圓錐曲線與方程

選修1－1第二章圓錐曲線與方程[課標(biāo)研讀]［課標(biāo)要求］了解圓錐曲線的實(shí)際背景，了解在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.②掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì).③了解雙曲線、拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它們的簡單幾何性質(zhì).④理解數(shù)形結(jié)合的思想.⑤了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用.[命題展望]本章內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,也是高考常見新穎題的板塊,各種解題方法在本章得到了很好的體現(xiàn)和充分的展示,尤其是在最近幾年的高考試題中,平面向量與解析幾何的融合,提高了題目的綜合性,形成了題目多變,解法靈活的特點(diǎn),充分體現(xiàn)了高考中以能力立意的命題方向。通過對近幾年的高考試卷的分析，可以發(fā)現(xiàn)選擇題、填空題與解答題均可涉及本章的知識，分值高達(dá)20分左右。主要呈現(xiàn)以下幾個(gè)特點(diǎn)：1．考查圓錐曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等知識及基本技能、基本方法，常以選擇題與填空題的形式出現(xiàn)；2．直線與二次曲線的位置關(guān)系、圓錐曲線的綜合問題常以壓軸題的形式出現(xiàn)，這類問題視角新穎，常見的性質(zhì)、基本概念、基礎(chǔ)知識等被附以新的背景，以考查學(xué)生的應(yīng)變能力和解決問題的靈活程度；3．在考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，注意對數(shù)學(xué)思想與方法的考查，注重對數(shù)學(xué)能力的考查，強(qiáng)調(diào)探究性、綜合性、應(yīng)用性，注重試題的層次性，堅(jiān)持多角度、多層次的考查，合理調(diào)控綜合程度；4．對稱問題、軌跡問題、多變量的范圍問題、位置問題及最值問題也是本章的幾個(gè)熱點(diǎn)問題，但從最近幾年的高考試題本看，難度有所降低，有逐步趨向穩(wěn)定的趨勢。第一講橢圓[知識梳理]［知識盤點(diǎn)］一．橢圓的基本概念1．橢圓的定義：我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，用符號表示為。這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做橢圓的。2．橢圓的第二定義：平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比是常數(shù)（即）的動點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，其中常數(shù)叫做橢圓的。二．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程3．當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，且；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，且.當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上時(shí)，橢圓的方程才是標(biāo)準(zhǔn)形式。三．橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程圖形yyA2B2OA1B1F2F1yyA2B2OA1B1F2F1x焦點(diǎn)坐標(biāo)F1（）,F2（c,0）F1（0,c）,F2（）對稱性關(guān)于x,y軸成中心對稱關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱頂點(diǎn)坐標(biāo)A1（－a,0），A2()B1()，B2(0,b)A1（），A2(0,a)B1(－b,0)，B2()范圍，長軸短軸長軸A1A2的長為短軸B1B2的長為長軸A1A2的長為短軸B1B2的長為離心率橢圓的焦距與長軸長的比e＝橢圓的焦距與長軸長的比e＝準(zhǔn)線方程x=y=［特別提醒］1．本部分的重點(diǎn)是掌握橢圓的定義，離心率與a,b,c之間的關(guān)系和橢圓方程的求法，定義和性質(zhì)的應(yīng)用是橢圓知識的重點(diǎn)。突破重點(diǎn)的關(guān)鍵，一是要掌握好定義的幾何條件，即橢圓＝是常數(shù)；二是要熟練掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法及其特點(diǎn)，運(yùn)用定義時(shí)要注意隱含條件，明確離心率確定橢圓的形狀。2．通過對橢圓的范圍、對稱性、特殊點(diǎn)（頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心）、準(zhǔn)線、對稱軸及其它特性的討論從整體上把握橢圓的形狀、大小和位置，進(jìn)而掌握橢圓的性質(zhì)。因此在復(fù)習(xí)中就注意圖形與性質(zhì)對照，方程與性質(zhì)對照來理解，只有通過數(shù)形結(jié)合的方式才能牢固掌握橢圓的幾何性質(zhì)。由橢圓的定義得到橢圓上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離（即焦半徑）公式（或）在解題中有著重要的作用。3．涉及到直線與橢圓的位置關(guān)系問題時(shí)，可以通過討論橢圓方程與直線方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)來確定，通常來說消元后得到一個(gè)關(guān)于x或y的一元二次方程，要注意判別式及韋達(dá)定理的運(yùn)用，特別是方程思想、整體思想在解題過程中的應(yīng)用。4．求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法和軌跡方程法。直線與橢圓相交時(shí)的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)或弦中點(diǎn)的軌跡方程則由韋達(dá)定理來解決，設(shè)點(diǎn)而不求點(diǎn)是解析幾何中的重要方法之一。另外，利用直線、弦長、圓錐曲線三者間的關(guān)系組成各類試題是解析幾何中長盛不衰的主題，其中利用直線方程、直線與橢圓相交后的弦求橢圓方程是各類試題中最難的試題，也是高考的熱點(diǎn)題型之一。[基礎(chǔ)闖關(guān)]1．橢圓5x2＋ky2＝5的一個(gè)焦點(diǎn)是（0，2），那么k等于（）(A)－1(B)1(C) (D)－2．已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2的直線交橢圓于A、B，若|AB|=5，則|AF1|+|BF1|=()(A)11(B)10(C)9(D)163．已知兩定點(diǎn)、且是與的等差中項(xiàng)，則動點(diǎn)P的軌跡方程是（）（A）（B）（C）（D）4．（2022年全國卷II）已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓EQ\f(x\S(2),3)＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長是()（A）2EQ\r(,3)（B）6（C）4EQ\r(,3)（D）125．（2022年上海卷）已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（－2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．6．短軸長為，離心率的橢圓的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則ABF2的周長是.[典例精析]例1．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且|PF1|：|PF2|＝4：3，求PF1F2的面積。［剖析］由橢圓方程可求出2a與2c，且由|PF1|：|PF2|＝4：3知可求出|PF1|，|PF2|的長度，從而可求三角形的面積。［解］由于|PF1|＋|PF2|＝7，且|PF1|：|PF2|＝4：3，得|PF1|＝4，|PF2|＝3，又|F1F2|＝2c＝，顯然|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1F2是以PF1，PF2為直角邊的直角三角形，從而所求PF1F2的面積為S＝|PF1||PF2|＝43＝6.［警示］本題運(yùn)用了橢圓的定義來解題。橢圓定義是用橢圓上任意一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和來描述的，定義中|PF1|＋|PF2|＝2a＞|F1F2|.定義能夠?qū)σ恍┚嚯x進(jìn)行相關(guān)的轉(zhuǎn)化，簡化解題過程。因此在解題過程中，遇到涉及橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問題時(shí)，應(yīng)先考慮是否能夠使橢圓的定義來解決。［變式訓(xùn)練］：已知點(diǎn)A(3,0)，B(－2,1)是橢圓內(nèi)的點(diǎn)，M是橢圓上的一動點(diǎn)，試求|MA|+|MB|的最大值與最小值。例2．已知點(diǎn)P在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為和，過點(diǎn)P作長軸的垂線，恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的方程。［剖析］由題設(shè)條件設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出焦距與長軸長是求解本題的關(guān)鍵。因橢圓的焦點(diǎn)位置未明確在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，故應(yīng)有兩種情況。［解］設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|PF1|=，|PF2|=由橢圓的定義知2a=|PF1|+|PF2|=,即，由|PF1|＞|PF2|知PF2垂直于長軸。所以在中，4c2=|PF1|2－|PF2|2=,所以c2=，于是b2=a2－c2=又由于所求的橢圓的焦點(diǎn)可以在x軸上，也可以在y軸上，故所求的橢圓方程為或.［警示］求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需要一個(gè)定位條件和兩個(gè)定形條件，通常采用待定系數(shù)法解決。橢圓中有“六點(diǎn)”（即兩個(gè)交點(diǎn)與四個(gè)頂點(diǎn)）“四線”（即兩條對稱軸與兩條準(zhǔn)線），因此在解題時(shí)要注意它們對橢圓方程的影響，如在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，當(dāng)遇到焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，應(yīng)注意有兩種結(jié)果。［變式訓(xùn)練］2．（2022年江蘇卷）已知三點(diǎn)P（5，2）、（－6，0）、（6，0）。求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例3．求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn)、；(2)經(jīng)過點(diǎn)(2，－3)且與橢圓具有共同的焦點(diǎn).［剖析］對于（1），由題設(shè)條件不能確定橢圓的焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上，因此應(yīng)分別設(shè)出焦點(diǎn)在x軸、y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)行討論求解；或采用橢圓方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,且)直接求解，避免討論；對于（2）由于橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因而可設(shè)所求的橢圓方程為，只要由題設(shè)條件確定的值即可.［解］（1）［解法一］=1\*GB3①當(dāng)所求橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依題意應(yīng)有，解得，因?yàn)閺亩匠探M無解；=2\*GB3②當(dāng)所求橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依題意應(yīng)有，解得，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為［解法二］設(shè)所求橢圓的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,且)，依題意得，解得，從而所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）［解］因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，從而可設(shè)所求的橢圓的方程為，將又因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)(2，－3)，從而得，解得或（舍去），故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.［警示］由于題（1）中的橢圓是唯一存在的，為了運(yùn)算方便，可設(shè)其方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,且)，而不必考慮焦點(diǎn)的位置，求接求得橢圓的方程；題（2）中橢圓變形為，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，所設(shè)的方程是具有共同焦點(diǎn)的，的橢圓系方程。遇到與本題類似的問題，我們可以采用類似的方法來求解橢圓的方程。另外本題還可以設(shè)方程，等解決。一般說來，與橢圓具有相同焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為，其中。本題實(shí)質(zhì)上運(yùn)用的也是待定系數(shù)法。［變式訓(xùn)練］3.求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn)、；(2)經(jīng)過點(diǎn)，且與橢圓具有共同的焦點(diǎn).例4．在中，BC=24，AC、AB邊上的中線長之和等于39，求的重心的軌跡方程。MBOEyDACx［剖析］：有一定長線段MBOEyDACx［解］如圖所示，以線段BC所在直線為x軸、線段BC的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系。設(shè)M為的重心，BD是AC邊上的中線，CE是AB邊上的中線，由重心的性質(zhì)知，，于是==.根據(jù)橢圓的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓.26，，又，，，故所求的橢圓方程為.［警示］在求點(diǎn)的軌跡時(shí)，要特點(diǎn)注意所求點(diǎn)軌跡的幾何意義，在本題中，所求的橢圓方程為，應(yīng)考慮若時(shí)，A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，不可能構(gòu)成三角形，所以應(yīng)將去掉。另外，平面內(nèi)一動點(diǎn)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)2a，當(dāng)2a＞|F1F2|時(shí)，動點(diǎn)的軌跡是橢圓；當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)動點(diǎn)的軌跡是線段F1F2；當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，動點(diǎn)的軌跡不存在。［變式訓(xùn)練］4．在中，，曲線E過C點(diǎn)，動點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動，且保持的值不變，求曲線E的方程。例5．設(shè)的軌跡是曲線，滿足：點(diǎn)到的距離與它到直線的距離之比是常數(shù)，又點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線的內(nèi)部.(1)求曲線的方程；(2)的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).［剖析］：由已知條件通過列方程，不難得出曲線的方程，但要注意計(jì)算準(zhǔn)確。［解］(1)設(shè)是曲線上任一點(diǎn)，則為常數(shù))，即，又點(diǎn)在曲線上，所以，所以，所以曲線的方程是，即.(2)是橢圓的左焦點(diǎn)，實(shí)際上是點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離.所以當(dāng)與左準(zhǔn)線垂直時(shí)，的值最小，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.［警示］由本例可知，點(diǎn)到的距離與它到直線的距離之比，是一個(gè)在(0,1)的常數(shù)，事實(shí)上，平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離和一條直線(不在直線上)的距離之比是常數(shù)的動點(diǎn)的軌跡就是橢圓，其中定點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，定直線是橢圓的這個(gè)焦點(diǎn)所對應(yīng)的準(zhǔn)線，這就是橢圓的第二定義。［變式訓(xùn)練］5．設(shè)的軌跡是曲線，滿足：點(diǎn)到的距離與它到直線的距離之比是常數(shù)，又點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線的內(nèi)部.(1)求曲線的軌跡方程；(2)的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).例6．設(shè)點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，求橢圓的離心率的取值范圍。［剖析］由題設(shè)條件不難看出是一直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且由，可想到利用勾股定理來加以解決。［解］由橢圓的定義得=1\*GB3①在中，，由勾股定理，得=2\*GB3②將=1\*GB3①=2\*GB3②化簡得：=3\*GB3③由=1\*GB3①=3\*GB3③，根據(jù)韋達(dá)定理，可知是方程的兩個(gè)根。則有，所以，即，又，從而.［警示］<<考試大綱>>要求掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)，這就要求我們不僅準(zhǔn)確把握和牢固地記憶這些幾何性質(zhì)，還要靈活地運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題，更要注意教材中利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)這些幾何性質(zhì)的思想方法。在橢圓的幾何性質(zhì)中，離心率問題一直是高考的熱點(diǎn)題型，需要重點(diǎn)把握。［變式訓(xùn)練］6.設(shè)F1、F2為橢圓＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn)．已知P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|＞|PF2|，求的值．[能力提升]1．有以下兩個(gè)命題：(1)動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和且為常數(shù))；(2)點(diǎn)的軌跡是橢圓.則命題(1)是命題(2)的()(A)必要不充分條件(B)充分不必要條件(C)充分且必要條件(D)既不充分也不必要條件2．(2022年山東卷）在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為()(A)(B)(C)(D)3．橢圓短軸長是2，長軸是短軸的2倍，則橢圓中心到其準(zhǔn)線距離是（）(A) (B) (C) (D)4．如果方程x2＋ky2＝2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）(A)（0，＋∞） (B)（0，2）(C)（1，＋∞） (D)（0，1）5．（2022年湖北卷）設(shè)過點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸