布朗運動及其應用

布朗運動及其應用【摘要】：布朗運動作為一個簡單的、連續(xù)的隨過程，其發(fā)展隨著物理和金融模型隨機行為的發(fā)展在不停地進行著。這種隨機行為的典型例子是氣體分子的隨機運動和資產(chǎn)定價的波動。布朗運動的應用很廣泛，例如，圖像中的噪聲建模，分形生成，晶體生長和股票市場的模擬。本文開始對布朗運動包括其發(fā)現(xiàn)和之后的發(fā)展進行了概括性的介紹并探索了布朗運動和正態(tài)過程的關系以及布朗運動的一些性質布朗運動有許多有意思的性質，其中包括連續(xù)性和軌道幾乎處處不可微的性質。并且無論對這種性質理解得多么透徹，這個性質看上去仍然很像布朗運動的性質，最后會對布朗運動在金融領域某些方面的應用進行探索。【Abstract】：Brownianmotion(WienerProcess)isasimplecontinuousstochasticprocessthatiswidelyusedinphysicsandfinancemodelingrandombehaviorthatevolvesovertime.Examplesofsuchbehavioraretherandommovementsofamoleculeofgasorfluctuationsinanasset’sprice.Brownianmotionhasawiderangeofapplications,includingmodelingnoiseinimages,generatingfractals,growthofcrystalsandstockmarketsimulation.This

article

willfirstconcentrateonintroducingBrownianmotionincludingitsdiscoveryanddevelopmentgenerally.ItalsostudiestherelationshipbetweenBrownianmotionandNormalprocessaswellasitsproperties.Brownianmotionhasanumberofotherinterestingproperties.Oneisthatrealizations,whilecontinuous,aredifferentiablenowherewithprobability1.Realizationsarefractals.Nomatterhowmuchyoumagnifyaportionofgraphofarealization,theresultstilllookslikearealizationofaBrownianmotion.FinallythearticlewilllookintosomeapplicationsofBrownmotioninthefinancialworld.【keywords】：Brownianmotion；Normalprocess；continuous；differentiable；目錄第1章 引言 3第2章 關于布朗運動的概念和定義 32.1 基礎概率知識 32.2 隨機過程基礎概念 4第3章 隨機游動與布朗運動 63.1簡單隨機俳佪的數(shù)學表達及分布 63.2簡單隨機過程逼近布朗運動 73.2.1由Chapman-Kolmogorov方程逼近 73.2.2中心極限定理的方法： 8第4章 布朗運動概率密度及其性質 94.1有限維布朗運動的聯(lián)合概率密度函數(shù) 94.1.1兩個隨機向量的概率密度轉換公式 94.1.2有限維布朗運動的聯(lián)合概率密度函數(shù): 94.2布朗運動的性質 104.2.1布朗運動的正向馬爾可夫性 104.2.2軌道性質：布朗運動的幾乎所有軌道都不是有界變差 124.3 布朗運動與正態(tài)過程 13第5章 布朗運動的應用 155.1布朗運動在金融市場的應用 155.2首中時與最大值 155.3帶有漂移的布朗運動 165.4幾何布朗運動 21結語 22第1章 引言布朗運動（Brownianmotion）最初是由英國生物學家布朗（R.Brown）于1827年根據(jù)觀察花粉微粒在液面上作“無規(guī)則運動”的物理現(xiàn)象而提出的，在布朗之后，這一問題一再被告提出，為此有許多學者進行過長期的研究。一些早期的研究者簡音的把它歸結為熱或電等外界因素引起的。1905年，愛因斯坦依據(jù)分子運動論的原理提出了布朗運動的理論。就在差不多同時，斯莫盧霍夫斯基也作出了同樣的成果。他們的理論圓滿地回答了布朗運動的本質問題。愛因斯坦（Einstein）首次對這一現(xiàn)象的物理規(guī)律給出了一種數(shù)學描述，使這一課題有了顯著的發(fā)展，這方面的物理理論工作在Smoluchowski，F(xiàn)okker，Planck，Burger，F(xiàn)urthOrnstein，Ublenbeck等人的努力下迅速發(fā)展起來了，但數(shù)學方面卻由于精確描述太困難而進展緩慢。PaulLevy從1910起數(shù)十年的工作，對Brown運動的研究有著深遠的影響，他的著作《Processessstochastiquesetmouvenmentbrownnien》（1948年第一版，1965年第二版）至今仍對這方面的研究工作有許多啟示與參考價值。直到1918年才由維納（Wiener）對這一現(xiàn)象在理論上做出了精確的數(shù)學描述，構造出了一個概率空間（Wiener空間）及其上的隨機過程來刻畫Einstein的物理嚴格意義下的Brown運動。因而Brown運動也叫做Wiener過程。Wiener的論文“Differentialspace”，J.Mathandphoys。2.131-174是Brown運動研究的里程碑，可以這樣說，由Einstein首創(chuàng)的Brown運動的數(shù)學模型，由Levy與Wiener大地發(fā)展深化了。這些工作使之成為現(xiàn)代概率論的重要部分。至今，由于大量的數(shù)學家與自然科學家的工作，Brown運動及其泛涵的研究不斷深入發(fā)展，它已成為隨機過程的兩大基石之一，它不僅滲透到偏微分方程、調(diào)和分析、計算方法、控制等各數(shù)學領域，而用在生物、化學、物理、力學、工程、經(jīng)濟管理、金融等學科中Brown運動也成為不可缺少的研究工具，它是“噪聲”與“漲落”等隨機現(xiàn)象的典型，并提供處理的參考模式。第2章 關于布朗運動的概念和定義2.1 基礎概率知識Definition2.1.1測度空間:設F為由Ω的某些子集構成的非空集類，若滿足：若A∈F，則AC是A的補集，即AC=Ω-A；若An∈F，n∈N，則n則稱F為σ域（σ代數(shù)），稱（Ω，F(xiàn)）為可測空間。容易驗證，若F為σ域，則F對可列次交、并、差等運算封閉，即F中的任何元素經(jīng)可列次運算后仍屬于F.例：集類F0=｛

?，A，Ω｝，F(xiàn)1=｛?，A，AC，Ω｝及F2=｛A:?A?Ω｝是σ域，但集類A=｛

?，A，Ω｝不是σ通常最關心的是包含所木研究對象的最小σ域.設A為由Ω的某些子集構成的集類.一切包含A的σ域的交，記為σ(A)，稱σ(A)為由A生成的σ域，或稱為包含A的最小σ域。概率空間是概率論的基礎，概率的嚴格定義基于這個概念。它是是一個總測度為1的測度空間，下面是概率空間的定義。definition2.1.2概率空間：設（Ω，F(xiàn)）為可測空間，P是一個定義在F上的集函數(shù)，若滿足：P(A)≥0,?A?FP(Ω)=1;（規(guī)一性）若Ai∈F,i=1,2,…,且AiAj=?，?i≠jP(n=1∞Ai則稱P為可測空間（Ω，F(xiàn)）上的一個概率測度（probabilitymeasure），簡稱概率（probability）.稱（Ω，F(xiàn)，P）為概率空間（probabilityspace），稱F為事件域.若A∈F，則稱A為隨機事件（randomevent），簡稱為事件，稱P(A)為事件ADefinition2.1.3條件概率與條件分布函數(shù)：設隨機變量(X,Y)及任一隨機事件B∈F IB(ω)=1,即IB是B的示性函數(shù).顯然P(B)=E(IB(ω)).稱E(IB(ω)|Y)?P(B|Y)為事件B關于隨機變量Y的條件概率，此時P(B|Y)是隨機變量且是Y的函數(shù)，對于任意x∈R，取B=(ω:X≤x),稱F(x|Y)?P(X≤x|Y)=E(I(X≤x)|Y)為X關于Y2.2 隨機過程基礎概念如果我們把一系列的隨機變量按時間的演化放在一起，則得到一個隨機過程。Definition2.2.1隨機過程：設對每一個參數(shù)t∈T，X(t，ω)是一個隨機變量，稱隨機變量族XT=｛X(t，ω),t∈T｝為一隨機過程（stochasticprocess）或稱隨機函數(shù).其中T?R 用映射來表示XT， X(t，ω)，T×Ω→R，即X.(.)是定義在T×Ω上的二元單值函數(shù)，固定t∈T，X(t,.)是定義在樣本空間Ω上的函數(shù)，即一隨機變量.對于ω∈Ω，X(.,ω)（t在T中順序變化）是參數(shù)t∈T的一般函數(shù)，通常稱X(.,ω)為樣本函數(shù)，或稱隨機過程的一個實現(xiàn)，說是一條軌道.記號X(t，ω)有時也寫為Xt(ω)或簡記為X(t)或Xt XT的取值也可以是復數(shù)，Rn或更一般的抽象空間.Xt(t∈T)可能取值的全體所構成的集合稱為狀態(tài)空間，記作S.S中的元素稱為狀態(tài)。Definition2.2.2獨立增量過程：對t1<t2<…<tn，ti∈T，1≤i≤n，若增量 Xt1，Xt2-Xt2，Xt3-相互獨立，則稱｛Xt，t∈T｝為獨立增量過程（processwithindependentincrement）.若對一切0≤s≤t，增量Xt-Xs的分布只依賴于t-s，則稱XT有平穩(wěn)增量.有平穩(wěn)增量的獨立增量過程簡稱為獨立平穩(wěn)增量過程.常見的泊松（Possion）過程和維納（Wiener）過程就是兩個最簡單也是最重木的獨立平穩(wěn)增量過程。Definition2.2.3馬爾可夫過程： 一隨機過程，若已知現(xiàn)在的t狀態(tài)Xt，那么將來狀態(tài)Xu(u>t)取值（或取某些狀態(tài)）的概率為過去狀態(tài)Xs(s<t)取值無關，或更簡單地說，已知現(xiàn)在，將來與過去無關（條件獨立），則稱此性質為馬爾可夫性（無后效性或簡稱馬氏性）.具有這種馬爾可夫性的過程稱為馬爾可夫過程.精確定義： 隨機過程｛Xt，t∈T｝，若對任意t1<t2<…<tn<t，xi，1≤i≤n，及A?R，總有 P(Xt∈A|Xt1=x1，Xt2=x2，…，Xtn=xn)=P(Xt則稱此過程為馬爾可夫過程（Markovprocess），簡稱馬氏過程.Definition2.2.4布朗運動：標準Brown運動?；蛘吆喎QBrown運動，又稱Wiener過程，是定義在某一概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上的滿足下列條件的隨機過程｛Wt(ω)，t≥0｝，ω0=0;具有獨立增量過程：對任意的0≤t0<t1<…<tn,Wt1-Wt0，Wt2-Wt1增量服從正態(tài)分布：Wt-Ws服從N(0,t-s)的正態(tài)分布,?t≥s≥具有連續(xù)的樣本軌道：存在一個零概率集N∈F，使得對任意的ω∈Nc，Wt(ω)作為t的函數(shù)關于t連續(xù)。definition2.2.5n維布朗運動：{Wt=(W1t,W2t,…,Wnt),t對?0≤t1<t2<…<tm，Wt1-Wt0,Wt2-Wt1對s≥0,t>0,增量Wt-Ws為n維正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為P(t,ω)=1(2πt)n2exp(-||x||2其中||x||=(1(3) 對每一ω∈Ω，Wt(ω)是tDefinition2.2.6正態(tài)過程：如果隨機過程｛Xt,t∈T｝對任意ti∈T(i=1,2,…n);Xt1,Xt2,…,Xtn的聯(lián)合分布為n維分布，則稱｛Definition2.2.7布朗橋：｛Wt,t≥0｝為標準布朗運動，不妨設W0=0，W00t=Wt-tW1,則稱｛W00t，0≤t≤1｝為布朗橋。第3章 隨機游動與布朗運動3.1簡單隨機俳佪的數(shù)學表達及分布簡單隨機俳佪的數(shù)學表達考慮一個粒子在d-維空間格點（記為Zd）中的隨機運動：粒子每隔單位時間相互獨立地走一步，每一步可沿任意一個坐標方向走一個單位長.設粒子沿第k個坐標軸正向或負向走一個單位的概率分別是pk與q k=1d于是第k步粒子的位移是一個隨機變量： xk(ω)=e1,概率為p1；-e其中e1,…,ed分別表示沿第1,…,d個坐標方向的單位向量，pk，qk≥0（0≤k≤d）. 為了要容綱所有的（無限個）相互獨立的xk(ω)（k=1，2，…）,我們中要取Ω=｛（ω1，ω2,…,ωn,…）;ω0∈Zd,ωk∈{±e1,±e2,…,±ed}，k≥ P(ω，ω0∈A0，ω1∈B1,…,ωn∈Bn)=P0(A0)k=1n其中n≥0，P0（.）是Zd上任何一個概率分布，它代表隨機俳佪的初始值ω0的分布；Bk?｛±e1,±e2,…,±ed｝，P(e所決定的概率，于是在Ω，F(xiàn)，P）中的坐標過程即可取為 xk(ω)=ωk （k=1，2，…令 ξn(ω)=ω0+k=n就是所得到的簡單隨機俳佪的數(shù)學表達.簡單隨機俳佪的分布設簡單隨機俳徊在時刻m的位置為x，在地刻n+m的位置為y，則經(jīng)過n個單位時間它的位移是y-x這個事件的概率分布服從多項分布： pn(y-x)=nk1,h1,其中和號取遍滿足以下條件的各項： k1+h1+k2+h而ki與hi分別表示在n步中沿ei的正向與負向所走的步數(shù)nm1,m2,…,m2d表示將n個元素分成2d堆，各有m1,m2,…,m2d個元素的分法數(shù)，它等等于n!m1!,m2!,…,md!P(ξn1=x1=x0∈Zdp03.2簡單隨機過程逼近布朗運動設X(t0)表示一個粒子作Brown運動中的x方向分量，x0為粒子在時刻t0的位置，即X(t0)=x0.設p(x,t|x0).表示在給定X(t0)=x0的條件下X(t+t0)的條件概率密度.我們假設所給的轉移概率是平穩(wěn)的，從而p(x,t|x0)不依賴于起始時刻t0.因為p(x,t|t0)是X的密度函數(shù)，故p(x,t|x0)≥0, -∞∞進一步，我們要求對充分小的t，X(t+t0)與X(t0)=x0非常接近，即 limt由物理原理，愛因斯坦證明了p(x,t|x0)必然滿足偏微分方程 ?p?t=D?2p?2t. 上述方程稱為擴散方程，D稱為擴散系數(shù).D的估計根據(jù)公式D=2RT/Nf來確定，其中R為氣體（液體）常數(shù)，T為溫度，N為Avogadro數(shù)，f為摩擦系數(shù).3.2.1由Chapman-Kolmogorov方程逼近（*）式可以根據(jù)簡單隨機游動逼近的方式導出.考慮對稱隨機游機（即P(Xn=-1)=P(Xn=1)=12）,每次移動△x，其中xn表示粒子在第n時刻運動的方向，Sn=（X1+…+X2）△x表示在時刻n粒子的位置.以pk(n)表示時刻n△t時粒子處于位置k△x的概率，則由Chapman-Kolmogorov pk(n+1)=12pk+1(n)+12pk-1(n) 這方程也可以改寫為 pk(n+1)-pk(n)=12[pk+1(n)-2pk(n)+12pk-1(n)]. 刻式左邊是時間的一階差分，而右邊是位置變量的二階差分.通過適當?shù)臉O限過程讓單位轉移時間趨于0，同時讓步長適當收縮到0，我們可以由上式得到（*）.特別，設轉移時間間隔為△t，步長為△x，則上式可寫為 pk△xn+1△t-pk△x(n△t)△t=然后令△t→0，△x→0而保持△t=(△x)2.再令n→∞，k→∞，使k△x→x，n△t→t，則pk△xn△t→p(x,t|x3.2.2中心極限定理的方法：設X(t)表示粒子在時刻t時的位置.粒子轉移時間間隔和步長分別為△t和△x，Xk表示在時刻k△x時轉移方向，則 X(t)=△x(X1+X2+…+p[t△t]), 其中[z]表示z的整數(shù)部分.由于EXi=0，Var(Xi)=1,故在(5.7)中，EX(t)=0,Var(X(t))=(△x)2[t△t],現(xiàn)令△x，△t→0，但趨于0的方式應保持方差不能趨于0或∞，即要求(△x)2=c2△t（因為若△x=△t，則Var(X(t))→0，從而由概率論知識得X(t)幾乎等于0.如果△t=(△x)3，則Var(X(t))→∞，這也是不合實際情況的.因為由物理上粒子運動的連續(xù)性，不可能在很短時間內(nèi)運離出發(fā)點.因此合理的假設只能是(△x)2=c2△t，其中c>0）.X(t)~N(0,c2t). 此外，由于在不相交時間間隔內(nèi)的隨機游動是獨立的.因此我們可以知道Brown運動有獨立增量.最后，由于在任何一段時間內(nèi)隨機游動位置變化的分布只依賴于區(qū)間的長度，故Brown運動應有平穩(wěn)增量.第4章 布朗運動概率密度及其性質4.1有限維布朗運動的聯(lián)合概率密度函數(shù)4.1.1兩個隨機向量的概率密度轉換公式已知若Y=(Y1,Y2,…,Yn)是n維隨機變量，g(y1,y2,…,yn)是它的概率密度函數(shù)，現(xiàn)有Xi=fi(Y1,Y2,…,Yn)(i=1,2,…,n)是Y的函數(shù)且存在唯一的反函數(shù)Yi=hi(X1,X2,…,Xn)若fi，hi有連續(xù)的偏導數(shù)，則X=(X1,X2,…,Xn)的概率密度函數(shù)為：f(x1,x2,…,xn)=gy1,y 其中J=α4.1.2有限維布朗運動的聯(lián)合概率密度函數(shù):設｛Wt,t≥0｝為標準布朗運動.令x0=0，t0=0.對0≤t0<t1<…<tn有（Wt1,Wt2,…為：f(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tm)=i=1np(xi-xi-1其中p(x;t)=12πtexp{-證明：利用布朗運動的獨立性.令Y1=Wt1- Y2=Wt2 ? Yn=Wtn-即Wti=fi(Y1,Y2,…,Yn)=Y1+Y2+…+Yn=Wt1-Wt0+W所以Wti是獨立增量過程，Y1,Y2,…,Y且Yi=Wti-Wti-1故（Y1,Y2,…,Yn）的聯(lián)合密度函數(shù)是：g(y1,y2,…,yn)=i=1n12π(ti-ti-1Wti=fi(Y1,Y2,…,Yn)，并且存在唯一的反函數(shù)Yi=hi(Wt1,Wt2并且fi和hi有連續(xù)的偏導所以由前面引入的隨機向量變換的概率密度公式，得(Wt1,Wt2,… f(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tm)=g(y1,y2,…,yn)|J|. （4.4）這里的|J|=1于是有|J|=1;所以f(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tm)=g(y1,y2,…,yn)=i=1n12πti-即得證.由上述定理很容易得出，在Wt1=x0的條件下，p(x;t2-t1|x0)=12π(t2-t1)exp{-x-x022t同樣，在Wt0=x0下， p(x,t|x0)=p(x-x0,t)=12πtexp{-x-x022t}. 所以P(Wt0+t>x0|Wt0=x0)=P(Wt0+t≤x0|Wt0=x上式表明，給定初始條件Wt0=x0，對于任意的t>0,布朗運動在t0+t時刻的位置高于或低于初始位置的概率相等，均為1/2,4.2布朗運動的性質4.2.1布朗運動的正向馬爾可夫性對0≤t0<t1<…<tn，在給定Wt1,Wt2,…,Wtn-即f=fWtn|Wtn-1=an-1(xn|證明：先求出所需要的概率密度函數(shù)： 設p(x;t)=12πexp{ =1\*GB3①Wt1,Wt2,…,W f(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)==i=1np(xi-xi-1; =2\*GB3②Wt1,Wt2,…,f(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tm)==i=1n-1p(xi-xi-1; =3\*GB3③Wtn-1,Wt 由t0<tn-1<tn，且W0=0，其中t0=0，x0=0 得：Wtn-Wtn-1與Wtn-1 故f(xn-1,xn;tn,tn-1)=p(xn-xn-1;tn-tn-1)p(xn-1-x0;tn-1-t0) =p(xn-xn-1;tn-tn-1)p(xn-1;tn-1). （4.12） =4\*GB3④Wtn-1的概率密度函數(shù)： f(xn-1;tn-1)=p(xn-1;tn-1). （4.13）于是有f =f(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)f( =p(xn-an-1;tn-tn-1)=12πtn-tn-1exp-x fWtn|Wtn-1=an-1(xn|an-1)=f(xn-1所以fWt即布朗運動具有正向馬爾可夫性。4.2.2軌道性質：布朗運動的幾乎所有軌道都不是有界變差命題4.2.1：設0=t0<t1<?<tn=t，記λ=maxi1≤k≤n limλ→0i=1n(Wti-Wti-1)2m.s.其中m.s.表示均方收斂.證明：只需證：limλ→0E[由正態(tài)分布知：E[((Wti-Wti-1)4)]=3(ti-ti-1)2, E[((Wti-Wti-1)2)]=ti-ti-1, 于是有：E=E[(i =Var[i=1 =i=1nVar[(Wti-Wti-1)2] （因為W =i=1 =i =2i ≤2max =2λt→0（λ→0）.命題4.2.2=2\*ROMAN：定義隨機過程列如下：ξn(k2-n):=i=1k(Wi2n-Wi-1而在每一小區(qū)間[(k-1)2-n，k2-n]上ξn為線性函數(shù).則? limn→∞supt∈[0,T]|ξnt-t|=0, a.s..命題的證明：只需證明?t=k2-n，（k=0，1，2，…,2n，n=1，2，…），有 limn→∞ξn因為E(ξnt-t)2=Var=2i=12=2?2nt?(12n)2=t2n-1所以E[n=1∞(ξnt=n=1∞t2n-1<∞. 從而n=1∞(ξn由此ξnt→t.命題4.2.3：布朗運動的幾乎所有的軌道都是無限變差的. 證明：設（Ω，F(xiàn)，P）是｛Wt，t>0｝的概率空間.設0=t0<t1<?<tn=t，記λ=max用反證法證：假設命題=3\*ROMANIII不成立，則存在集合A∈F使得：?ω∈A有n=1∞|Wt則有n=1≤maxi=λn=1∞|Wtiω-這與命題2的結論相矛盾，故假設不成立.所以得到結論：對任意給定的小區(qū)間，幾乎對所有軌道ω，Wt關于t都不是有界變差函數(shù)。實際上布朗運動還有更強的性質：布朗運動在任意一點t≥0，幾乎對所有的軌道ω均不存在有限的導數(shù).4.3 布朗運動與正態(tài)過程正態(tài)過程：如果隨機過程｛Xt,t∈T｝對任意ti∈T(i=1,2,…n);Xt1,Xt2,…,Xtn的聯(lián)合分布為下面的定理4.3.1是判斷一個正態(tài)隨機過程是否為布朗運動的充分必要條件：定理4.3.1 設｛Wt，t≥0｝是正態(tài)過程，軌道連續(xù)，W0=0，?s，t>0有 E(Wt)=0, E(WsWt)=t∧s，則｛Wt，t≥0｝是布朗運動，反之亦然. 證明：=1\*GB2⑴ （?）先證充分性，設0<s≤t，0<t1<t2<?<tn，已知｛Wt，t≥0｝是布朗運動， 則（Wt1,W f(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tm)=i=1n12π(ti故Wt1,Wt2,…,且Wt～N(0,t)；Ws～N(0,s)；Wt-Ws～N(0,t-s)且Ws與Wt-Ws之間相互獨立.E[Wt]=0,且軌道連續(xù)，W0=0則E[WsWt]=E[(Wt-Ws+Ws)Ws]=E[(Wt-Ws)Ws]+E[Ws =E(Wt-Ws)?E(Ws)+Var(Ws) =0+s=s.充分性得證.=2\*GB2⑵ （?）再證必要性.已知｛Wt，t≥0｝是正態(tài)過程，軌道連續(xù)，W0=0， 則對?0<s<t，有Wt～N(0,t)；Ws 于是計算Wt-Ws的均值和方差： E[Wt-Ws]=E[Wt Var[Wt-Ws =EWt2+EWs2 =t+s-2s=t-s； 故Wt-獨立性：?0<s E[(Wt1- =E[Wt =E[Wt1Wt2]-E[Wt1Ws =t1-s1-t1+s1=0.多維正態(tài)分布不相關與相互獨立等價.綜上：ω0=0;對任意的0≤t0<t1<…<tn,Wt1-Wt0，Wt2-WWt-Ws服從N(0,t-s)的正態(tài)分布,?t≥s≥0｛Wt，t≥0｝軌道關于t連續(xù).故｛Wt，t≥0｝是布朗運動.利用上面定理可以得到以下一些有用的結論：設｛Wt，t≥0｝是布朗運動，則(1)｛Wt+s-Wt，t≥0(2)｛1λWλt，t≥0｝(3)｛tW1t，t≥0｝，其中{W1t(4)｛Wt0+s-Wt0，0仍為布朗運動.第5章 布朗運動的應用5.1布朗運動在金融市場的應用將布朗運動與股票價格行為聯(lián)系在一起，進而建立起維納過程的數(shù)學模型是本世紀的一項具有重要意義的金融創(chuàng)新，在現(xiàn)代金融數(shù)學中占有重要地位。迄今，普遍的觀點仍認為，股票市場是隨機波動的，隨機波動是股票市場最根本的特性，是股票市場的常態(tài)。布朗運動假設是現(xiàn)代資本市場理論的核心假設?，F(xiàn)代資本市場理論認為證券期貨價格具有隨機性特征。這里的所謂隨機性，是指數(shù)據(jù)的無記憶性，即過去數(shù)據(jù)不構成對未來數(shù)據(jù)的預測基礎。同時不會出現(xiàn)驚人相似的反復。隨機現(xiàn)象的數(shù)學定義是：在個別試驗中其結果呈現(xiàn)出不確定性；在大量重復試驗中其結果又具有統(tǒng)計規(guī)律性的現(xiàn)象。描述股價行為模型之一的布朗運動之維納過程是馬爾科夫隨機過程的一種特殊形式；而馬爾科夫過程是一種特殊類型的隨機過程。隨機過程是建立在概率空間上的概率模型，被認為是概率論的動力學，即它的研究對象是隨時間演變的隨機現(xiàn)象。所以隨機行為是一種具有統(tǒng)計規(guī)律性的行為。股價行為模型通常用著名的維納過程來表達。假定股票價格遵循一般化的維納過程是很具誘惑力的，也就是說，它具有不變的期望漂移率和方差率。維納過程說明只有變量的當前值與未來的預測有關，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式則與未來的預測不相關。股價的馬爾科夫性質與弱型市場有效性(theweakformofmarketefficiency)相一致，也就是說，一種股票的現(xiàn)價已經(jīng)包含了所有信息，當然包括了所有過去的價格記錄。但是當人們開始采用分形理論研究金融市場時，發(fā)現(xiàn)它的運行并不遵循布朗運動，而是服從更為一般的分數(shù)布朗運動。5.2首中時與最大值首中時：設｛Wt，t≥0｝是布朗運動，不妨設W0=0.令Ta=｛t：t>0，Wt=a｝，則Ta表示首次擊的時間（首中時）.下面探索T對任意t>0，Mt=max0≤s≤tWs表示[0,t]上的最大值. ｛Ta≤t｝=｛故有 P(Ta≤t)=P(Mt≥a)=P(max0≤s≤tWs≥a).為求P(Ta≤tP(Wt≥a)=P(Wt≥a|Ta≤t)?P(顯然，P(Wt≥a|Ta>t)=0，又由布朗運動的對稱性知，在(Ta≤t)的條件下，即WT P(Wt≥a|Ta≤t)=P(Wt<a|Ta≤t)=故P(Ta≤t)=2P(Wt≥a). 于是，當a>0時，有P(Ta≤t =2 =2(1-Φ(at)). 而當a>0時，由于布朗運動的對稱性，顯然P(T-a≤t)=P(Ta≤t P(Ta≤t)=22π|a|t+∞e-u22d這就得到了首中時的分布.5.3帶有漂移的布朗運動定義（帶有漂移的布朗運動）：設{Wt，t≥0}為布朗運動，記X(t)=Wt+μt，μ為常數(shù)，稱{X(t)帶有漂移的布朗運動的背景是一個質點在直線上作非對稱的隨機游動，具有一定趨向，于不規(guī)則微觀運動中又有一定宏觀規(guī)則存在，如分子熱擴散，電子不規(guī)則運動等。定理5.3.1 設Wt為一維Brown運動.其概率空間為（Ω，F(xiàn)，P）令Q(dω):=eWT-T2P(dω). 證明在Q-下，Wt-t為Brown運動，利用此事實計算P(證明：（1）先證在Q-下，Wt-t為Brown已知Wt為Brown運動，則a.ω0=0;b.對任意的0≤t0<t1<…<tn,Wt1-Wt0，Wt2-Wc.Wt-Ws服從N(0,t-s)的正態(tài)分布,?t≥s≥d.Wt關于t是連續(xù)函數(shù)。 則=1\*GB3① W0-0=0-0=0； =2\*GB3② Wt-t也是關于t的連續(xù)函數(shù)； =3\*GB3③ 下面證明在Q-下Wt-t-(Ws-s)服從正態(tài)分布由于在P下，有?0≤t≤T，WT-Wt與Wt 則EP(e=-∞+∞=et2. EP(Wt?=-∞=e=et2[0+t]=tet2 于是有EP(Wt=EP(=tet2?eT-t2=teT2 先證EQ[(Wt-t)?(W證明：設對任意0<s<t<T有EQ[(Wt-t)?(Ws=e-T2?EP[eWTWtWs]-EP[eWTt=e-T2?{EP[eW=e-T2?{EP[eW=e-T2?{EP[eWT-Wt?e由于EP[eW=EP[eWT-Wt]EP[e=e=eT和EP[eW=EP[eWT-Wt]EP[e=e=eT2?故EQ[(Wt-t)?(Ws-s)]=e-T2{eT2?(t-s)s+e得證.再證在Q-下，Wt-t充A={ω:WQ(Wt-t≤x)=AdQ=e-T2?E=e-T2?EP=e-T2?EP[eWT-Wt]?E=e=e=-∞=-∞即在Q-下，Wt-t于是根據(jù)以后結果有：EQ[Wt-t-(Ws-s)]=E=e-T2{EP[eWT=e-T2?[(teT2-se=0.D=D=t+s-2=t+s-2s=t-s.這就證明了在Q-下Wt-t-(W=4\*GB3④ 下面證明對任意的0≤t0<t1<…<tn，(Wt1-t1)-(Wt0-證明：先求(Wt1-t1)-(W對?0≤t0<t1<…<tn，有設Ai={ω:Wti-Q(Wt=Ai=e-T2?=e=-∞=-∞a1-∞a2?-∞因此在Q-下，(Wt1-t1)-(W另外?0≤sE=E=e=e-T2?eT-t2=0.且由于Wt-t-(W得EQW故E=EN維聯(lián)合正態(tài)分布中不相關與獨立等