時(shí)間序列的預(yù)測(cè)

時(shí)間序列的預(yù)測(cè)第1頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五☆時(shí)間序列的預(yù)測(cè)：根據(jù)現(xiàn)在與過去的隨機(jī)序列的樣本取值，對(duì)未來某一時(shí)刻的隨機(jī)變量進(jìn)行估計(jì).☆已知條件：設(shè)當(dāng)前時(shí)刻為t，已知序列{Xt}在時(shí)刻t及以前的觀察值Xt，Xt-1，Xt-2，…欲對(duì)t時(shí)刻以后的觀察值Xt+l(l>0)進(jìn)行預(yù)測(cè)，稱為以t為原點(diǎn)，向前步長為l的預(yù)測(cè)，記為(預(yù)測(cè)值).第2頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五☆預(yù)測(cè)效果的衡量標(biāo)準(zhǔn)：預(yù)測(cè)誤差(隨機(jī)變量)的方差最小——最小均方誤差預(yù)測(cè).預(yù)測(cè)誤差方差第3頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五線性預(yù)測(cè)函數(shù)預(yù)測(cè)方差最小原則即使最小.第4頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五☆預(yù)測(cè)內(nèi)容：點(diǎn)預(yù)測(cè)、區(qū)間預(yù)測(cè).☆預(yù)測(cè)原理：最小方差預(yù)測(cè)值由Xt+l的條件期望得出，即第5頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第一節(jié)

平穩(wěn)時(shí)間序列的預(yù)測(cè)一、

條件期望預(yù)測(cè)二、適時(shí)修正預(yù)測(cè)第6頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五一、條件期望預(yù)測(cè)（一）{Xt}的條件期望及性質(zhì)因?yàn)閧Xt}具有相關(guān)性，所以Xt+l的概率分布為在Xt，Xt-1，…給定條件下的條件分布，從而期望亦為條件期望第7頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五性質(zhì)1、現(xiàn)在或過去觀察值的條件期望即為其本身（已知的）2、現(xiàn)在或過去擾動(dòng)的條件期望即為其本身（可計(jì)算出）第8頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五3、未來觀察值的條件期望即為其預(yù)測(cè)值4、未來擾動(dòng)的條件期望為零第9頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五（二）平穩(wěn)時(shí)間序列的條件期望預(yù)測(cè)——格林函數(shù)形式：1、

模型的傳遞形式：第10頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五2、預(yù)測(cè)公式：推導(dǎo)第11頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五(4)

Xt+l的置信區(qū)間：Xt+l的95%的置信區(qū)間為：3、預(yù)測(cè)誤差：第12頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五序列分解預(yù)測(cè)誤差預(yù)測(cè)值第13頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五特點(diǎn)(1)預(yù)測(cè)步數(shù)l越大，則置信區(qū)間的寬度越大；(2)與預(yù)測(cè)原點(diǎn)t無關(guān).注①實(shí)際中，可估計(jì)出；②一般，近似截取有限項(xiàng).結(jié)論：（1）在X1,X2…Xn條件下預(yù)測(cè)Xn+l，Xn+l的條件期望與最小均方誤預(yù)測(cè)的結(jié)論是一樣的；（2）最小均方誤預(yù)測(cè)就是基于現(xiàn)有值的條件期望值.第14頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五（三）平穩(wěn)時(shí)間序列的逆轉(zhuǎn)形式預(yù)測(cè)：1、

模型的逆轉(zhuǎn)形式：第15頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五2、預(yù)測(cè)公式：推導(dǎo)第16頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五（四）直接從模型入手的預(yù)測(cè)：第17頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五1、AR(p)模型AR(1)模型的條件期望預(yù)測(cè)設(shè)適合如下AR(1)模型：以t為原點(diǎn)，向前一步預(yù)測(cè)公式為：第18頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五向前兩步預(yù)測(cè)公式為：向前L步預(yù)測(cè)公式為：第19頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五AR(2)模型的條件期望預(yù)測(cè)設(shè)適合如下AR(2)模型：以t為原點(diǎn)，向前一步預(yù)測(cè)公式為：第20頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五向前兩步預(yù)測(cè)公式為：向前L步預(yù)測(cè)公式為：第21頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五AR(p)序列的預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)值預(yù)測(cè)方差95％置信區(qū)間第22頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五2、MA(q)模型MA(1)模型的條件期望預(yù)測(cè)設(shè)以t為原點(diǎn)，向前一步預(yù)測(cè)公式為：第23頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五向前兩步預(yù)測(cè)公式為：向前L步預(yù)測(cè)公式為：第24頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五MA(q)序列的預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)值預(yù)測(cè)方差第25頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)：向前一步預(yù)測(cè)：對(duì)上式兩端求條件期望得到一步預(yù)測(cè)值：3、ARMA(p,q)序列預(yù)測(cè)第26頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五向前兩步預(yù)測(cè)：對(duì)上式兩端求條件期望得到兩步預(yù)測(cè)值：第27頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五預(yù)測(cè)值預(yù)測(cè)方差向前L步預(yù)測(cè)公式第28頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五（五）預(yù)測(cè)誤差與白噪聲的關(guān)系

時(shí)的預(yù)測(cè)誤差為：亦即：說明ARMA模型中白噪聲項(xiàng)其實(shí)就是以為原點(diǎn)，向前一步預(yù)測(cè)誤差。

由此可推得，向前一步預(yù)測(cè)誤差的方差其實(shí)就是白噪聲項(xiàng)的方差。第29頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五例1、已知某地區(qū)每年常駐人口數(shù)量近似服從MA(3)模型（單位：萬）：最近3年的常駐人口數(shù)量及一步預(yù)測(cè)數(shù)量如下預(yù)測(cè)未來5年該地區(qū)常住人口的95％置信區(qū)間年份統(tǒng)計(jì)人數(shù)預(yù)測(cè)人數(shù)200210411020031081002004105109第30頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第31頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第32頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第33頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第34頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第35頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第36頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五注(1)在預(yù)測(cè)時(shí)，往往給at序列一個(gè)初始值，之前的擾動(dòng)視為零，由此可遞推計(jì)算出at.(2)如果把預(yù)測(cè)值看作的函數(shù)，則預(yù)測(cè)函數(shù)的形式是由模型的自回歸部分決定的，滑動(dòng)平均部分用于確定預(yù)測(cè)函數(shù)中的待定系數(shù)，使得預(yù)測(cè)函數(shù)“適應(yīng)”于觀測(cè)數(shù)據(jù).第37頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五二、適時(shí)修正預(yù)測(cè)（一）問題的提出以時(shí)刻t為原點(diǎn)向前預(yù)測(cè)，得到

當(dāng)?shù)綍r(shí)刻t+1時(shí)，Xt+1已成為已知，對(duì)于t+2,t+3,…時(shí)刻的預(yù)測(cè)是否還用原來的

問題：當(dāng)有新息加入時(shí)，如何修正原有預(yù)測(cè)？第38頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五修正預(yù)測(cè)定義所謂的修正預(yù)測(cè)就是研究如何利用新的信息去獲得精度更高的預(yù)測(cè)值

方法在新的信息量比較大時(shí)——把新信息加入到舊的信息中，重新擬合模型

在新的信息量很小時(shí)——不重新擬合模型，只是將新的信息加入以修正預(yù)測(cè)值，提高預(yù)測(cè)精度第39頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五（二）適時(shí)修正預(yù)測(cè)第40頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五修正預(yù)測(cè)原理在舊信息的基礎(chǔ)上，的預(yù)測(cè)值為假設(shè)新獲得一個(gè)觀察值，則的修正預(yù)測(cè)值為修正預(yù)測(cè)誤差為預(yù)測(cè)方差為第41頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五（三）含義

當(dāng)有新息加入時(shí)，新的預(yù)測(cè)值可在舊預(yù)測(cè)值基礎(chǔ)上，適當(dāng)修正獲得，修正項(xiàng)為Glat+1，與舊的一步預(yù)測(cè)誤差有關(guān)，系數(shù)Gl隨預(yù)測(cè)超前步數(shù)而變化.第42頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五一般情況假設(shè)新獲得p個(gè)觀察值，則的修正預(yù)測(cè)值為修正預(yù)測(cè)誤差為預(yù)測(cè)方差為第43頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第二節(jié)

非平穩(wěn)時(shí)間序列的預(yù)測(cè)一、最小均方誤差預(yù)測(cè)二、指數(shù)平滑預(yù)測(cè)三、預(yù)測(cè)效果評(píng)估四、預(yù)測(cè)的Eviews實(shí)現(xiàn)第44頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五一、最小均方誤差預(yù)測(cè)雖然均值和二階矩隨時(shí)間變化，但過程可由有限的參數(shù)完全確定.設(shè)模型可逆1、當(dāng)Xt,Xt-1,…已知時(shí)，Xt+l的最優(yōu)預(yù)測(cè)由其條件期望給出，即第45頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五2、ARIMA模型的預(yù)測(cè)公式與ARMA模型有完全相同的形式.第46頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五3、對(duì)于不同的模型，Gj的性質(zhì)各不相同，從而預(yù)測(cè)的穩(wěn)定性不同.(1)ARMA:①

系統(tǒng)的記憶性衰減為零，預(yù)測(cè)值隨著超前步數(shù)的增大，也將趨于零(過程的均值).②

預(yù)測(cè)的有效范圍可由兩條水平線表示.第47頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第48頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五(2)ARIMA:①

系統(tǒng)的記憶性趨于恒定，預(yù)測(cè)值隨著超前步數(shù)的增大，也將趨于常數(shù).②

預(yù)測(cè)有效的范圍隨預(yù)測(cè)步長的增大而增大，預(yù)測(cè)結(jié)果隨時(shí)間推移越來越不確定，不再可信.第49頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第50頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五4、實(shí)際預(yù)測(cè)中，可對(duì)SARIMA或ARIMA模型直接考察條件期望，即直接由模型表達(dá)式遞推出Xt+l的表達(dá)式，等式兩邊求條件期望可得.第51頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五考察如下模型已知ARIMA(1,1,1)模型為

且求的95％的置信區(qū)間.

第52頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五等價(jià)形式計(jì)算預(yù)測(cè)值第53頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五計(jì)算置信區(qū)間Green函數(shù)值方差95％置信區(qū)間第54頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五二、指數(shù)平滑預(yù)測(cè)（一）指數(shù)平滑預(yù)測(cè)1、簡單移動(dòng)平均法①選一個(gè)N，N的大小取決于我們想要研究多遠(yuǎn)的過去，并取最近N個(gè)觀察值的平均數(shù)作為下一個(gè)觀察值的預(yù)測(cè)值.②對(duì)Xt~Xt-N+1給定一個(gè)相等的權(quán)數(shù)1/N，對(duì)Xt-N及以前的觀察值給一個(gè)零權(quán)數(shù)的加權(quán)平均數(shù).第55頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五2、指數(shù)平滑法①由于系統(tǒng)對(duì)過去記憶的衰減，強(qiáng)調(diào)遞減權(quán)數(shù)，使時(shí)間越遠(yuǎn)的觀察值，其權(quán)數(shù)越小.②兩個(gè)重要公式③平滑常數(shù)的確定是關(guān)鍵，保證衰減.第56頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五3、指數(shù)平滑預(yù)測(cè)與ARIMA模型預(yù)測(cè)的關(guān)系①指數(shù)平滑預(yù)測(cè)是ARIMA預(yù)測(cè)的特例.②ARIMA模型提供非常自然和最優(yōu)方式預(yù)測(cè)所需的權(quán)數(shù)，而移動(dòng)平均或指數(shù)平滑需特別注意權(quán)數(shù)的個(gè)數(shù)和形式.③ARIMA預(yù)測(cè)是最小均方誤差預(yù)測(cè)，而移動(dòng)平均或指數(shù)平滑不具有這種最優(yōu)特性.第57頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五※預(yù)測(cè)精度的一般含義是指預(yù)測(cè)模型擬合的好壞程度，即由預(yù)測(cè)模型所產(chǎn)生的模擬值與歷史實(shí)際值擬合程度的優(yōu)劣.

如何提高預(yù)測(cè)精度是預(yù)測(cè)研究的一項(xiàng)重要任務(wù).不過，對(duì)預(yù)測(cè)用戶而言，過去的預(yù)測(cè)精度毫無價(jià)值，只有預(yù)測(cè)未來的精確度才是最重要的.

三、預(yù)測(cè)效果評(píng)估

第58頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五※測(cè)定預(yù)測(cè)精度的方法

平均誤差和平均絕對(duì)誤差

平均誤差的公式為：

平均絕對(duì)誤差的公式為：

第59頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五

平均相對(duì)誤差和平均相對(duì)誤差絕對(duì)值平均相對(duì)誤差的公式為：

平均相對(duì)誤差絕對(duì)值的公式為：

第60頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五預(yù)測(cè)誤差的方差和標(biāo)準(zhǔn)差

預(yù)測(cè)誤差的方差公式為：

預(yù)測(cè)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差公式為：

預(yù)測(cè)誤差的方差比平均絕對(duì)誤差或平均相對(duì)誤差絕對(duì)值能更好地衡量預(yù)測(cè)的精確度.第61頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五

假設(shè)預(yù)測(cè)樣本為，T為實(shí)際值樣本長度，用和分別表示t期的實(shí)際值與預(yù)測(cè)值.計(jì)算出的預(yù)測(cè)誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下所示：

第62頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第63頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五RootMeanSquaredError

均方根誤差

MeanAbsoluteError

平均絕對(duì)誤差

MeanAbsolutePercentageError

平均相對(duì)誤差

TheilInequalityCoefficient

泰爾不等系數(shù)

第64頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五

前兩個(gè)預(yù)測(cè)誤差統(tǒng)計(jì)量由因變量規(guī)模決定.它們應(yīng)該被作為相對(duì)指標(biāo)來比較同樣的序列在不同模型中的預(yù)測(cè)結(jié)果，誤差越小，該模型的預(yù)測(cè)能力越強(qiáng).

后兩個(gè)統(tǒng)計(jì)值是相對(duì)量.泰爾(Theil)不等系數(shù)總是處于0和1之間，這里0表示與真實(shí)值完全擬合.第65頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五式中分別為和的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，r為和的相關(guān)系數(shù).該比值被定義為：

預(yù)測(cè)均方差可以分解為：第66頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五BiasProportion偏差比

VarianceProportion方差比

CovarianceProportion協(xié)方差比

偏差比表明預(yù)測(cè)均值與序列實(shí)際值的偏差程度；方差比表明預(yù)測(cè)方差與序列實(shí)際方差的偏離程度；協(xié)方差比衡量非系統(tǒng)誤差的大小.

注意：偏差比、方差比和協(xié)方差比之和為1.

如果預(yù)測(cè)結(jié)果好，那么偏差比和方差比應(yīng)該較小，協(xié)方