剛體的平面運動

Cp出CCAiBlB圖3(h)5圖3(a)Cp出CCAiBlB圖3(h)5圖3(a)剛體的平面運動在前面幾節(jié)中，物體被看成了沒有形狀、沒有大小的質(zhì)點.然而，實際的物體總是有其形狀和大小的，而且常常發(fā)生形變.作為一種理想模型，我們把形狀和大小不變的物體叫做剛體.剛體上質(zhì)點之間的距離在剛體運動時保持不變.那末，剛體運動有些什么規(guī)律呢？一、剛體運動有兩種基本形式：平動和定軸轉(zhuǎn)動1、平動剛體上任意兩點的連線保持平行的運動叫做剛體的平動，如圖1所示.圖中是一個正方體剛體在作曲線平動.不難看出，剛體上各點的軌跡曲線的形狀相同，各點的速度也相同.因此，只要弄清楚了剛體上任意一點的運動過程，也就弄清楚了整個剛體的運動過程.這就是說，剛體的平動可以用剛體上任意一個質(zhì)點的運動來代表.因此，前面幾章研究質(zhì)點運動實際上就是研究剛體的平動.2、定軸轉(zhuǎn)動若剛體上的所有質(zhì)點圍繞同一直線作圓運動，則稱這種運動為剛體轉(zhuǎn)動，該直線叫做剛體的轉(zhuǎn)軸.轉(zhuǎn)軸可以穿過剛體，也可以不穿過剛體.轉(zhuǎn)軸靜止的剛體轉(zhuǎn)動叫做剛體定軸轉(zhuǎn)動.如圖2所示。剛體定軸轉(zhuǎn)動時，剛體上任意質(zhì)點的軌跡圓所在的平面叫做轉(zhuǎn)動平面.剛體的各個轉(zhuǎn)動平面相互平行，都垂直于轉(zhuǎn)軸.剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述。類似于圓周運動的描述剛體上各點都繞同一轉(zhuǎn)軸作半徑不同的圓周運動，在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度。剛體上各點的角位移A9、角速度w、角加速度B均相同。二、剛體平面運動剛體的平動和轉(zhuǎn)動是最常見、最簡單的剛體運動。我們感興趣的是另一種剛體運動稱為剛體的平面運動。例如汽車在平直路面上行駛時，其輪子在路面上滾動就是一例。剛體平面運動的特點是，剛體在運動中剛體上各點始終處在平行于空間一固定平面的各自平面中。

1、剛體平面運動概述和運動分解（1） 如圖1、剛體平面運動概述和運動分解（1） 如圖3所示，剛體運動中由位形I到位形II,總可以認(rèn)為以剛體上任意選定的參考點（稱為基點）為代表的剛體的平動，加上剛體繞此參考點的一個轉(zhuǎn)動的疊加完成。（2） 由圖3（a）、（b）看出，基點選取不同，剛體平動運動將不同，但繞基點的轉(zhuǎn)動卻是相同的。因此：盡管選取不同的基點，但繞任一基點轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度均一致。例如：圖4車輪的運動車輪的平面運動可以看成是車輪隨同車廂的平動和相對車廂的轉(zhuǎn)動的合成．車輪對于靜系的平面運動——絕對運動車廂（動系A(chǔ)xy）相對靜系的平動—牽連運動車輪相對車廂（動系A(chǔ)xy）的轉(zhuǎn)動——相對運動車輪的平面運動 隨基點昇的平動 繞基點的轉(zhuǎn)動我們稱動系上的原點A為基點，于是剛體的平面運動可以分解為隨基點的平動和繞基點的轉(zhuǎn)動．2、平面圖形內(nèi)各點的速度求法2.1．基點法（合成法）已知：圖形S內(nèi)一點A的速度丁，圖形角速度?求：丁AB取A為基點,將動系固結(jié)于A點,動系作平動。取B為動點，則B點的運動可視為牽連運動為平動和相對運動為圓周運動的合成：絕對=B;牽連=A;相對=BAVBA大小°-AB，方向丄AB，指向與①轉(zhuǎn)向一致.根據(jù)速度合成定理:V絕對=V牽連+V相對則B點速度為：VB=VA+VBA即平面圖形上任一點的速度等于基點的速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動的速度的矢量和．這種求解速度的方法稱為基點法，也稱為合成法．它是求解平面圖形內(nèi)一點速度的基本方法．2.2、速度投影法由于A,B點是任意的，因此vB—vA+vBA表示了圖形上任意兩點速度間的關(guān)系.由于恒有VBA丄AB，因此將上式在AB連線上投影，有vB] —[vA] ——速度投影定理

即平面圖形上任意兩點的速度在該兩點連線上的投影彼此相等．這種求解速度的方法稱為速度投影法例1?曲柄連桿機(jī)構(gòu)OA=AB=l,取柄OA以勻w轉(zhuǎn)動。求：當(dāng)9=45°時，滑塊B的速度及AB桿的角速度。基點法速度投影法解：機(jī)構(gòu)中,OA作定軸轉(zhuǎn)動,AB作平面運動，滑塊B作平動?；c法（合成法）研究AB,以A為基點，且v=wl，方向如圖示。根據(jù)vB=vA+vBA，在B點做速A度平行四邊形，如圖示。v=v/cos9=lw/cos45。=721w(j)BAv=vtg9=Iw-tg45。=IwBAAnw=v/AB=lw/1=wABBA速度投影法研究AB,v=lw,方向丄OA,Av研究AB,v=lw,方向丄OA,AvB方向沿BO直線BABAABv=vcos9ABv=v/cos9=lw/cos45°=\2lw（j）BA不能求出wAB2.3．瞬時速度中心法（速度瞬心法）2.3.1.問題的提出若選取速度為零的點作為基點，求解速度問題的計算會大大簡化．于是，自然會提出，在某一瞬時圖形是否有一點速度等于零？如果存在的話，該點如何確定？2?3?2.速度瞬心的概念平面圖形s,某瞬時其上一點A速度vA,圖形角速度w,沿AvA方向取半直線AL,然后順w的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)90°至AL'的位置,A在AL'上取長度AP=v/wA則：vp=vA+vv=AP-w=v,方向丄PA，恰與v反向.所以v=0PAPAPA A A P即在某一瞬時必唯一存在一點速度等于零，該點稱為平面圖形在該瞬時的瞬時速度中心簡稱速度瞬心.2?3?3.幾種確定速度瞬心位置的方法已知圖形上一點的速度VA和圖形角速度3,可以確定速度瞬心的位置.（P點）AP=—,AP丄V,且P在V順3轉(zhuǎn)向繞A點3 A A轉(zhuǎn)90°的方向一側(cè).已知一平面圖形在固定面上作無滑動的滾動，則圖形與固定面的接觸點P為速度瞬心.已知某瞬間平面圖形上A0兩點速度V,V的方向，且ABABV不平行V過A,B兩點分別作速度V,V的垂線，交點P即為AB該瞬間的速度瞬心.已知某瞬時圖形上A,B兩點速度V,V大小，且V丄AB，V丄ABV丄AB，V丄ABAB(a)V與V同向，AB(b)VA與VB反向，33V一V BABV+V—A BAB⑤已知某瞬時圖形上A,B兩點的速度方向相同，且不與AB連線垂直.此時，圖形的瞬心在無窮遠(yuǎn)處，圖形的角速度3=0，圖形上各點速度相等，這種情況稱為瞬時平動.（此時各點的加速度不相等）另：對第④種（a）的情況，若v=v則是瞬時平動.AB注意：瞬時平動與平動不同瞬時平動構(gòu)件上各點的速度都相等，但各點的加速度并不相等。例如:曲柄連桿機(jī)構(gòu)在圖示位置時，連桿BC作瞬時平動.此時連桿BC的圖形角速度3 =0,BC桿上各點的速度都相等,BC但各點的加速度并不相等。設(shè)勻3,則a=an=AB-32(J)BB而ac的方向沿AC的，町豐a。瞬時平動與平動不同2.3.4.速度瞬心法利用速度瞬心求解平面圖形上點的速度的方法，稱為速度瞬心法.平面圖形在任一瞬時的運動可以視為繞速度瞬心的瞬時轉(zhuǎn)動，速度瞬心\又稱為平面圖形的瞬時轉(zhuǎn)動中心。若P點為速度瞬心，則任意一點A的速度V=AP-3，方向丄AP，指向與3一致。A

2.3.5.注意的問題速度瞬心在平面圖形上的位置不是固定的，而是隨時間不斷變化的。在任一瞬時是唯一存在的。速度瞬心處的速度為零,加速度不一定為零。不同于定軸轉(zhuǎn)動剛體作瞬時平動時，雖然各點的速度相同，但各點的加速度是不一定相同的。不同于剛體作平動。例2?曲柄連桿機(jī)構(gòu)OA=AB=l，取柄OA以勻w轉(zhuǎn)動。用瞬心法求：當(dāng)9=45°,0°，90°時,滑塊B的速度及AB桿的角速度9=45°時研究AB，已知v,v的方向，因此AB可確定出P點為速度瞬心?/v= ,AP=lAw=v/AP=lw/1=wAB Av=BP-w=I21w(J)B AB9=0°時v=lw,AP=AB=lAw=v/AP=lw/1=wABAv=0B9=90°時v=lw,v=v=lwA BAw=0AB例3.行星齒輪機(jī)構(gòu)已知:R,r,wo輪A作純滾動，求v,vM1M2v=(R+r)w=rw?.w=wAov=(R+r)w=rw?.w=wAorov=PM-w=丫'2rR+r- w=72(R+r)wM11roov=PM-w=2r-R+r2(R+r)ww—M22roo方向如圖所示。R+r平面圖形內(nèi)各點的加速度求法基點法（合成法）已知：圖形s內(nèi)一點a的加速度a和圖形的角速度①,角加速度AB（某一瞬時）。求：該瞬時圖形上任一點B的加速度。取A為基點，將平動坐標(biāo)系固結(jié)于A點取B動點，則B點的運動分解為相對運動為圓周運動和牽連運動為平動．a(chǎn)二a;a二a;a二a二aT+an絕對B 牽連 A 相對 BABABA于是，由牽連平動時加速度合成定理a絕對=a牽連+a相對可得如下公式.a=a+aT+anBABABA其中：at=AB-p，方向丄AB,指向與卩一致;BAan=AB2，方向沿AB，指向A點。BA即平面圖形內(nèi)任一點的加速度等于基點的加速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動的切向加速度和法向加速度的矢量和。這種求解加速度的方法稱為基點法，也稱為合成法。是求解平面圖形內(nèi)一點加速度的基本方法。上述公式是一平面矢量方程。需知其中六個要素，方能求出其余兩個。由于町a(chǎn),aBA方位總是已知，所以在使用該公式中，只要再知道四個要素，即可解出問題的待求量。例4半徑為R的車輪沿直線作純滾動，已知輪心O點的速度VO及加速度a，求車輪與軌道接觸點p的加速度.O分析：a=a+at+anPO PO PO輪O作平面運動，P為速度瞬心，.?.?=V/RO由于此式在任何瞬時都成立，且Op=1dvdtdt以O(shè)為基點，=a+at+aPOPO其中：PO=R-p=PO點作直線運動，故而做出加速度矢量圖，由圖中看出：a=anPPO

（a與at等值反向）即a=v2/R（T）OPO PO由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心．當(dāng)車輪沿固定的直線軌道作純滾動時，其速度瞬心P的加速度指向輪心．鞏固練習(xí)：1.一碗置于水平桌面上，碗內(nèi)壁呈半球形狀，球半徑為R。如圖說是，豎直面內(nèi)有一細(xì)直桿AC(不計質(zhì)量)，桿一端A與碗內(nèi)壁接觸，桿上B點位于碗沿。AC桿在豎直面內(nèi)運動到圖示位置(即0角時)，A端得速度值正好是C端速度值的一半，試求AB長與BC長之比。2.—個半徑為R的半圓柱置于水平地面上，在與柱軸垂直的平面內(nèi)有一輕桿AD擱置在柱面上。A端在地面上，桿與柱面的接觸點為B。已知B點處柱半徑OB與豎直半徑夾角為0，如圖所示。求當(dāng)桿端A在地面滑動過程中達(dá)圖示位置時，AB中點C的速率與A點速率之比為多大？如圖.圖細(xì)桿AB長1,端點A、B分別被約束在x和y軸上運動，桿上P點離桿A端距離為桿長的a倍(0<a<1).試求：(1)確定P點的運動軌跡⑵如果圖中0角和為已知，那么P點的x和y方向分運動的速率v和v是多少？pxpy

4.曲柄滾輪機(jī)構(gòu)，曲柄OA=15cm,n=60rpm，滾子半徑R=15cm。求：當(dāng)a=60°時(OA1AB),滾輪的角速度?e，角加速度BB分析和解：本題中的內(nèi)部約束就是桿長和P點在桿中的位置，而外部約束是A、B分別被約束在x和y軸上運動，這樣就確定了它們之間的幾何關(guān)系。(1)桿A端在y軸上的位置用坐標(biāo)y九表示，桿B端的位置用坐標(biāo)x表示，P點的坐標(biāo)為ABx、y)，利用幾何關(guān)系，得出x、y與x、y的關(guān)系為pPpPBAxal~p= =axlBl—alyA艮卩x=ax=alsin0PBy=(1一a)x=(1一a)lcos0PA由以上兩式，得一=+再=1(al)2 1(1—a)lJ2這是一個橢圓方程，故P點的運動軌跡為橢圓.(2)設(shè)在At寸間內(nèi)，P點坐標(biāo)的改變量為Ax和Ay，桿A、B兩端坐標(biāo)的相應(yīng)改變量為AyP P A和Ax，利用P點坐標(biāo)與A、B兩端坐標(biāo)在幾何上的關(guān)連有^p=a =(1—a)B AtAtAt At根據(jù)速度分量的定義，當(dāng)AtT0時u=au，u=(1—a)uPx B Py A式中u和u分別是A端和B端的速度.由AB桿不可伸長，有ABucos0=usin0AB最后得出P點的速度分量為u=auco10 u=(1—auPx A Py A(第15屆復(fù)賽第2題)如圖所示，有兩條位于同一豎直平面內(nèi)的水平軌道，相距為h。軌道上有兩個物體A和B,它們通過一根繞過定滑輪O的