全等三角形作輔助線經(jīng)典例題

./全等三角形作輔助線經(jīng)典例題常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種：遇到等腰三角形,可作底邊上的高,利用"三線合一"的性質(zhì)解題,思維模式是全等變換中的"對(duì)折"．遇到三角形的中線,倍長(zhǎng)中線,使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的"旋轉(zhuǎn)"．遇到角平分線,可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線,利用的思維模式是三角形全等變換中的"對(duì)折",所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的"平移"或"翻轉(zhuǎn)折疊"；〔遇垂線及角平分線時(shí)延長(zhǎng)垂線段,構(gòu)造等腰三角形截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法,具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等,或是將某條線段延長(zhǎng),是之與特定線段相等,再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明．這種作法,適合于證明線段的和、差、倍、分等類(lèi)的題目．特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類(lèi)的問(wèn)題時(shí),常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái),利用三角形面積的知識(shí)解答．一、倍長(zhǎng)中線〔線段造全等1：已知,如圖△ABC中,AB=5,AC=3,則中線AD的取值范圍是_________.2：如圖,△ABC中,E、F分別在AB、AC上,DE⊥DF,D是中點(diǎn),試比較BE+CF與EF的大小.3：如圖,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中點(diǎn),求證：AD平分∠BAE.中考應(yīng)用1、以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt,連接DE,M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)．探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．〔1如圖①當(dāng)為直角三角形時(shí),AM與DE的位置關(guān)系是,線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；〔2將圖①中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)<0<<90>后,如圖②所示,〔1問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由．二、截長(zhǎng)補(bǔ)短1.如圖,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,求證：CD⊥AC2：如圖,AD∥BC,EA,EB分別平分∠CAB,∠DBA,CD過(guò)點(diǎn)E,求證;AB＝AD+BC3：如圖,已知在內(nèi),,,P,Q分別在BC,CA上,并且AP,BQ分別是,的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4：如圖,在四邊形ABCD中,BC＞BA,AD＝CD,BD平分,求證：5:如圖在△ABC中,AB＞AC,∠1＝∠2,P為AD上任意一點(diǎn),求證;AB-AC＞PB-PC6．如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,AB+BD=AC,求∠B∶∠C的值．中考應(yīng)用：三.借助角平分線造全等1：如圖,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O,求證：OE=OD2：如圖,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.〔1說(shuō)明BE=CF的理由；〔2如果AB=,AC=,求AE、BE的長(zhǎng).中考應(yīng)用:1、如圖①,OP是∠MON的平分線,請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱(chēng)軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法,解答下列問(wèn)題：〔1如圖②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線,AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；OPAMNEBCDFOPAMNEBCDFACEFBD圖①圖②圖③四、平移變換1.AD為△ABC的角平分線,直線MN⊥AD于A.E為MN上一點(diǎn),△ABC周長(zhǎng)記為,△EBC周長(zhǎng)記為.求證＞.2：如圖,在△ABC的邊上取兩點(diǎn)D、E,且BD=CE,求證：AB+AC>AD+AE.五、旋轉(zhuǎn)1：正方形ABCD中,E為BC上的一點(diǎn),F為CD上的一點(diǎn),BE+DF=EF,求∠EAF的度數(shù).2：D為等腰斜邊AB的中點(diǎn),DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F?！?當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),求證DE=DF?！?若AB=2,求四邊形DECF的面積。3.如圖,是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,是等腰三角形,且,以D為頂點(diǎn)做一個(gè)角,使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N,連接MN,則的周長(zhǎng)為；中考應(yīng)用：1、已知四邊形中,,,,：,,繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交〔或它們的延長(zhǎng)線于．〔1當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)〔如圖1,易證．〔2當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí),在圖2和圖3這兩種情況下,上述結(jié)論是否成立？若成立,請(qǐng)給予證明；若不成立,線段,又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想,不需證明．〔圖〔圖1〔圖2〔圖32、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N,D為外一點(diǎn),且,,BD=DC.探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí),BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)Q與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系．圖1圖2圖3〔=1\*ROMANI如圖1,當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上,且DM=DN時(shí),BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)；〔=2\*ROMANII如圖2,點(diǎn)M、N邊AB、AC上,且當(dāng)DMDN時(shí),猜想〔=1\*ROMANI問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫(xiě)出你的猜想并加以證明；〔=3\*ROMANIII如圖3,當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí),若AN=,則Q=〔用、L表示．六、構(gòu)造全等例1：已知：如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90o,AC=BC,D為BC的中點(diǎn),CE⊥AD于E,交AB于F,連接DF．求證：∠ADC=∠BDF．2．如圖,△ABC中,AB=AC,過(guò)點(diǎn)A作GE∥BC,角平分線BD、CF相交于點(diǎn)H,它們的延長(zhǎng)線分別交GE于點(diǎn)E、G．試在圖10中找出3對(duì)全等三角形,并對(duì)其中一對(duì)全等三角形給出證明．3．已知△ABC,AB=AC,E、F分別為AB和AC延長(zhǎng)線上的點(diǎn),且BE=CF,EF交BC于G．求證：EG=GF．4．已知：△ABC中,BD=CD,∠1＝∠2．求證：AD平分∠BAC．說(shuō)明：遇到有關(guān)角平分線的問(wèn)題時(shí),可引角的兩邊的垂線,先證明三角形全等,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出垂線段相等,再利用角的平分線性質(zhì)得出兩角相等．〔2利用角的平分線構(gòu)造全等三角形：①過(guò)角平分線上一點(diǎn)作兩邊的垂線段練習(xí)：如圖22,AB∥CD,E為AD上一點(diǎn),且BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD．求證：AE=ED．②以角的平分線為對(duì)稱(chēng)軸構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形例：如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B．求證：AB=AC+CD．分析：由于角平分線所在的直線是這個(gè)角的對(duì)稱(chēng)軸,因此在AB上截取AE=AC,連接DE,我們就能構(gòu)造出一對(duì)全等三角形,從而將線段AB分成AE和BE兩段,只需證明BE=CD就可以了．③延長(zhǎng)角平分線的垂線段,使角平分線成為垂直平分線例：如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,CE⊥AD于E．求證：∠ACE=∠B+∠ECD．分析：注意到AD平分∠BAC,CE⊥AD,于是可延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F,即可構(gòu)造全等三角形．〔3利用角的平分線構(gòu)造等腰三角形如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB,DE交AC于點(diǎn)E．易證△AED是等腰三角形．因此,我們可以過(guò)角平分線上一點(diǎn)作角的一邊的平行線,構(gòu)造等腰三角形．例如圖,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,DE⊥BD于D,交BC于點(diǎn)E．求證：CD=BE．練習(xí)：1．如圖,在△ABC中,∠B=90o,AD為∠BAC的平分線,DF⊥AC于F,DE=DC．求證：BE=CF．2．已知：如圖,AD是△ABC的中線,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且BE=CF．求證：〔1AD是∠BAC的平分線；〔2AB=AC．3．在△ABC中,∠BAC=60o,∠C=40o,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q．求證：AB+BP=BQ+AQ．4．如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,AB=AC+CD．求證：∠C=2∠B．5．已知,E為△ABC的∠A的平分線AD上一點(diǎn),AB＞AC．求證：AB-AC＞EB-EC．6．如圖,在四邊形ABCD中,BC＞BA,AD=CD,BD平分∠ABC．求證：∠A+∠C=180o．7．如圖所示,已知AD∥BC,∠1=∠2,∠3=∠4,直線DC過(guò)點(diǎn)E作交AD于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)C．求證：AD+BC=AB．8．已知,如圖,△ABC中,∠ABC=90o,AB=BC,AE是∠A的平分線,CD⊥AE于D．求證：CD=AE．9．△ABC中,AB=AC,∠A=100o,BD是∠B的平分線．求證：AD+BD=BC．10．如圖36,∠B和∠C的平分線相交于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,若BD+CE=9,則線段DE的長(zhǎng)為〔A．9B．8C．7D．611．如圖,△ABC中,AD平分∠BAC,AD交BC于點(diǎn)D,且D是BC的中點(diǎn)．求證：AB=AC．12．已知：如圖,△ABC中,AD是∠BAC的平分線,E是BC的中點(diǎn),EF∥AD,交AB于M,交CA的延長(zhǎng)線于F．求證：BM=CF．1.如圖,在Rt△ABC中,AB=AC,D、E是斜邊BC上兩點(diǎn),且∠DAE=450,將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)900后,得到△AFB,連接ＥＦ,下列結(jié)論：〔１△ＡＥＤ≌△ＡＥＦ；〔２△ＡＢＥ∽△ＡＣＤ；〔３ＢＥ＋ＤＣ＝ＤＥ；〔４ＢＥ２＋ＤＣ２＝ＤＥ２．其中正確的是〔A．〔2〔4B．〔1<4>C．<2><3>D．<1><3>2.在△ABC中,AB＝6,AC＝8,BC＝10,P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn),PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M為EF中點(diǎn),則AM的最小值為．3.如圖,在等腰梯形ABCD中,∠C=60°,AD∥BC,且AD=DC,E、F分別在AD、DC的延長(zhǎng)線上,且DE=CF,AF、BE交于點(diǎn)P.〔1求證：AF=BE；〔2請(qǐng)你猜測(cè)∠BPF的度數(shù),并證明你的結(jié)論.4.已知：如圖,在△ABC中,∠ACB=,于點(diǎn)D,點(diǎn)E在AC上,CE=BC,過(guò)E點(diǎn)作AC的垂線,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：AB=FC5．如圖,在四邊形ABCD中,AB=BC,BF是∠ABC的平分線,AF∥DC,連接AC、CF,求證：CA是∠DCF的平分線.6.如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上移動(dòng),但A到EF的距離AH始終保持與AB長(zhǎng)相等,問(wèn)在E、F移動(dòng)過(guò)程中：<1>求證：∠EAF=45o;<2>△ECF的周長(zhǎng)是否有變化？請(qǐng)說(shuō)明理由.7.如圖,△ABC中,∠ABC=∠BAC=45°,點(diǎn)P在AB上,AD⊥CP,BE⊥CP,垂足分別為D、E,已知DC=2,求BE的長(zhǎng)。ABCDABCDEF<1>∠DEF和∠CBE相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；<2>請(qǐng)找出圖中與EB相等的線段<不另添加輔助線和字母>,并說(shuō)明理由.9.將一張矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi),得到兩張紙片,再將這兩張三角形紙片