交通大學(xué)微積分B第二學(xué)期期末考試試卷1答案

交通大學(xué)2010-2011學(xué)年第二學(xué)期《微積分B》期末考試一試卷(A)考試方式：閉卷任課教師：學(xué)院_____________專業(yè)___________________班級____________學(xué)號_______________姓名_____________題號一二三四五六七八九十總分得分閱卷人請注意：本卷共十道大題，若有不對，請與監(jiān)考老師調(diào)動試卷！一、填空題（每題3分，共15分）1、旋轉(zhuǎn)曲面zx2y2在點(diǎn)1,2,5處的法線方程為x1y2z52412、設(shè)L為半圓x2y2r2,x0,則x2ydsr3.L23、設(shè)是球面x2y2z2a2被平面zh0ha截出的頂部，則zdSaa2h24、設(shè)fx1,x0,為周期的傅里葉級數(shù)在x1x2,0，則其以2處收x2斂于25、函數(shù)uxy2z在點(diǎn)P1,1,2處的方導(dǎo)游數(shù)的最大值等于21二、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）第1頁共6頁11111、函數(shù)uxyz在附帶條件x0,y0,z0,a0下的極值等xyza于A.27a3，（B）9a3，（C）3a3，（D）a3.2、設(shè)函數(shù)fx,y連續(xù),則二次積分dx1fx,ydy等于B.sinx21dyfx,ydx,（B）1fx,ydx(A)dy0arcsiny0arcsiny（C）1arcsinyfx,ydx,（D）1arcsinyfx,ydx.dydy02023、設(shè)二元函數(shù)fx,y在點(diǎn)0,0處的某鄰域內(nèi)有定義,且有fx,yf0,00,則以下結(jié)論不正確的選項(xiàng)是Dlim22x0xyy0（A）fx,y在0,0處連續(xù),（B）fx,y在0,0處偏導(dǎo)數(shù)存在,（C）fx,y在0,0處可微，（D）fx,y在0,0處沿某方向l的方導(dǎo)游數(shù)不存在.4、設(shè)級數(shù)sinn2n1,此中為常數(shù),則以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是Cn1n當(dāng)為整數(shù)時(shí),級數(shù)發(fā)散,（B）當(dāng)為整數(shù)時(shí),級數(shù)絕對收斂,(C）當(dāng)為整數(shù)時(shí),級數(shù)條件收斂,（D）當(dāng)不為整數(shù)時(shí),級數(shù)條件收斂.5、由拋物線yx2及直線y1所圍成的平均薄片（面密度為）關(guān)于直線l:y1的轉(zhuǎn)動慣量為IlC（A）(x1)2dxdy(B)(x1)2dxdyDD(C)(y1)2dxdy(D)(y1)2dxdyDD三、（9分）設(shè)zf2xygx,xy,此中ft二階可導(dǎo),gu,v擁有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),求dz及2z.xy第2頁共6頁解：dzdf2xydgx,xyf'2xy2dxdyg1'x,xydxg'2x,xyydxxdy2f'2xyg1'x,xyyg'2x,xydxxg2'x,xyf'2xydyz2f'2xyg1'x,xyyg2'x,xyx2z2f"2xy"x,xy'x,xy"x,xyxyxg12g2xyg22四、（9分）計(jì)算二重積分(xy)dxdy，此中D{(x,y)x2y22x}.D解：(xy)dxdyD2d2cosrcosrsinrdr0228cos3cossind3162cos4d30五、（9分）設(shè)函數(shù)f(x,y,z)xyzxyzxyz6，問在點(diǎn)P(3,4,0)處沿如何的方向l，f的變化率最大？并求其最大的變化率.解：f3,4,0yz1,xz1,xy13,4,03,2,6，因此沿方向l3,2,6的變化率最大。最大的變化率為322262497.六、（9分）求冪級數(shù)xn的收斂域及和函數(shù),并求級數(shù)11的和.n0n1n0n12nan11n1解：limlimn2lim1，因此收斂半徑為R1。nann1nn2n1第3頁共6頁n當(dāng)x1時(shí)，1收斂；當(dāng)x1時(shí)，1發(fā)散，因此收斂域?yàn)?,1.n0n1n0n1設(shè)和函數(shù)sxxn1,1，則xsxxn11,1，逐項(xiàng)求導(dǎo)得0n,x,xn1n0n1xsx'xn1,x1,1，1n0x因此xsxx1dxln1x,x1,1.01x因?yàn)閘n1x在x1處連續(xù)，因此xsxln1x,x1,1.ln1x,x1,00,1,又明顯s01，因此sxx1,x011s12ln2.n0n12n2七、（9分）已知點(diǎn)O0,0及點(diǎn)A1,1,且曲線積分Iaxcosyy2sinxdxbycosxx2sinydy與路徑?jīng)]關(guān),試確立常數(shù)a,b,并OA求I.bycosxx2sinyaxcosyy2sinx解：因?yàn)榉e分與路徑?jīng)]關(guān)，因此，即xybysinx2xsinyaxsiny2ysinx，亦即b2ysinxa2xsiny，因?yàn)閥sinx與xsiny線性沒關(guān)，因此ab2.第4頁共6頁Iaxcosyy2sinxdxbycosxx2sinydyOA2xcosyy2sinxdx2ycosxx2sinydyOAcosydx2x2dcosyy2dcosxcosxdy2OAdx2cosyy2cosxOAx2cosyy21,1cosx0,02cos1.八、（9分）計(jì)算曲面積分2xzdydzzdxdy,此中為有向曲面zx2y20z1,其法向量與z軸正向夾角為銳角.解：設(shè)1為圓盤x,y,1x2y21，取下側(cè)。與1圍成的地區(qū)記為，由高斯公式，2xzdydzzdxdy13dxdydz13dzdxdy0Dz1zdz3032因此2xzdydzzdxdy32xzdydzzdxdy213dxdy2D32.2此中Dx,y,0x2y21.第5頁共6頁九、（9分）求錐面zx2y2被平面x2z3所截下的有限部分的面積.x122zx22,y解：錐面與平面的交線為y它在xOy面上的投影為1,x2z343z0.x12設(shè)Dx,y,0y21，則43x2y2S1dxdyy2x2y2Dx22Ddxdy26.十、（7分）設(shè)f