人教版新課標初中數(shù)學勾股定理導學案

17.1勾股定理

一、警句：勾三股四弦必五，勾股數(shù)還有6、8、10；

勾股定理要記清，斜方等于直方和

二、課前展示：

復習：直角三角形的相關(guān)概念、性質(zhì)

三、學習目標：

L了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程,掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法證明勾股定理。

2.勾股定理的簡單計算

四、檢查預(yù)習情況

1.勾股定理的文字敘述；

2.勾股定理的符號表達

五、小組討論、合作探究：

活動一：閱讀：

我國古代3000多年前有一個叫商高的人發(fā)現(xiàn)的，他說：“把一根直尺折成

直角，兩段連結(jié)得一直角三角形，勾廣三，股修四，弦隅五?！边@句話意思是

說一個直角三角形較短直角邊（勾）的長是3,長的直角邊（股）的長是4,

那么斜邊（弦）的長是5。

3,42與52的關(guān)系是什么？結(jié)合預(yù)習內(nèi)容猜測勾、股、弦之間有什么關(guān)系？

（）

對于任意的直角三角形也有這個性質(zhì)嗎？

活動二：證明新知：

方法一；如圖，剪4個全等的直角三角形，拼成如圖的圖形，利用面積證明。

a2+b2=c2

證明：

方法二;

已知：在AABC中，ZC=90°,

NA、NB、NC的對邊為a、b、c。

222

求證：a+b=co

分析：左右兩邊的正方形邊長相等，

則兩個正方形的面積相等。

證明：

歸納L勾股定理的具體內(nèi)是:

幾何語言表示:

六、展示匯報、質(zhì)疑答疑:

如圖，直角AABC的主要性質(zhì)是：ZC=90°,

1）兩銳角之間的關(guān)系：;

2）若NB=30°,則NB的對邊和斜邊：

3）三邊之間的關(guān)系：______________________

4）SAABC=_________________________

七、拓展延伸：

1、填空題

⑴在RtZkABC,ZC=90°,a=8,b=15,則c=。

⑵在Rt/^ABC,ZB=90°,a=3,b=4,貝!）c=。

八、目標回應(yīng)：

1、勾股定理：_______________________________________

2、勾股定理可以用關(guān)系來進行證明。

九、作業(yè)：

必作題：

1、已知在RtaABC中，ZC=90°,a、b、c是△ABC的三邊，則

（l）c=_____________,（已知a、b,求c）

出2=o（已知b、c,求a）

閉6=.（已知a、c,求b）

2^在Rt△48c中，a=8cm,b=10cm,N6=90,求第三邊長c.

選作題：

已知△46C中，三邊長a、b、c為整數(shù)，其中a=3cm,b=4cm,求第三邊c

的長.

十、板書設(shè)計

勾股定理的證明練習

十一、課后反思:

17.1勾股定理

一、警句：勾三股四弦必五，勾股數(shù)還有6、8、10；

勾股定理要記清，斜方等于直方和

二、課前展示：

復習直角三角形性質(zhì)，特別是用勾股定理進行的簡單計算

三、學習目標：

1.會用勾股定理解決簡單的實際問題。

2.樹立數(shù)形結(jié)合的思想

四、檢查預(yù)習情況

已知在RtAABC中,ZC=90°,a、b、c是AABC的三邊，則

（l）c=o（已知a、b,求c）

出2=.（已知b、c,求a）

（3）b=.（已知a、c,求b）

五、小組討論、合作探究：

探究1：一個門框的尺寸如圖所示.長寬如下的

薄木板怎樣從門框通過？

①若有一塊長3米，寬0.8米的薄木板，

②若薄木板長3米，寬L5米呢？

③若薄木板長3米，寬2.2米呢？為什么？

探究2:如圖，一個3米長的梯子A反斜著靠在豎直的墻4。上，這時40

的距離為2.5米.

①球梯子的底端B距墻角0多少米？

②如果梯的頂端A沿墻下滑0.5米至C,請同學們猜一猜，底端也將滑動0.5

米嗎？算一算，底端滑動的距離近似值（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.

OBDOD

六、展示匯報、質(zhì)疑答疑:

探1:探2：

七、拓展延伸:

L小明和爸爸媽媽十一登香山，他們沿著45度

的坡路走了500米，看到了一棵紅葉樹，這棵紅葉

樹的離地面的高度是米。

2.如圖，山坡上兩株樹木之間的坡面距離是4g

米，則這兩株樹之間的垂直距離是米，水平距離是米。

3.如圖，一根12米高的電線桿兩側(cè)各用15米的鐵

絲固定，兩個固定點之間的距離是?不

八、目標回應(yīng)：［、/1\

2、_______________________

九、作業(yè)：

必做題

1.有一個邊長為1米正方形的洞口，想用一個圓形

蓋去蓋住這個洞口，則圓形蓋半徑至少為〈

米。

2.一根32厘米的繩子被折成如圖所示的形狀釘在P、Q兩點，PQ=16厘米，且

RP1PQ,則RQ=厘米。

選做題：

已知△486"中，三邊長a、b、c為整數(shù)，其中a=3cm,b=4cm,求第三邊c的

長.

十、板書設(shè)計：

探究一探究二

十一、課后反思:

17.1勾股定理

一、警句：勾三股四弦必五，勾股數(shù)還有6、8、10；

勾股定理要記清，斜方等于直方和

二、課前展示：

復習勾股定理并用勾股定理進行簡單計算

三、學習目標：

1.會用勾股定理解決簡單的實際問題。

2.樹立數(shù)形結(jié)合的思想，用數(shù)形結(jié)合的方法如何在數(shù)軸上找到表示無理數(shù)

的點。

四、檢查預(yù)習情況

直角三角形全等的判別方法有哪些？

在數(shù)軸上找到表示2、2.5、0>-0.5的點

五、小組討論、合作探究：

探究1

證明“斜邊直角邊定理”證明兩個直角三角形全等到合理性

探究2:你能在數(shù)軸上找到表示石、V3嗎?

六、展示匯報、質(zhì)疑答疑：

七、拓展延伸：

1、利用尺規(guī)作圖和勾股定理畫出數(shù)軸上的無理數(shù)點，進一步體會數(shù)軸上的點

與實數(shù)一一對應(yīng)的理論。

變式訓練：在數(shù)軸上畫出表示2-元的點。

2.如圖，原計劃從A地經(jīng)C地到B地修建一條高速公路，后因技術(shù)攻關(guān),

可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造價為300萬元，

隧道總長為2公里,隧道造價為500萬元，

AC=80公里，BC=60公里，則改建后可省

工程費用是多少？

3.如圖（同上），欲測量松花江的寬度，

沿江岸取B、C兩點，在江對岸取一點A,

使AC垂直江岸，測得BC=50米，

ZB=60°,則江面的寬度為

八、目標回應(yīng)

1、________________________________________

2、________________________________________

九、作業(yè)：必做：

1在中，a=8cm,b=10cm,N3=90,求第三邊長c.

2已知△46C中，三邊長a、b、c為整數(shù)，其中a=3cm,b=4cm,求第三邊c

的長.

3、已知在三角形ABC中，AB=4,AC=3,BC邊上的高等于2.4,求三角形

ABC的周長.

A

D

圖1

選做題

如圖，鋼索斜拉大橋為等腰三角形，支柱高24米，ZB=ZC=30°,E、F

分別為BD、CD中點，試求B、C兩點之間的距

離，鋼索AB和AE的長度。呆

（精確到］米）

BED

十、板書設(shè)計:

一題、二題、

H^一■、課后反思:

17.1勾股定理

一、警句：勾三股四弦必五，勾股數(shù)還有6、8、10；

勾股定理要記清，斜方等于直方和

二、課前展示：

借助習題復習與直角三角形有關(guān)的性質(zhì)

三、學習目標：

1.會用勾股定理解決較綜合的問題。

2.樹立數(shù)形結(jié)合的思想。

四、檢查預(yù)習情況

預(yù)習內(nèi)容：本節(jié)學案

五、小組討論、合作探究：

1.已知：在RtZkABC中，ZC=90°，CD_LBC于D,ZA=60°，CD=V3,

求線段AB的長。

例2（補充）已知：如圖，ZiABC中，AC=4,ZB=45°,ZA=60°,根據(jù)題

設(shè)可知什么？

例3（補充）已知：如圖，NB=ND=90°,ZA=60°,AB=4,CD=2o

求：四邊形ABCD的面積。

A

9E

上C

六、展示匯報、質(zhì)疑答疑：（學生講解上述內(nèi)容）

七、拓展延伸：

1.AABC中，AB=AC=25cm,高AD=20cm,貝！|BC=,SA

ABC=o

2.ZkABC中，若NA=2NB=3NC,AC=2百cm,則NA=度，Z

B—度,NC-________度，BC=9S△ABC=°

3.AABC中，NC=90°,AB=4,BC=25/3,CD±AB于D,則AC=

CD=9BD=,AD=^SAABC=?

八、目標回應(yīng)

1、____________________________________________

2.

九、作業(yè)：必做題目：

1.在RtAABC中，ZC=90°,CD±BC于D,ZA=60°,CD=6,

AB=o

2.在RtAABC中，ZC=90°,SAABC=30,c=13,

且a<b,a、b是整數(shù)，貝!)a=______,b=_______。

3.已知：如圖，在aABC中，ZB=30°,ZC=45°,\

AC=2V2,求AB,BC的長。

4、已知在三角形ABC中，AB=4,AC=3,BC邊上的高等于2.4,求三角形

ABC的周長.

A

ffll

選做題:

在數(shù)軸上畫出表示一石,收+石的點。

十、板書設(shè)計:

例一例二

十一、課后反思:

17.2勾股定理逆定理

一、警句：勾三股四弦必五，勾股數(shù)還有6、8、10；

勾股定理要記清，斜方等于直方和

二、課前展示:

用勾股定理進行的簡單計算:

三、學習目標：

1.體會勾股定理的逆定理得出過程，掌握勾股定理的逆定理。

2.探究勾股定理的逆定理的證明方法。

3.理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關(guān)系。

四、檢查預(yù)習情況

1、知道什么是原命題什么是逆命題。

2、說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？

⑴同旁內(nèi)角互補，兩條直線平行。

⑵如果兩個實數(shù)的平方相等，那么兩個實數(shù)平方相等。

⑶線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。

⑷直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

五、小組討論、合作探究:

證明：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a?+b2=c2,那么這個三角形是直角三

角形。

分析：⑴注意命題證明的格式，首先要根據(jù)

題意畫出圖形，然后寫已知求證。

勾股定理的逆定理:

六、展示匯報、質(zhì)疑答疑：(完成上述證明)

利用已知條件作一個直角三角形，再證明和原三角形全等，使問題得以解

決。

七、拓展延伸：

(-)如何判斷一個三角形是直角三角形，

1、若有一個角是直角的三角形是直角三角形。

2、三邊具有a?+b2=c2.關(guān)系的三角形。

(二)3、以6,8,10為三邊的三角形是直角三角形嗎？三邊為5,6,7的三

角形是不是直角三角形？

4、根據(jù)下列條件，分別判斷a,b,c為邊的三角形是不是直角三角形

2?

(1)a=7,b=24,c=25;(2)a=y,b=l,c=y

例：已知AA5c的三邊分別a,b,ca=/n2-n2,b=2mn,c=/7?2+n2(m>n,m,n是正整

數(shù))，AA5c是直角三角形嗎？說明理由。

注意事項：

(1)書寫時千萬?.”+^=。2,,72+24?=252-6。是直角三角形。這里

你弄錯了勾股定理的逆定理的條件和結(jié)論。

(2)分清何時利用勾股定理，何時利用其逆定理

八、目標回應(yīng)

1、___________________________________________

2、___________________________________________

3、：

九、作業(yè)：必做題

1、判斷下列三條線斷能否構(gòu)成直角三角形：a=3、b=4、c=5

2、已知三角形的三邊長為5、12、13,試說明三角形是直角三角形

3、如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點，E為BC上一點，且EC=^BC,求

證：AF±EF.

思路點撥：要證AFJLEF,需證4AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定性，

只要證出AF2+EF2=AF2就可以了.

選做題：

若aABC的三邊a,b,c滿足條件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,

試判定aABC的形狀.

(提示：根據(jù)所給條件，只有從關(guān)于a,b,c的等式入手，找出a,b,c

三邊之間的關(guān)系，應(yīng)用分解因式可得(a-5)2+(b"2)2+(c-13)2=0,求出

a=5,b=12,c=13,Va2+b2=c2,?二△ABC是RtZ\).

例：如下圖中分別以AABC三邊a,b,c為邊向外作正方形，正三角形，為直徑

作半圓，若Si+Sz=S3成立，則AMC是直角三角形嗎？

B

十、板書設(shè)計：

定理證明例一

H■"一、課后反思：

17.2勾股定理逆定理

一、警句：勾三股四弦必五，勾股數(shù)還有6、8、10；

勾股定理要記清，斜方等于直方和

二、課前展示：

用勾股定理及逆定理進行相關(guān)的計算。

三、學習目標：

1.靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實際問題。

2.進一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認識。

四、檢查預(yù)習情況

一根30米長的細繩折成3段，圍成一個三角形，其中一條邊的長度比較

短邊長7米，比較長邊短1米，請你試判斷這個三角形的形狀。

五、小組討論、合作探究:

完成預(yù)習內(nèi)容的講解:

六、展示匯報、質(zhì)疑答疑:

一根24米繩子，折成三邊為三個連續(xù)偶數(shù)的三角形，則三邊長分別

為，此三角形的形狀為

七、拓展延伸：

1.小強在操場上向東走80m后，又走了60m,再走100m回到原地。小強在

操場上向東走了80m后，又走60m的方向是。

2.如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩

艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔截，六分鐘后同時到達C

地將其攔截。已知甲巡邏艇每小時航行120海里，

乙巡邏艇每小時航行50海里，航向為北偏西40°,

問：甲巡邏艇的航向？

八、目標回應(yīng)

1、______________________________________________________

2^___________________________________________________

九、作業(yè)：

必作題目：

1.一根24米繩子，折成三邊為三個連續(xù)偶數(shù)的三角形，則三邊長分別

為,此三角形的形狀為

2.一根12米的電線桿AB,用鐵絲AC、AD固定，現(xiàn)已知

用去鐵絲AC=15米，AD=13米，又測得地面上B、C兩點

之間距離是9米，B、D兩點之間距離是5米，則電線桿和

D

地面是否垂直，為什么？

選作題：

如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明

計算一下土地的面積，以便計算一下產(chǎn)量。小明找了一

卷米尺，測得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12Dc

米，又已知NB=90°。\\

十、板書設(shè)計：

例22題

H■"一、課后反思：

17.2勾股定理

一、警句：勾三股四弦必五，勾股數(shù)還有6、8、10；

勾股定理要記清，斜方等于直方和

二、課前展示:

勾股定理和逆定理的語言形式和幾何形式

三、學習目標：

1.應(yīng)用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是直角三角形。

2.靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解綜合題。

3.進一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認識。

四、檢查預(yù)習情況

本節(jié)學案，了解學生狀況

五、小組討論、合作探究：

例1（補充）已知：在aABC中，NA、NB、NC的對邊分別是a、b、c,

222

滿足a+b+c+338=10a+24b+26c0

試判斷aABC的形狀。

例2（補充）已知：如圖，四邊形ABCD,AD/7BC,

AB=4,BC=6,CD=5,AD=3。求：四邊形ABCD的面

積。

六、展示匯報、質(zhì)疑答疑:

學生交流上述例題

BDA

七、拓展延伸：

已知：如圖，在AABC中，CD是AB邊上的高，KCD2=AD?BD?

求證：aABC是直角三角形。

1.若AABC的三邊a、b、c,滿足(a-b)(a2+b2-c2)=0,則AABC是

()

A.等腰三角形；B.直角三角形；

C.等腰三角形或直角三角形；D.等腰直角三角形。

2.若AABC的三邊a、b、c,滿足a：b：c=l：1：VI,試判斷aABC的

形狀。

八、目標回應(yīng)

1、_________________________________________________

2、_________________________________________________

九、作業(yè):

必做題：

1.如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓

小明計算一下土地的面積，以便計算一下產(chǎn)量。小明

找了一卷米尺，測得AB=4米，BC=3米，CD=13米,

DA=12米，又已知NB=90°o

選作題：已知AABC的三邊為a、b、c,且a+b=4,ab=l,c=V14,

試判定aABC的形狀。

十、板書設(shè)計：

例1例2例3

十一、課后反思:

17.2勾股定理逆定理

一、警句：勾三股四弦必五，勾股數(shù)還有6、8、10；

勾股定理要記清，斜方等于直方和

二、課前展示：

用勾股定理或逆定理的簡單計算：

三、學習目標：

1.靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解綜合題。

2.進一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認識。

四、檢查預(yù)習情況

檢查學生對定理的記憶與理解情況

五、小組討論、合作探究：

313

1.已知：如圖，四邊形ABCD,AB=1,BC=-,CD=—,AD=3,

44

且ABJLBC。/

求：四邊形ABCD的面積。z/

BC

2.已知：在aABC中，ZACB=90°，CDJLAB于D,CD2=AD?BDo

求證：AABC中是直角三角形。

3.若AABC的三邊a、b、ca2+b2+c2+50=6a+8b+10c,

求△ABC的面積。

4.在aABC中，AB=13cm,AC=24cm,中線BD=5cm。

求證：△ABC是等腰三角形。

六、展示匯報、質(zhì)疑答疑：

七、作業(yè)：

必做題

已知：如圖，在aABC中，CD是AB邊上的高，KCD2=AD?BDo

求證：4ABC是直角三角形。

選做題：

在AABC中，AB=13cm,AC=24cm,中線BD=5cm。

求證：AABC是等腰三角形。

八、課后反思:

勾股定理及逆定理復習

一、警句：勾三股四弦必五，勾股定理要記清，

斜方等于直方和，逆理必須不能忘，

二、課前展示：

直角三角形的相關(guān)性質(zhì)的復習。

三、學習目標：

1.靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解綜合題。

2.進一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認識

四、檢查預(yù)習情況

(本節(jié)學案)

五、小組討論、合作探究：

1.若aABC的三邊a、b、c,滿足(a-b)(a2+b2-c2)=0,則△ABC是

()

A.等腰三角形；B.直角三角形；

C.等腰三角形或直角三角形；D.等腰直角三角形。

2.若△ABC的三邊a、b、c,滿足a：b：c=l：1：叵,試判斷aABC的

形狀。

2

3、已知：在aABC中，ZACB=90°,CD_LAB于D,KCD=AD?BD0

求證：AABC中是直角三角形。

六、展示匯報、質(zhì)疑答疑：

七、拓展延伸：

1.若aABC的三邊a、b、ca2+b2+c2+50=6a+8b+10c,求^ABC的面

積。

2.在aABC中，AB=13cm,AC=24cm,中線BD=5cm。

求證：△ABC是等腰三角形。

八、目標回應(yīng)

九、作業(yè)：必作題

1在。中，a=8cm,b=10cm,N6=90,求第三邊長c.

2已知△力6C中，三邊長a、b、c為整數(shù)，其中a=3cm,b=4cm,求第三邊c

的長.

3判斷下列三條線斷能否構(gòu)成直角三角形：a=3、b=4、c=5.

選做題：

1、已知三角形的三邊長為5、12、13,試說明三角形是直角三角形.

2、在RtZ\ABC中，已知兩邊長為3、4,求第三邊的長.

十、板書設(shè)計：

1題2題

3題4題

H^一、課后反思:

第十七章勾股定理測試

一、選擇題

1.已知AABC中，NA=2NB=3ZC,則它的三條邊之比為().

A.1：1：2B.1：V3：2C.1：V2：2D.