角三角形相似時，要特別注意直角這一隱含條件．知能解讀(二)直線與圓的位置關系(1)圓周角的概念頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．圓周角應滿足兩個條件：一是頂點在圓上，二是兩邊都和圓相交，二者缺一不可．(2)圓周角定理定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等．推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑． (3)圓心角定理定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)．2．圓內接四邊形的性質與判定定理(1)圓內接多邊形的概念任一個三角形都有外接圓，但任一個四邊形并不一定有外接圓．(2)圓內接四邊形的性質(3)圓內接四邊形的判定定理：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓．推論：如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓．3．圓的切線的性質與判定定理(1)直線與圓的位置關系相切(一個公共點)和相離(沒有公共點)．直線與圓的位置關系的判定可通過比較圓心到直線的距離和圓的半徑的大小來實現(xiàn)．(2)圓的切線的性質定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．(3)圓的切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．(4)切線長定理(1)弦切角的概念頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．弦切角必須具備三個條件：①頂點在圓上；②一邊是圓的切線；③一邊是過切點的弦．三者(2)弦切角定理定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．圓冪定理(1)相交弦定理定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．(2)割線定理定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等．(3)切割線定理解題方法薈萃思想方法(一)構造法通過添加輔助線構造相似三角形，證明或判斷等式．思想方法(二)中間量法思想方法(三)轉化思想思想方法(四)判定兩三角形相似的方法ABBCCAABBCCAAA'BCB'C'角形ACBBOD兩個三角形相似．簡單地敘述為：兩角對應相等，兩三角形相似．例如：如圖所述，若這兩個三角形相似．簡單地敘述為：三邊對應成比例，兩三角形相似．例如：如圖所示，若6．直角三角形相似的條件(1)以上定理都適用．(2)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似．例如：如圖所示，在RtABC和RtABC中，ACBA'C'B'(3)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形分別和原直角三角形相似．7．相似三角形的判定定理的選擇(1)已知有一角對應相等時，可選擇判定定理1或判定定理2．(2)已知有兩邊對應成比例時，可選擇判定定理2或判定定理3．(3)判定直角三角形相似時，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法來判定，如不能，再考慮用判定一般三角形相似的方法來判定．8．相似三角形的基本圖形(1)平行線型(如圖)．AAAAAD繞A旋轉DEECD交換繞A旋轉DEECDEBBCBCBBCBEEDEDAAADE繞A旋轉交換ADAADE繞A旋轉CCBBCCB(2)射影型(如圖)．ABDC思想方法(五)判定四點共圓的常用方法判定四點共圓的常用方法(1)如果四個點與一定點的距離相等，那么這四個點共圓．(2)如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓．(3)如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓．II．解題規(guī)律技巧規(guī)律技巧(一)平行線分線段成比例定理的應用在利用平行線分線段成比例定理及推論解決問題時，常在復雜的圖形中找出基本圖形(有時需添加輔助線，構成基本圖形)，借圖解題．規(guī)律技巧(二)三角形相似的應用由兩個三角形相似可以解決的問題主要有以下幾種：1．求線段的長或長度的比先判定兩個三角形相似，再由相似三角形的對應邊成比例求邊長或比值．2．判定或證明等積式或成比例線段(1)把等積式化為比例式，從而確定相關的兩個三角形相似． (2)確定兩個相關的三角形的方法是：把比例式橫看或者豎看，將兩條線段中的相同字母消去一個，由余下的字母組成三角形．(3)設法找到證明這兩個三角形相似的條件．3．證明線段相等相等來解決．但有時用這些方法不容易得出，而是借助相似三角形來解答．規(guī)律技巧(三)圓的切線的性質與判定的綜合運用在解決有關圓的切線問題(無論是計算還是證明)時，通常需要添加輔助線．一般地，添加 (1)已知一條直線是圓的切線時，通常連接圓心和切點，這條半徑垂直于切線． (2)要證明某條直線是圓的切線時，若已知直線經(jīng)過圓上的某一點，則需作出經(jīng)過這一點的半徑，證明直線垂直于這條半徑，簡記為“連半徑，證垂直”；若直線與圓的公共點沒有垂直，證半徑”．規(guī)律技巧(四)弦切角定理及其推論的應用計算、論證．弦切角的運用主要體現(xiàn)在以下幾個方面：①證明角相等；②證明直線平行；③證明線段相等；④證明三角形相似．規(guī)律技巧(五)與圓有關的成比例線段問題解決與圓有關的成比例線段問題的一般思路：(1)直接應用相交弦定理、切割線定理及其推論；(2)當比例式(等積式)中的線段分別在兩個三角形中時，可轉化為證明兩個三角形相似，III．易混易錯辨析易混易錯(一)因對元素不確定而引起錯誤易混易錯(二)因忽視分類討論而引起錯誤易混易錯(三)因誤用條件而引起錯誤易混易錯(四)因忽視弦切角定理的條件而引起錯誤易混易錯(五)因定理結論記憶不清而引起錯誤高考命題研究測今后幾年仍將作為課改地區(qū)的選考試題出現(xiàn)．高考命題中，圓的切線、弦切角常與圓內接四邊形、圓周角、相似三角形一起考查．而圓內度的計算等問題時，有重要作用，成為命題的熱點、重點．預測今后高考中仍以這類問題的求解、證明為主，題目以選擇題、填空題的形式考查線段長的計算，而以解答題、證明題來高考熱點(一)相似三角形的判定及有關性質相等或對應線段成比例，從而達到解決問題的目的．高考熱點(二)直線與圓的位置關系附錄：常用公式定理常用定理及性質(1)平行截割定理①平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上解得的線段相等，那么在其他直線上解得的線段也相等．②平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．(2)相似三角形的判定與性質①相似三角形的判定定理②相似三角形的性質定理a．相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比．(3)直角三角形的射影定理直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上(4)圓中有關的定理①圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．②圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)．③切線的判定與性質定理a切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．b．切線的性質定理半徑．④切線長定理⑤弦切角定理弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．⑥相交弦定理圓內的兩條相