中學(xué)數(shù)學(xué)中的分形幾何

中學(xué)數(shù)學(xué)中的分形幾何廣西桂林市恭城瑤族自治縣栗木中學(xué)數(shù)學(xué)組何桂榮,542502,桂林市第十八中學(xué)數(shù)學(xué)組蔣雪祥(541004)內(nèi)容提要:本文論述了規(guī)則圖形的容量維，對容量維的計算作了說明，同時還對4個較為著名的與中學(xué)有關(guān)的，或是可以用于啟發(fā)學(xué)生思維的分形問題進行了分析。關(guān)鍵字:容量維Sierpinski三角毯Koch曲線Koch島Sierpinski-Menger海綿1973年，曼德勃羅(B.B.Mandelbrot)在法蘭西學(xué)院講課時，首次提出了分維和分形幾何的設(shè)想。分形(Fractal)一詞，是曼德勃羅創(chuàng)造出來的，其原意具有不規(guī)則、支離破碎等意義，分形幾何學(xué)是一門以非規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)。由于不規(guī)則現(xiàn)象在自然界是普遍存在的，因此分形幾何又稱為描述大自然的幾何學(xué)。數(shù)千年來，幾何學(xué)的發(fā)展從來沒有二十世紀誕生的分形幾何那樣對物理學(xué)和數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生如此巨大的影響。分形幾何對我們大多數(shù)人來說是陌生的，因為它看起來離我們太遠。其實分形就在我們身邊，在近年的競賽與高考中，分形的影子已經(jīng)出現(xiàn)。中學(xué)數(shù)學(xué)中的分形與數(shù)學(xué)研究中的分形所看的角度與研究目標都不同，可以說是羊頭狗肉之分吧。筆者試對此進行一點探討，以拋磚引玉爾。一、規(guī)則圖形的容量維為了描述混沌學(xué)中奇怪吸引子的這種奇特結(jié)構(gòu)，曼德爾布羅特(Mandelbrot)最早(1975年)引進了分形(既其維數(shù)是非整數(shù)的對象)的概念。維數(shù)是描述客體的重要幾何參量。也可以說，維數(shù)是為了確定幾何對象中一個點的位置所需的獨立坐標數(shù)目。已經(jīng)知道:點是零維，線是一維，平面是二維，而立方體是三維的。這種維數(shù)稱為拓撲維，用字母"d"表示。維數(shù)也可以這樣來考慮:比如，取一線段，將該線段的長度乘2，就得到另一個線段，長度為n=2個原線段長度。一正方形，每邊長×2，得到一個大的正方形，它等于4個原來大小的正方形。一立方體，每邊長×2，得到一個大的立方體，它等于8個原來大小的立方體。由此可以推得，一個d維的幾何對象，它的每一個獨立方向都增長L倍，結(jié)果得到NlnNd個原來的對象，這三者的關(guān)系為,兩邊取自然對數(shù)，得維數(shù)。在LN,d,lnLlnln8N本例的正方體中，如果是L=2,則必有N=8,于是就有，即立方d,,,3lnln2L它可以是分數(shù)，體是三維的。將上式的定義加以推廣，就得到d不必一定是整數(shù)，D我們就把這樣推廣定義的維數(shù)稱為分維(fractal)，用字母""表示。對于規(guī)則的幾何對象，可以使用統(tǒng)一的長度變換倍數(shù)L。而對于不規(guī)整的復(fù)雜體，如海岸線的長度，總長度與測量單位有關(guān)，為了得到精確的測量，不是把尺寸放大L倍，而是測量單位縮小為原來的ε倍，L,,,ε，測量長度次數(shù),隨ε減小而增ln()N,大，記為,(ε)，這時分維定義為:。上式定義的分維稱為,,D(0),1ln,D容量維，又稱為柯爾莫哥洛夫(,.,.Kolmogorov)容量維?？梢宰C明，拓撲DD維d和分維滿足如下關(guān)系:d?式中取等號是對普通規(guī)則幾何對象而言的。容量維為非整數(shù)的典型的例子是康托集合。圖示，考慮一閉合線段[0,1]，將其分成三等分，舍棄中段，剩下的兩段如再分別三等分和舍棄中段，如此繼續(xù)下去，最后剩下的點的總體就是康托集合。D它是一種處處稀疏的對象(自相似結(jié)構(gòu))，其拓撲維d=0，現(xiàn)在來求它的分維。1nn當ε,1/3，N=2;當ε,1/9，N=4;...亦即當時，N=。于是可得康托2,,()3nln()ln2ln2N,集合的容量維為,,,,由此可見康托集合滿足關(guān)系D0.63111ln3nlnln()1,3d?D。奇怪吸引子的維數(shù)從一個側(cè)面反映了說明此吸引子所必須的信息量，它是該系統(tǒng)中最重要和最主要的信息，對它的細致研究將有利于我們抓住問題的主要方面，更根本地分析和認識問題。二、中學(xué)數(shù)學(xué)分形問題與分形幾何學(xué)問題的例子例1、將一個三角形的三邊中點連結(jié)，挖去所得的小三角形;再將剩下的圖形的各邊的中點連結(jié)，各得一個三角形，挖去所得三角形;如此繼續(xù)下去，第七次總共可得多少個三角形(例如第二次挖去后，總共有13個三角形),第一次(4個)第二次(13個)第三次(40個)這個問題就是分形幾何學(xué)中所說的Sierpinski三角毯，在我們競賽中是一個n數(shù)列問題，而在分形幾何中，它是一個規(guī)則的分形。其中白色的三角形共有(n3為第n次挖取)。當然在分形幾何中，所研究的不是三角形的個數(shù)，而是利用下ln()N,述公式從測度的角度把規(guī)則圖形的維度D確定為。這里的,,,D(0),1ln,是測量單元的尺寸，是測度得到的規(guī)則圖形的測量單元數(shù)。本例中N(),nln3ln31nn=，=于是得到此分形圖的容量維為D,,,N(),1.585,3()1ln22ln1n()21例2、如圖，挖去線段中間的后，加上等邊三角形的二邊，形成四段等長3線段組成的折線，如此無限地進行下去，形成處處連續(xù)、但處處不可微的Koch曲線。在數(shù)學(xué)競賽中，本問題是要求折線的條數(shù)。第nn次變換后有條。但在分形幾何中，用上述的公4ln()N,式可以計算此分形圖的容量維,,D(0),1ln,nln4ln4D,,,為1.2621ln3ln1n()3例3、如圖，這是著名的n級三分Koch島，在我們的問題中，一是可能問及的問題是，每次三分后，邊長如何變化;二是當其進行無限次等分后，其面積是多少。前者是數(shù)列通項問題，后者是數(shù)列與極限問題。在分形幾何中，nln4ln4其容量維仍為。D,,,1.2621ln3ln1n()3、正方體27等分(沿三條棱三等分)成27個小正方體，挖去中心和6例4個面中心位置上總共6個小正方體，留下20個小正方體，如此無限進行，試求當進行到第n次時，有多少個小正方體。其容量維為多大,n此為分形幾何中著名的Sierpinski-Menger海綿，其中正方體有個，其容20nln20ln20量維為D,,,2.7771ln3ln1n()3上述幾個例子說明了分形幾何已經(jīng)成為中學(xué)數(shù)學(xué)的一個問題源。這只是分形幾何中與中學(xué)學(xué)習(xí)中最能讓我們理解的幾個問題，還有許多問題需要我們許多同行去研究挖掘。不難看出，這些問題還只是處于其最常見的變形為數(shù)列或幾何問題，其基本數(shù)學(xué)思想還沒有進入中學(xué)。某些地區(qū)已經(jīng)將分形幾何作為中學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容，可以預(yù)見，分形幾何不僅在內(nèi)容上走進中學(xué)，其根本的思想也將在不久的未來進入中學(xué)課堂。學(xué)生經(jīng)常問數(shù)列的一些問題是如何來的，一些立體幾何問題為什么那么看起來無聊而又一再考試，這些都是應(yīng)當看到和說明的。教師應(yīng)當了解一點分形幾何，從而拓寬自己的數(shù)學(xué)問題源，讓自己的知識更加豐富，通過這些有趣的知識調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、激發(fā)學(xué)生的求知欲，這無疑是一個很好的選擇。教師為學(xué)習(xí)分形幾何可以參考的書有許多，筆者所閱讀的書列于本文之后的參考資料。參