華師八上第十四章勾股定理知識歸納邢進文

【同步教育信息】一.本周教學內(nèi)容：勾股定理［教學目標］1.了解勾股定理的證明，掌握勾股定理的內(nèi)容，初步會用它進行有關(guān)的計算和證明。2.通過勾股定理的應用，培養(yǎng)方程的思想和邏輯推理能力。3.了解勾股定理的證明，培養(yǎng)學生的愛國情懷。二.重點、難點： 勾股定理的應用。三.教學過程設計：（一）勾股定理的證明 發(fā)現(xiàn)勾股定理的是畢達哥拉斯（約公元前580～公元前500年），他是一個哲學家，也是一個著名的數(shù)學家。 我國西周開國時期的商高（公元前1120年）就發(fā)現(xiàn)了這個定理。因而，西方的發(fā)現(xiàn)比我國要遲好幾百年。由于古書中記有“勾廣三，股修四，徑隅五”，因此我國把這個定理簡稱為勾股定理。我國古代數(shù)學家利用割補、拼接圖形計算面積的思路提供了很多種證明方法。（二）勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么。 勾股定理的應用方法： （1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°， 又∵AB＞0， （2）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°， 又∵AC＞0，【典型例題】例1.（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，求c。 （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝40，c＝41，求b。 解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°， 又∵c＞0， （2）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°， 又∵b＞0，例2.已知直角三角形的兩邊長，求第三邊的長。 解：（1）若AB、BC均為直角邊 （2）若BC為斜邊 例3.（1）在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC：AB＝___________； （2）如圖所示，∠ACB＝90°，∠A＝30°，則BC：AC：AB＝___________；若AB＝8，則AC＝___________；又若CD⊥AB，則CD＝___________。 （3）等邊△ABC的邊長為a，則高AD＝___________，___________。 解：（1） （2） （3） 通過此題總結(jié)幾個基本圖形中的常用結(jié)論： ①等腰直角三角形三邊比為 ②含30°角的直角三角形三邊之比為 ③邊長為a的等邊三角形的高為，面積為例4.求下圖所示（單位mm）矩形零件上兩孔中心A和B的距離（精確到）。 解： 例5.作長為的線段 分析：由勾股定理、直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長就等于，直角邊為和1的直角三角形斜邊長就是，類似地可作。 作法：如圖所示 （1）作直角邊為1（單位長）的等腰直角△ACB，使AB為斜邊。 （2）以AB為一條直角邊，作另一直角邊為1的直角，斜邊為。 （3）順次這樣作下去，最后做到直角三角形，這樣斜邊、、的長度就是。 以上作法根據(jù)勾股定理均可證明為正確的。 取單位長時可自定。一般習慣用國際標準的單位，如1cm、1m等，我們作圖時只要取定一個長為單位即可。例6.如圖所示，，∠DAC＝90°，求BD的長。 解：作AE⊥BC于E 設BD為x，則 又 將上式代入，得： 即 解得：例7.如圖所示，△ABC中，CD⊥AB于D，AC＞BC。 求證： 分析：（1）分解出直角三角形使用勾股定理。 Rt△ACD中， Rt△BCD中， （2）利用代數(shù)中的恒等變形技巧進行整理： 例8.如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，BC＝1，求△ABC的面積。 提示：添加輔助線——BA的中垂線DE交BA于D，交AC于E，連結(jié)BE，構(gòu)造出含30°角的直角三角形BCE，同時利用勾股定理解決?；蛑苯釉凇螦BC內(nèi)作∠ABE＝15°，交CA邊于E?！灸M試題】（答題時間：30分鐘）1.判斷題： 等腰直角三角形中，斜邊是任一直角邊的倍。（）2.等邊三角形邊長為10，求它的高和面積。3.已知：如圖，隔湖有兩點A、B，從與BA方向成直角的BC方向上的點C，測得CA＝50m，CB＝40m。求AB。4.已知一個工件尺寸如圖（單位mm），計算的長（精確到）5.如圖（單位mm），車床齒輪箱殼要鉆兩個圓孔，兩孔中心的距離AB是134mm，兩孔中心的水平距離BC是77mm，計算兩孔中心的垂直距離AC（精確到）。6.要修一個育苗棚（如圖），棚寬a＝3m，高b＝，長d＝10m。求覆蓋在頂上的塑料薄膜需多少m2（精確到）?7.想一想，如圖，分別以直角三角形三邊為直徑作三個半圓，這三個半圓的面積之間有什么關(guān)系？為什么？8.如圖所示，△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝8。求AC邊的長。9.計算題： 如圖，△ABC，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于A，BC＝，求AD的長。10.證明題：已知：△ABC的三個角度數(shù)的比∠A：∠B：∠C＝1：2：3。求證：

【試題答案】1.略 2.3.30m 4.5. 6.7.以直角三角形兩直角邊為直徑的兩個半圓的面積之和等于以該直角三角形斜邊為直徑作的半圓的面積，利用勾股定理證明。8.分析：添加輔助線——作CD⊥AB于D，構(gòu)造含45°，30°角的直角三角形列方程解決問題。 答案：9.解：∵AB＝AC，∠C＝30° ∴∠C＝∠B＝30° 又∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90° ∴∠DAC＝∠C＝30° ∴設DC＝AD＝xcm ∴BD＝2xcm ∴AD的長為10.證明：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3 ∴∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60° ∴c＝2a 【勵志故事】三只小鐘一只新組裝好的小鐘放在了兩只舊鐘當中。兩只舊鐘“滴答”、“滴答”一分一秒地走著。其中一只舊鐘對小鐘說：“來吧，你也該工作了?？墒俏矣悬c擔心，你走完三千二百萬次以后，恐怕便吃不消了?！薄疤炷?！三千二百萬次?！毙＄姵泽@不已?！耙易鲞@么大