量子力學第二版第六章散射習題答案

量子力學量子力學-第二版-第六章--散射-習題答案--周世勛#/10第六章散射U(r)=—L粒子受到勢能為 r2的場的散射，求S分波的微分散射截面。［解］為了應(yīng)用分波法，求微分散射截面，首先必須找出相角位移。注意到第l個分波的相角位移工是表示在輳力場中的矢徑波函數(shù)Rl和在沒有散射勢時的矢徑波函數(shù)jl在rf8時的位相差。因此要找出相角位移，必須從矢徑的波動方程出發(fā)。1d1d(dRAr石Vr2dj+(k2-V(r)-l(l+1))R=0r2l其中R是波函數(shù)的徑向部分V(r)V(r)=型U(r),“2XX(r)R=—l 令lr，k2=型E“2不難把矢徑波動方程化為X"+[k2-l(l+D—吧'r2 “2r2J再作變換Xl=rrf(r),得1丫2uae+-+——V2Jk2 “2這是一個貝塞爾方程，它的解是f(r)=AJ(kr)+BN(kr)其中p(1A

l十萬V222^a“2注意到NP(kr)在rT0時發(fā)散，因而當rT0時波函數(shù)N-^pT8、工 ，不符合波函數(shù)的標準條件。所以必須有B=0R=A1=J(kr)

l r:rp現(xiàn)在考慮波函數(shù)Rl在rT8處的漸近行為，以便和jl在rT8時的漸近行為比較，而求得相角位移"，由于：R(rfoo) —sin(^r-—71+—)=—sin(Z:r-—71+8)r2 4r2 1s 兀 兀兀，71If,o=——p+——+一1=———《I/+-i2422甲;當"很小時，即01較小時，把上式展開,“n212)略去高次項得到|HC8二—三』,2]/+?2芭—1=2/8響=，￡2ikX1(2Z+l)(e2/57-l)P(cos6)i2|LIOC=AS(2/+1)-譏」2ik 21+11=0v ，一吧￡p(c°se)kr\2 i1=011-p-=' =<' Jr2+r2—2rrcosO口 、1 2 12 .注意到 、如果取單位半徑的球面上的兩點來看則即有, 1 =￡p(COS0)=——Ly也(1-cosO),J 五衛(wèi)2〃e)二-警』由2sin-故 2微分散射截面為\P(cos0)i/匕P(cos0)當廠2廠r{r1 121=0V17Lp(cos0)當廠《廠r{r1 121=0V27o2f(9)d。=上叱 de=巴巴csc2?dok2中U 8邛E 22由此可見，粒子能量E愈小，則9較小的波對微分散射截面的貢獻愈大；勢能常數(shù)a愈大，微分散射截面也愈大。U,當r<aU(r)={02.慢速粒子受到勢能為 〔0' 當r>a的場的散射，若E<Uo'Uo>0，求散射截面。［解］慢速粒子的德布羅意波長很長，所以只需要考慮S分波?！╥ l(l+1)nTOC\o"1-5"\h\zx+k2— x=0、 l r2 l在r>a處，方程為L/ 」, 2NEk2=一其中 n2l7,l(l+1)nx-k2+ x=0l r2 l在r<a處，則有 Lr」2n(U—E)k2= 0 其中 n2R=X而波函數(shù)是 lr在入>>a的情況下，只故慮s分波，即l=0的情況，上面兩個方程變?yōu)閞>a x"+k2x=00 0r<a x"一k2x=00 0其解分別為當r>當r>a時，x=Bsin(kr+5)0 0當r<a時，x=Ashkkr+Afchkr0由于在r由于在rT0時，R=A0丫有限，但cosnkr T1當rT0故A=0x=Ashk'r (r<a)0在r=a處，波函數(shù)R0及其微商必須連續(xù)，因此得出Ashka=Bsin(ka+8)0A.A—kchka--shka=a a2—kcot(ka+8)--sin(ka+8)0 a2用前式除后式可得k'cothka=kcot(ka+8)0ktgnka=一tg(ka+8)即 k 0ffk8=tg-1—tg詠0Ik'一ka因此S分波的輻射截面是Q二把sin28二把sin2tg0k2 0k2-1一tgnka-kak當速度較小時，kT0，可以近似地認為P小2叩

k=k= 00 “2tghka=tghka這時有 00k8二一tghka-ka0k00假如U0T9，相當于在受到球形無限深勢阱散射的情況這時由于f少-1]Ika)0Q=4兀a20(tgnka)20—k2a20當k0T961一、a3.只考慮S分波，求慢速粒子受到勢能U3.只考慮S分波，求慢速粒子受到勢能r4的場散射時的散射截面。aR二一［解］當只考慮1=0，即S分波時，令 r，則％滿足的方程是:I一把二二0“2r4

為了解此方程，作如下代換，令X(r)=￡'rf(r)，由于. -. 11x-rrf(r)+--f(r)2%：rx"-%：rf〃(r)+幺1)-1f(r)?r-32可將原方程化為(2Rd1 1J+kn2r72 4r32J(2Rd11Jcnr"+索，為了化簡方程，再作變換，令注意到df_dfd己drd己drdf_dfd己drd己drdf.、②Ra1d1-id--^g2

dgv2Ra竺-d_(4dr2 dgkdgJ2padm. -Idr+2ig^.2Radgdr答I4g2J2+2g3dg2kv2RaJ方程可以化為+]1+]1-

kaJ)2J這是，-2階的貝塞爾方程，它的解是f(r)=H(i)i2式中H(1)表示第一類漢克爾函數(shù)，按定義為H(1)&)=

p—r^—，-ip兀J(g)—JsinpH(1)&)=

p當g<<1時，心)=2pr(p+1)當廠.00,1時-L 當尸一＞8 .兀 J.，22 sm-22r-2L（2「⑴r~"3）1"n1r而UJ 2 2/. x=Jr/（r）=&H（i）.-2四（WJ' 7當一很大時，X二常數(shù)r上4/空4尺=刈=常數(shù)（邛2.ajr （2|biaJ 八rp,另一方面「「sin（^r-0）-cos伏廣一0）.R=C +C—— 二吊.2-2r11n=松。+4|_1r數(shù)Sn（f）“⑴化） 1kr 2當力＜＜1時（rAA三常數(shù)。+T11r）C- \C其中 12eC7J2|iiatgo=—2■左=3 k0C T|散射截面Q=4端2=（婦巴01nJ上述解的條件是卜，/2.a1Q—V 公＜＜1，即 nrr_”日吟:In2J=80彳8呼ia,玩—二左2T|2?1\.2\.2世亦即要求

1<<r<<-k4.用玻恩近似法求粒子在勢能U(r)=U0e一a2r2場中散射時的散射截面。［解］按玻恩近似法計算微分散射截面的公式q(0)=|/(9)|28rsinkre-a2r2dr［見教材(55-23)式］K2=4k2sin2-其中 2,0為入射粒子方向和散射粒子方向之間的夾角。在本題中U(r)=Ue-a2r20f(0)=-24U°J8rsinKre-a2r2drkn2 0=i^U0J8r(e-a2r2+iKr-e-a2r2-iKr)dr

kn20空幺e-言J8re-a2，藍1dr-生幺e-言J8re-a2/2K21drkn2 0 kn2 0J8re-。2fr-注意到0-K-2a2dr=J8-aJ8re-。2fr-注意到0-K-2a2dr=J8-a2Ir一eIiK2a22dr+%J8e-a2，-*)dr2a20=J8xe-a2x2dx+0iK玩1+iK加2a22a 2a24a3J8 -a2fr+"K]-JreI2a2)0又dr=iK)r+--2a2)f _K_-a21r+eI2a22dr-以J8e-a2,+我)2dr2a201 十2a2iK玩4a3f(0)二町e十.五Kn2 2a3RU-J兀-皿 0 e4a22n2a30K2=4K2sin2—2q(0)=|f(0)|2=K2 0-e2a24n4a6U(r)=<rb,U(r)=<rb,場中散射的微分散射截面，Ze2式中s5.利用玻恩近似法求粒子在勢能Ze2

s_

r0,［解］由勢能U(r)的形狀容易看出，計算f(9)時只需計算由0fa的積分即可。f(9f(9)=奈J;rs1nKr[9-bWr=——Jaze2sinKrdr+Jar2sinKrdrkn20 kn2b0d^ze21 0 ?一cosKrd^ze21 0 ?一cosKr+kn2k0 K2n2b生(1-cosKa)k2n2JacosKadr02日—a2cosKa+2a./sinKa一2JK2n2bkk2口「 ,,2a2r一a2cosKa-——sinKa+K2n2b_KasinKrdr0mze2. (coska-1)+k2n2(1-cosKa)K2??. q(。)=|f(9)|24u2I- 4u2I- 1\ze2(1-cosKa)+K4n4[ ba2cosKa-竺sinKa+—(1-cosKa)9K=2ksin其中2其中r_6.用玻恩近似法求在勢能U(r)=~U0€a(a>0)場中散射時的微分散射截面，并討論在什么條件下，可以應(yīng)用玻恩近似法。［解］(1)求微分散射截面drdrf(9)=-斗kn2

(rsinkr一Ue02Wf=k中0rikr—e-ikr)eadr=&If-reN-^1rdr-fikn2I01±1ik+Ir7a)dr^U 0ikn2、2、2a2^U(1+ika)2-(1-ika)2 0的24a3^U

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“2(1+a2k2)2(1+a2k2)2???通)=1f()2"黑三16日2U2a6

0——UU(°中<<L由教材(55-25)式(2)討論玻恩近似法可以應(yīng)用的條件。顯然，這個條件是和(55-26)式fgV(r)(e2ikr-1)dr=0巴卜V(r)(e2ikr-