山東省泰安市2019年中考試卷（數(shù)學(xué)解析版）

2019年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)選出

來，每小題選對(duì)得4分，選錯(cuò)、不選或選出的答案超過一個(gè)，均記零分）

1.（4分）在實(shí)數(shù)|-3.14|,-3,-石，乃中，最小的數(shù)是（）

A.-百B.-3C.1-3.141D.兀

選

2.（4分）下列運(yùn)算正確的是（）

428236224

A.八八/B.aa=aC.（2a）=6aD.a+a=a

【解析】A、故此選項(xiàng)正確；

B、a4。？：/，，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、（2^）3=8一,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、a2+a2=2a2,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

選A.

3.（4分）2018年12月8EI,我國(guó)在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器，“嫦娥四號(hào)”進(jìn)入

近地點(diǎn)約200公里、遠(yuǎn)地點(diǎn)約42萬公里的地月轉(zhuǎn)移軌道，將數(shù)據(jù)42萬公里用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.4.2x109米B.4.2x108米c.42x107米D.4.2X10,米

【解析】42萬公里=420000000〃?用科學(xué)記數(shù)法表示為：4.2xl（）8米，

選8.

4.（4分）下列圖形：

【解析】①是軸對(duì)稱圖形且有兩條對(duì)稱軸，故本選項(xiàng)正確;

②是軸對(duì)稱圖形且有兩條對(duì)稱軸，故本選項(xiàng)正確：

③是軸對(duì)稱圖形且有4條對(duì)稱軸，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

④不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

選A.

5.（4分）如圖，直線I"/%，Zl=30°,則N2+N3=（）

180°C.210°D.240°

【解析】過點(diǎn)后作石//4,

1,7/12，EF//1,,

.-.EF//1,//12,

/.Zl=ZAEF=30°,ZFEC+Z3=180°,

Z2+Z3=ZAEF+ZFEC+Z3=30°+180°=210°,

選C.

6.（4分）某射擊運(yùn)動(dòng)員在訓(xùn)練中射擊了10次，成績(jī)?nèi)鐖D所示:

A.眾數(shù)是8B.中位數(shù)是8C.平均數(shù)是&2D.方差是1.2

【解析】由圖可得，數(shù)據(jù)8出現(xiàn)3次，次數(shù)最多，所以眾數(shù)為8,故A選項(xiàng)正確；

10次成績(jī)排序后為：6,7,7,8,8,8,9,9,10,10,所以中位數(shù)是g(8+8)=8,故8選項(xiàng)正確;

平均數(shù)為,(6+7x2+8x3+9x2+10x2)=82,故C選項(xiàng)正確；

方差為J1(6-8.2)2+(7-8.2尸+(7-&2>+(8-8.2)2+(8-8.2)2+(8-8.2)2+(9-8.2)2+(9-8.2)2+(10-8.2)2+(10-8.2)21=1.56>故

。選項(xiàng)錯(cuò)誤；

選。.

5x+4..2(x—1),

7.(4分)不等式組2x+53x-2的解集是()

------------------->1

32

A.凡,2B.X...-2C.-2<%,,2D.-2,,x<2

,5x+4..2(x-l)①

【解析】■2x+53x-2,[②，

由①得，X...-2,

由②得，x<2,

所以不等式組的解集是-2,,x<2.

選￡).

8.（4分）如圖，一艘船由A港沿北偏東65。方向航行30亞珈至8港，然后再沿北偏西40。方向航行至C

港，C港在A港北偏東20。方向，則A,C兩港之間的距離為（）km.

A.30+30石B.30+10^C.10+30^D.3073

【解析】根據(jù)題意得，ZCAB=65°-20°,ZACB=40°+20°=60°,AB=30夜，

過B作BE_LAC于E,

ZAEB=NCEB=90°,

在RtAABE中，ZABE=45°,AB=300,

AE=BE=—AB=30km,

2

在RtACBE中，ZACB=60°,

:.CE=^-BE=\0>j3km,

/.AC=AE+CE=30+106，

「.A,。兩港之間的距離為（30+10G）k%,

選B.

9.（4分）如圖，A48C是。的內(nèi)接三角形，ZA=119°,過點(diǎn)C的圓的切線交8。于點(diǎn)尸，則NP的度

數(shù)為（）

A.32°B.31°C.29°D.61°

【解析】如圖所示：連接。C、CD,

PC是。的切線，

..PCLOC,

40cp=90°,

NA=119。，

/.ZODC=1800-ZA=61°,

OC=OD,

.\ZOCD=ZODC=6l0,

/.ZDOC=180°-2x61°=58°,

/.ZP=90°-ZDOC=32°；

選A.

A

10.（4分）一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5的五個(gè)小球，這些球除標(biāo)號(hào)外都相同，從中隨機(jī)摸出兩

個(gè)小球，則摸出的小球標(biāo)號(hào)之和大于5的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

5555

【解析】畫樹狀圖如圖所示：

共有25種等可能的結(jié)果，兩次摸出的小球的標(biāo)號(hào)之和大于5的有15種結(jié)果，

二.兩次摸出的小球的標(biāo)號(hào)之和大于5的概率為"=3；

255

選C.

1234

1234512345123451234512345

11.（4分）如圖，將。沿弦43折疊，A3恰好經(jīng)過圓心O,若。的半徑為3,則的長(zhǎng)為（）

B.7tC.2萬D.34

【解析】連接。4、。8,作于C,

由題意得，OC=—Q4,

2

Z.OAC=30°,

OA=OB,

NOBA=NO4C=30。，

:.ZAOB=\20°,

AB的長(zhǎng)=""丑=2/r,

180

選C.

12.（4分）如圖，矩形A8C。中，AB=4,4）=2,E為AS的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動(dòng)點(diǎn),P為"'中點(diǎn),

連接P3,則的最小值是（）

A.2B.4C.叵D.272

【解析】如圖:

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P在2處，$=￡><,

當(dāng)點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)P在8處，EP2=DP2,

.?.6E//CE且耳號(hào)=*E

當(dāng)點(diǎn)F在EC上除點(diǎn)C、E的位置處時(shí)，有DP=FP

由中位線定理可知：PtP//CES.P；P=-CF

；.點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段PR,

.?.當(dāng)6時(shí)，心取得最小值

矩形A8C。中，AB=4,A￡）=2,E為相的中點(diǎn),

:.XCBE、MDE.AfiCq為等腰直角三角形，?！?2

ZADE=ZCDE=ZCP.B=45°,ZDEC=90°

ND&R=90°

ZDPtP,=45°

ZP2f>B=90°,即

的最小值為BE的長(zhǎng)

在等腰直角8c［中，CP}=BC=2

.?.期=2及

.?.P3的最小值是2后

選O.

二、填空題（本大題共6小題，滿分24分，只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對(duì)得4分）

13.（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程Y-（2A-l）x+公+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)A的取值

范圍是左<-口.

—4—

【解析】.?.△=（2左一1尸一4（公+3）=-4k+1-12>0,

解得上<-□；

4

答案：k<——■.

4

14.（4分）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個(gè)問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，

稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問金、銀一枚各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃

金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋

比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計(jì)），問黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y

9x=1ly

兩，根據(jù)題意可列方程組為_

(10y+x)-(8x+y)=13-

【解析】設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，由題意得:

［9x=lly

［（10y+x）—（8x+y）=13'

答案?儼="

［（10y+x）-（8x+y）=13，

15.（4分）如圖，NAO3=90。，ZB=30°,以點(diǎn)。為圓心，OA為半徑作弧交AB于點(diǎn)A、點(diǎn)C,交OB

于點(diǎn)O,若。4=3,則陰影都分的面積為-TV.

—4-

【解析】連接0C,作CHLO8于H,

NAOB=90°,/B=30°,

ZOAB=60°,AB=2OA=6,

由勾股定理得，08=JAB?-OA?=36,

OA=OC,ZOAB=60°,

「.AAOC為等邊三角形，

ZAOC=60°,

/.ZCOB=30°,

13

:.CO=CB,CH=-OC=—，

22

rrn曰/4/r7八gKXn604X3?1.1_/T3304x323

???陰影都分的面積=—77^——-x3x3ox^-+-x3V3x-一一——=-

36022223604

答案：力.

4

16.（4分）若二次函數(shù)y=f+法-5的對(duì)稱軸為直線x=2,則關(guān)于x的方程/+公-5=2x-13的解為

內(nèi)=2j_%2=4__.

【解析】二次函數(shù)y=V+區(qū)一5的對(duì)稱軸為直線x=2,

b八

-=2,

2

得b=-4,

貝！If+灰一5=2x-13可化為：x2—4x—5=2x—13,

解得，玉=2,%=4.

故意答案為：％=2,々=4.

17.（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線/:丫=五+1與y軸交于點(diǎn)A，如圖所示，依次作正方形

正方形GA)B2c2，正方形GA87G,正方形C3A1B4C49.......9點(diǎn)A，4，4，Ai*........在直線/上，點(diǎn)

則前〃個(gè)正方形對(duì)角線長(zhǎng)的和是—夜(2"-1)_.

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(。，1)，點(diǎn)4的坐標(biāo)為(1,2),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(7,8),

/.ox,=1,G&=2,GA=4?GA=8,...,

.?.前〃個(gè)正方形對(duì)角線長(zhǎng)的和是：V5(OA+G4+C2A+C3A+~+C,TA,)=&(1+2+4+8+—+2"T),

設(shè)S=l+2+4+8+...+2"T,則2s=2+4+8+...+2"-'+2",

則2S-S=2"-1,

.-.S=2"-1,

.-.1+2+4+8+...+2"-1=2"-1,

.?.前〃個(gè)正方形對(duì)角線長(zhǎng)的和是：72x(2--1),

答案：&(2"-1),

18.(4分)如圖，矩形A8C。中，AB=3娓,BC=12,￡為AD中點(diǎn)，歹為回上一點(diǎn)，將4止尸沿防

折疊后，點(diǎn)A恰好落到CF上的點(diǎn)G處，則折痕所的長(zhǎng)是_2岳

【解析】如圖，連接EC,

四邊形ABC。為矩形，

?.ZA=ZD=90°,BC=AD=\2,DC=AB=3屈,

E為4)中點(diǎn)，

?,.AE=DE=-AD=6

2

由翻折知，/SAEF=AGEF,

;.AE=GE=6,ZAEF=ZGEF,ZEGF=ZEAF=90°=ZD,

/.GE-DE,

二.EC平分NOCG,

/.Z.DCE=ZGCE,

ZGEC=90°-NGCE,ZDEC=90°-ZDCE,

Z.GEC=/DEC,

.?.Z.FEC=ZFEG+NGEC='x180。=90。，

2

?,.ZFEC=/D=90°,

又ZDCE=ZGCE,

AFECsbEDC,

：.-F-E=-E-C-，

DEDC

EC=y/DE2+DC2=而+=府=3M,

FE_3回

...=>

63V6

FE=2A/15,

答案：245.

三、解答題（本大題共7小題，滿分78分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）

19.（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：3一9+三）+3-1-竺二匕，其中“=0.

a+\a+\

【解析】原式=（*+篇）+（磊4?-1

a+1

/一8々+16a2-4a

a+\a+\

_（a-4）2〃+1

a+\〃（〃一4）

_a-4

-------，

a

當(dāng)4=夜時(shí)，

原式=也r=1-2應(yīng).

夜

20.（8分）為弘揚(yáng)泰山文化，某校舉辦了“泰山詩(shī)文大賽”活動(dòng)，從中隨機(jī)抽取部分學(xué)生的比賽成績(jī)，根

據(jù)成績(jī)（成績(jī)都高于50分），繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖表（不完整）：

組別分?jǐn)?shù)人數(shù)

第1組90<工,1008

第2組80<工，90a

第3組708010

第4組60<x,,70b

第5組50<片,603

請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）求出a,8的值；

（2）計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中“第5組”所在扇形圓心角的度數(shù)；

（3）若該校共有1800名學(xué)生，那么成績(jī)高于80分的共有多少人？

【解析】（1）抽取學(xué)生人數(shù)10+25%=40（人），

第2組人數(shù)40x50%-8=12（人），

第4組人數(shù)40x50%-10-3=7（人），

a=12,b=7；

3

（2）360°x—=27°,

40

.-.“第5組”所在扇形圓心角的度數(shù)為27。；

（3）成績(jī)高于80分：1800x50%=900（人），

成績(jī)高于80分的共有900人.

21.(11分)已知一次函數(shù)y=^+8的圖象與反比例函數(shù)y=》的圖象交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)8(5,0),

X

若08=AB,且5⑷產(chǎn)孩?

(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)尸為x軸上一點(diǎn)，A4BP是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解析】(1)如圖1,過點(diǎn)A作AOLx軸于

仇5,0),

/.08=5,

?.—x5xAD=—，

22

AD=3,

OB=AB,

AB=59

在R3ADB中，BD=y/AB2-AD2=4,

/.00=03+80=9,

/.49,3),

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=生中得，機(jī)=9x3=27,

x

.?.反比例函數(shù)的解析式為y=2,

X

(9攵+6=3

將點(diǎn)49,3),8(5,0)代入直線>二丘+6中，「，八

[5%+/?=0

k=-

4

..<,

3

b7=—

/.直線AB的解析式為y=^x--；

(2)由(1)知，AB=5,

AABP是等腰三角形，

.?.①當(dāng)/W=依時(shí)，

PB=5,

.?.尸(0,0)或(10,0),

②當(dāng)鉆=AP時(shí)，如圖2,

由(1)知，BD=4,

易知，點(diǎn)P與點(diǎn)8關(guān)于AD對(duì)稱，

:.DP=BD=4,

.?."=5+4+4=13,P(13,0),

③當(dāng)尸3=A尸時(shí)，設(shè)P(a,0),

A(9,3),8(5,0),

:.AP2=(9-a)2+9,3P2=(5-4,

(9—d)~+9=(5-a)~

65

a=—,

8

0),

8

即：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0)或(10,0)或(13,0)或(①，0).

8

22.(11分)端午節(jié)是我國(guó)的傳統(tǒng)節(jié)日，人們素有吃粽子的習(xí)俗.某商場(chǎng)在端午節(jié)來臨之際用3000元購(gòu)進(jìn)

A、3兩種粽子1100個(gè)，購(gòu)買A種粽子與購(gòu)買B種粽子的費(fèi)用相同.已知A種粽子的單價(jià)是8種粽子單

價(jià)的1.2倍.

(1)求A、3兩種粽子的單價(jià)各是多少？

(2)若計(jì)劃用不超過7000元的資金再次購(gòu)進(jìn)A、8兩種粽子共2600個(gè)，已知A、8兩種粽子的進(jìn)價(jià)不

變.求A種粽子最多能購(gòu)進(jìn)多少個(gè)？

【解析】(1)設(shè)3種粽子單價(jià)為x元/個(gè)，則A種粽子單價(jià)為I.2x元/個(gè)，

根據(jù)題意，得：幽+幽=1100,

x1.2x

解得：x=2.5,

經(jīng)檢驗(yàn)，尤=2.5是原方程的解，且符合題意，

1.2x=3.

答：A種粽子單價(jià)為3元/個(gè)，8種粽子單價(jià)為2.5元/個(gè).

(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)A種粽子加個(gè)，則購(gòu)進(jìn)8種粽子(2600-⑼個(gè)，

依題意，得：3?/+2.5(2600-w)?7000,

解得：/?,,1000.

答：A種粽子最多能購(gòu)進(jìn)1000個(gè).

23.(13分)在矩形中，AE_L8D于點(diǎn)E,點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn).

(1)若BP平分ZABD,交AE于點(diǎn)G,PFLBD于點(diǎn)F,如圖①，證明四邊形AGFP是菱形；

(2)若PELEC,如圖②，求證：AEAB=DEAP-,

(3)在(2)的條件下，若AB=1,BC=2,求AP的長(zhǎng).

【解答】（1）證明：如圖①中,

四邊形A8CO是矩形，

ZBAD=90°,

AE1.BD,

ZAED=90°,

.?.NBAE+NEAD=90。,/LEAD+ZA￡>E=90°,

1.ZBAE=ZADE,

ZAGP=/BAG+ZABG,ZAPD=ZADE+ZPBD,ZABGZPBD,

ZAGP=ZAPG,

AP=AGf

PALAB,PFLBD,BP平分ZABD,

:.PA=PF,

PF=AG,

AE.LBD9PF±BD,

PF//AG,

四邊形AGFP是平行四邊形，

PA=PF,

廠.四邊形4GEP是菱形.

（2）證明：如圖②中，

ZAED=NPEC=90°,

，ZAEP=/DEC,

ZEAD+ZADE=90°,ZADE+ZCDE=90°,

；.NEAP=/EDC,

/.\AEP^\DEC,

AE_AP

'~DE~~DC'

AB=CD,

:.AEAB=DEAP-.

(3)解：四邊形A4C。是矩形，

/.BC=AD=2fNBA。=90。，

:.BD=^AB2+AD2=45，

AE±BD,

.■.SMBD=^BDAE=^ABAD,

32后

5

DE=4AD2-AE2=竽,

AEAB

2指.

-xl

"=5=一

4石2

W

24.(13分)若二次函數(shù)y=ar2+fer+c的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)43,0)、8(0,-2),且過點(diǎn)C(2,-2).

(1)求二次函數(shù)表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)尸為拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且曲=4,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在拋物線上(A8下方)是否存在點(diǎn)使NA8O=ZA8M?若存在，求出點(diǎn)”到y(tǒng)軸的距離；若不

存在，請(qǐng)說明理由.

【解析】(1)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)4(3,0)、3(0,-2)、C(2,-2)

2

a--

9a+3Z?+c=03

<0+0+。=一2解得：

3

4。+2方+c=-2

c=-2

94

??二次函數(shù)表達(dá)式為廣鏟「丁一2

(2)如圖1,設(shè)直線8P交x軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)P作尸。_Lx軸于點(diǎn)￡>

94

設(shè)P”，一產(chǎn)一一r-2)(/>3)

33

24

.?.。0=1,PD=-t2——1-2

33

設(shè)直線族解析式為》=丘-2

把點(diǎn)尸代入得：kt-2=-t2--t-2

33

/.直線BP:y—(―t——)x—2

當(dāng)y=0時(shí)，(：,一；)％—2=0,解得：x~~~2

3

/.C(——,0)

t-2

t>3

—2>1

<3,即點(diǎn)C一定在點(diǎn)A左側(cè)

t-2

S由=+Si=3AC08+《AC叩=gAC(O8+PD)=4

摔U(2+|Y-2)=4

解得：：=4,t2=-1（舍去）

4_3.2工16-10

——2=—

33333

.??點(diǎn)P的坐標(biāo)為%）

（3）在拋物線上（A8下方）存在點(diǎn)"，使NA8O=NA3M.

如圖2,作點(diǎn)。關(guān)于直線A3的對(duì)稱點(diǎn)石，連接。后交于點(diǎn)G,連接8石交拋物線于點(diǎn)M,過點(diǎn)E作

即，y軸于點(diǎn)尸

二.AB垂直平分。石

BE=OB,OG=GE

ZABO=ZABM

A(3,0)、B(0,-2),/AOB=90°

/.OA=3,OB=2,AB=4o^+O^=x[Vi