數(shù)形結(jié)合在不等式中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合———解與不等式有關(guān)的問題清華中學(xué)數(shù)學(xué)組杜欣一、教學(xué)內(nèi)容分析：在數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程中,形和數(shù)常常結(jié)合在一起,在內(nèi)容上互相聯(lián)系,在方法上互相滲透,在一定的條件下互相轉(zhuǎn)化，故而數(shù)形結(jié)合是我們?cè)诮忸}應(yīng)用中常用的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)形結(jié)合思想是解答數(shù)學(xué)問題的一種常用方法與技巧，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。通過對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化，可以培養(yǎng)思維的靈活性、形象性，使問題化難為易、化抽象為具體。數(shù)形結(jié)合的思想方法將抽象的代數(shù)問題給以形象化的原型，訓(xùn)練人們思維形象化的思維品質(zhì)；將復(fù)雜的代數(shù)問題賦予靈活變通的形式，從而給人們思維靈活性的思維遷移訓(xùn)練，這正是反映了數(shù)形結(jié)合的思維方法解決數(shù)形之間問題的有效途徑所在。不等式揭示了現(xiàn)實(shí)世界中廣泛存在的量與量之間的不等關(guān)系。用數(shù)形結(jié)合解決不等式問題的優(yōu)越性在于將圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題,使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,化難為易,獲得簡便易行的方案。本節(jié)為高三的一節(jié)復(fù)習(xí)課，學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)能夠基本掌握高中數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)框架，數(shù)學(xué)思想方法也在日常的教學(xué)中多有滲透，然而學(xué)生對(duì)于如何正確運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或解題還有諸多疑惑。本節(jié)課將從不等式的解法、不等式的證明以及關(guān)于最值問題等知識(shí)進(jìn)行比較歸類，分析探討數(shù)形結(jié)合在不等式中的應(yīng)用，旨在教學(xué)中使學(xué)生能夠領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的妙用，納入到自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)中去，變成自己的財(cái)富。三維目標(biāo)：1、通過本節(jié)教學(xué)旨在使學(xué)生理解用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決不等式及求參數(shù)的取值范圍使不等成立的問題。2、在用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題過程中，通過研究不等式的基礎(chǔ)理論、解不等式、和不等式的應(yīng)用等問題，深化數(shù)學(xué)知識(shí)間的融匯貫通，從而提高分析問題解決題的能力。3、在解決問題的過程中，形成和發(fā)展理性思維，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)及創(chuàng)新意識(shí)，通過領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合在不等式中的應(yīng)用，從而發(fā)展出數(shù)形結(jié)合在其他知識(shí)點(diǎn)中的廣泛應(yīng)用。教學(xué)重點(diǎn)：解不等式,就是要對(duì)不等式進(jìn)行同解變形,使之變?yōu)榕c原不等式同解的最簡不等式。不等式靈活變換的特點(diǎn)和廣泛應(yīng)用的價(jià)值對(duì)培養(yǎng)學(xué)生能力，發(fā)展學(xué)生思維提出了較高的教學(xué)要求，結(jié)合圖形研究,可以避免復(fù)雜的討論,化繁為簡。教學(xué)難點(diǎn)：用數(shù)形結(jié)合的思想解決不等式相關(guān)問題雖然可以化繁為簡，但是在實(shí)際應(yīng)用時(shí)學(xué)生很難找到切入點(diǎn)，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在教學(xué)中通過實(shí)例講解以及聯(lián)系使得學(xué)生能夠應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法解決不等式的相關(guān)問題。五、課時(shí)安排：1課時(shí)六、典例解析：類型一：解不等式得x的取值范圍：例1（2013.江西文.6）下列選項(xiàng)中，使不等式成立的的取值范圍是（）ＡＢＣＤ選題立意：作為第一道例題，本題的解決方式并不唯一，先讓學(xué)生自行解決，學(xué)生不難想到用特值法，代數(shù)法以及數(shù)形結(jié)合的方法。讓學(xué)生對(duì)比以后顯然特值較快，其次數(shù)形，最后才是代數(shù)。讓學(xué)生比較自然的覺得數(shù)形的可取之處。審題破題：若用一般的代數(shù)法解此不等式，既要分類還要分步，顯得步驟繁瑣。觀察所給不等式，都是由基礎(chǔ)函數(shù)組成，圖像是熟悉的，故而可聯(lián)想通過作圖的方法得到未知數(shù)取值范圍。特別地，需提醒學(xué)生在作草圖的過程中不應(yīng)忽略對(duì)特殊點(diǎn)的描繪。解：由基本初等函數(shù)的圖像分析之，若要滿足此不等式，只需滿足即可，故而選A。變式訓(xùn)練1：用表示三個(gè)數(shù)中的最小值，設(shè)，則的最大值為（）答案6選題立意：相比例題此變式訓(xùn)練不能用特值法，故而數(shù)形結(jié)合成了解此題的最佳方法，學(xué)生稍加提醒便能想到此法，并能進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合帶來的方便與直接。審題破題：畫出，y＝x＋2，y＝10－x的圖象，如圖所示，觀察圖象，可知當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)＝2x，當(dāng)2<x≤4時(shí)，f(x)＝x＋2，當(dāng)x>4時(shí)，f(x)＝10－x，f(x)的最大值在x＝4時(shí)取得，為6.例2：（2010年新課標(biāo)全國卷8）設(shè)偶函數(shù)滿足，則的解集為（）選題立意：此題相較例1加入了一些函數(shù)的性質(zhì)，也是需要熟悉函數(shù)的一些基本性質(zhì)：單調(diào)性，奇偶性，周期性等，還要理解函數(shù)的一些平移變化規(guī)則，是對(duì)數(shù)形結(jié)合的另一重考察。審題破題：考題依舊是給了一個(gè)初等函數(shù)的平移形式，只需作圖得的解集，在此基礎(chǔ)上將解集中的替換成，解得答案B。變式訓(xùn)練1：已知f(x)是定義在(－3,3)上的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<3時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，那么不等式f(x)·cosx<0的解集是________．答案選題立意：此題較之前的習(xí)題，又提出了對(duì)抽象函數(shù)的考察。在細(xì)節(jié)上函數(shù)與y軸的空心點(diǎn)又考察了奇函數(shù)的特性，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生謹(jǐn)慎細(xì)致的思考有幫助。審題破題：根據(jù)對(duì)稱性畫出f(x)在(－3，0)上的圖象如圖，結(jié)合y＝cosx在(－3,0)，(0,3)上函數(shù)值的正負(fù)，易知不等式f(x)cosx<0的解集是變式訓(xùn)練2：已知函數(shù)，則滿足不等式的x取值范圍是（）選題立意：回歸具體函數(shù)，但多重函數(shù)相套須得學(xué)生真正理解函數(shù)的基本定義概念，定義域與值域的相對(duì)性也對(duì)學(xué)生提出了挑戰(zhàn)。審題破題：同樣是初等函數(shù)，不同的是解不等式需從外到內(nèi)，可舉例讓學(xué)生體會(huì)，解兩次不等式即可得C。類型二、解不等式求參數(shù)取值范圍：例1：（2013年全國2卷12）若存在正數(shù)x使成立，則a的取值范圍是（）選題立意：解參數(shù)取值范圍與求解x取值范圍不同，學(xué)生須注意到要解參數(shù)取值范圍一般得要對(duì)原不等式變形。審題破題：原不等式只需稍作變形就可化作兩個(gè)初等函數(shù)的不等式：因?yàn)?，則可將原不等式兩邊同除，得，在坐標(biāo)系中作出函數(shù)，的圖像，分析之，只須即可，所以選D。變式訓(xùn)練：（2013全國理1卷11）已知函數(shù)，若，則a的取值范圍是________．答案[－2,0]選題立意：該變式除了涉及絕對(duì)值的翻折變換以外，還有培養(yǎng)學(xué)生縝密思維的分類思想，使得學(xué)生在體會(huì)數(shù)形結(jié)合解不等式的方便之外，更是能感受到與其他數(shù)學(xué)思想的結(jié)合應(yīng)用。審題破題：函數(shù)y＝|f(x)|的圖象如圖．①當(dāng)a＝0時(shí)，|f(x)|≥ax顯然成立．②當(dāng)a>0時(shí)，只需在x>0時(shí)，ln(x＋1)≥ax成立．比較對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)y＝ax的增長速度．顯然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立．③當(dāng)a<0時(shí)，只需在x<0時(shí)，成立。即a≥x－2成立，∴a≥－2。例2：設(shè)有函數(shù)和，已知x∈[－4,0]時(shí)恒有f(x)≤g(x)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．選題立意：在求參的時(shí)候，除了要會(huì)適當(dāng)變形，還應(yīng)考慮函數(shù)本身蘊(yùn)含的幾何意義，可以將題目中的某些條件用圖象表現(xiàn)出來，利用圖象間的關(guān)系以形助數(shù)，求方程的解集或其中參數(shù)的范圍。審題破題x∈[－4,0]時(shí)恒有f(x)≤g(x)，可以轉(zhuǎn)化為x∈[－4,0]時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象都在函數(shù)g(x)的圖象下方或者兩圖象有交點(diǎn)。解f(x)≤g(x)，即，變形得，令 ① ②①變形得，即表示以(－2,0)為圓心，2為半徑的圓的上半圓；②表示斜率為eq\f(4,3)，縱截距為1－a的平行直線系．設(shè)與圓相切的直線為AT，AT的直線方程為：y＝eq\f(4,3)x＋b(b＞0)，則圓心(－2,0)到AT的距離為d＝eq\f(|－8＋3b|,5)，由eq\f(|－8＋3b|,5)＝2得，b＝6或－eq\f(2,3)(舍去)．∴當(dāng)1－a≥6即a≤－5時(shí)，f(x)≤g(x)．變式訓(xùn)練：解不等式選題立意：本題雖不是求參的取值范圍，但要求解x的取值范圍卻離不開對(duì)參數(shù)取值的分類討論，是對(duì)例題的延伸。審題破題：這里出現(xiàn)了參數(shù)a,討論起來會(huì)很困難,而用圖像法則十分簡潔.∵的圖像是，是此圓的上半部,再令y=a-x,這是斜率為-1的平行直線束,它在y軸上的截距為a,不難從圖中看出:1)當(dāng)時(shí),解為x;2)當(dāng)-1<a≤3時(shí),解為;3)當(dāng)時(shí),解為,其中為方程的兩根：4）當(dāng)時(shí)，解為；5）當(dāng)時(shí)，解集為.題型三數(shù)形結(jié)合解決有明顯幾何意義的式子(概念)問題例1：已知函數(shù)(a，b∈R且a>0)有兩個(gè)零點(diǎn)，其中一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則eq\f(b,a＋1)的取值范圍為________．選題立意：如果等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含著明顯的幾何特征，就要考慮用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解題，即所謂的幾何法求解，比較常見的對(duì)應(yīng)有：(1)eq\f(b－n,a－m)可看做(a，b)、(m，n)連線的斜率；(2)可看做(a，b)、(m，n)之間的距離；(3)可看做a、b、c為直角三角形的三邊；(4)可看做f(x)圖象的對(duì)稱軸為x＝eq\f(a＋b,2)：只要具有一定的觀察能力，再掌握常見的數(shù)與形的對(duì)應(yīng)類型，就能使得學(xué)生能夠熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決不等式的問題。答案(－2,1)審題破題先根據(jù)圖象確定a，b滿足的條件，然后利用eq\f(b,a＋1)的幾何意義：兩點(diǎn)(a，b)，(－1,0)連線斜率求范圍。因?yàn)閍>0，所以二次函數(shù)f(x)的圖象開口向上．又f(0)＝－1，所以要使函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,a＋b－1<0，,4a＋2b－1>0.))如圖所示的陰影部分是上述不等式組所確定的平面區(qū)域，式子eq\f(b,a＋1)表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)P(a，b)與點(diǎn)Q(－1,0)連線的斜率．而直線QA的斜率，直線4a＋2b－1＝0的斜率為－2，顯然不等式組所表示的平面區(qū)域不包括邊界，所以P，Q連線的斜率的取值范圍為(－2,1)．變式訓(xùn)練:1已知點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,|x|－y－1≤0，))則的取值范圍是________．選題立意：例題的延伸，主要考察學(xué)生的遷移應(yīng)用能力。答案[2,16]審題破題：畫出可行域如圖，所求的是點(diǎn)Q(3,0)到可行域上的點(diǎn)的距離的平方，由圖形知最小值為Q到射線x－y－1＝0(x≥0)的距離d的平方，最大值為∵∴取值范圍是[2,16]．變式訓(xùn)練2：如果實(shí)數(shù)x,y滿足等式求的最大值.審題破題:此題如果用純代數(shù)方法來解并非易事,考慮方程表示的幾何意義可知,此方程表示以點(diǎn)(2,0)為圓心,為半徑的圓,而則表示這個(gè)圓上的點(diǎn)(x,y)和原點(diǎn)連線的斜率,于是問題轉(zhuǎn)化為在圓上求一點(diǎn),使這點(diǎn)與原點(diǎn)所確定的直線斜率為最大.作圖可知,當(dāng)直線和圓上方相切于點(diǎn)P時(shí),k取到最大值,此時(shí)k=,即的最大值為.七、教學(xué)反思：以上通過幾個(gè)例子,大體說明了數(shù)形結(jié)合在不等式教學(xué)中的應(yīng)用.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,應(yīng)抓住數(shù)形結(jié)合的解題契機(jī):(1)在審題時(shí)與解題前,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思