專題09多面體的外接球和內(nèi)切球-高中數(shù)學(xué)必備考試技能之二級(jí)結(jié)論提高速度(解析版)

因?yàn)镾A2，所以正方體SADBCEFG的體對(duì)角線長(zhǎng)為SF3SA23，所以，正三棱錐SABC的外接球的直徑2R23，所以，正三棱錐SABC的外接球的表面積是S4R2R1222，本題先推導(dǎo)出SA、SB、SC兩兩垂直，然后將正三棱錐SABC補(bǔ)成正方體SADBCEFG，計(jì)算出正方體SADBCEFG的體對(duì)角線長(zhǎng)，即為三棱錐SABC的外接球直徑，利用球體的表面積公式可得結(jié)果.求空間多面體的外接球半徑的常用方法：反思①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可.針對(duì)訓(xùn)練*舉一反三1．已知三棱錐SABC外接球的球心在線段上，若ABC與SBC均為面積是43的等邊三角形，則三棱錐SABC外接球的體積為（OSA）8231623322642D．3A．B．C．3【答案】D【詳解】由題意知，OAOSOBOCR（R為三棱錐SABC外接球半徑)，ABC與SBC1均為面積是43的等邊三角形，設(shè)邊長(zhǎng)為ABACBCSBSC42a，則有2a3a43，所以a2，2OSAOCSA,,SAC是等腰三角形，又為的中點(diǎn)，OA2OC2R2R2AC242R22,2642.44223VR33332O2．已知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球面上，圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，面積為3O，則球的3表面積等于（）818121218121A．B．C．D．82【答案】A2r2l3l3【詳解】設(shè)圓錐母線為，底面半徑為，則lrr1，如圖，ABC是圓錐軸截面，，解得13l23r122，sinABCl3cosABCOR外接圓是球的大圓，設(shè)球半徑為，，3lsinABC223922R2928192，R，所以球表面積為S4R42．488833．為了給數(shù)學(xué)家帕西奧利的《神奇的比例》畫插圖，列奧納多·達(dá)·芬奇給他繪制了一些多面體，如圖的多3面體就是其中之一.它是由一個(gè)正方體沿著各棱的中點(diǎn)截去八個(gè)三棱錐后剩下的部分，這個(gè)多面體的各棱長(zhǎng)均為2，則該多面體外接球的體積等于（）16π332π3A．16πC．D．B．8π【答案】D【詳解】如圖，把該多面體補(bǔ)形為正方體，由所給多面體的棱長(zhǎng)為2，得正方體的棱長(zhǎng)為22，正方體的中心即為22222，即所求外接球的半徑R2，其體多面體的外接球球心，球心到多面體頂點(diǎn)的距離為積V4πR332π.334．已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，高為，球的體積為86，則這個(gè)正四棱柱h的側(cè)面積的最大值為（）A．482B．242C．962D．122【答案】B4R386，解得R6R【詳解】設(shè)球的半徑為，則.如圖，正四棱柱底面對(duì)角線BD2a，在3RtDDB中，由(2a)2h2(2R)24R2，(2a)2h22422ah，ah62，則側(cè)面積4S4ah242，即側(cè)面積的最大值為242.5．長(zhǎng)方體ABCDABCD各頂點(diǎn)都在球面上，OAB:AD:AA1:1:2，A,B兩點(diǎn)球面距離m1A，、1111m，則n值（兩點(diǎn)球面距離nD1）1233A．B．C．D．23【答案】C【解析】如圖所示：AA2a1設(shè)AB=a，則ADa，球的直徑2Raa2a2a，即Ra，則OAB是等邊222三角形m2a1a，在AOD中，OAODa，AD3a，AOD120n2a116331111m1故n2.O26．已知球與棱長(zhǎng)為的正方體ABCDABCD的各面都相切，則平面ACB截球所得的截面圓與球O11111O心所構(gòu)成的圓錐的體積為（）323273D．54239A．C．B．18【答案】C5ABCDABCD的各面都相切，所以球O為正方體O2【解析】因?yàn)榍蚺c棱長(zhǎng)為的正方體11112222322ABCDABCD1的內(nèi)切球，則球O的半徑r1，球心O到A的距離為OA111223，所以平面22ACB為等邊三角形，所以球心O到平面ACB的距離為d36底面3311236OACB截球所得的截面圓的半徑為113，所以圓錐的體積為2326323，所以選C1V333277．在四棱錐SABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，SAD是正三角形，且側(cè)面SAD底面ABCDC.若點(diǎn)，A，B，，都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為_________.SD28【答案】3【詳解】由題意，可將該四棱錐補(bǔ)形為正三棱柱SADPBC，則該四棱錐的外接球即為正三棱柱SADPBCO的外接球，記球心為，分別取BC、AD的中點(diǎn)為、；分別記SAD與PBCHGSF，PE，HG，EF的外接圓圓心為、，連接SHSF221223，HG//AB且HGAB2，22因?yàn)镾AD與PBC都是正三角形，所以333O根據(jù)球的性質(zhì)，以及正棱柱的結(jié)構(gòu)特征可得，球心必在HG上，且O為HG的中點(diǎn)，連接OS，2728則外接球的半徑為OSOH2SH2174，因此，外接球的表面積為4.33334π8．已知正三棱錐PABC內(nèi)接于半徑為2的球，且扇形OPA的面積為3，則正三棱錐PABC的體O積為______．6934【答案】4π【詳解】設(shè)底面ABC的中心為O，平面PAO如圖所示，由扇形OPA的面積為3，OAOP2，所以2ππ3，所以O(shè)A3，OO1，所以正三棱錐PABCPOA，所以AOOPO3，的高為31939393ABC的面積為，因此體積為3344底面．49．已知邊長(zhǎng)為1的正ABCO的三點(diǎn)都在球的球面上，AOS的延長(zhǎng)線與球面的交點(diǎn)為，若三棱錐2SABC的體積為O，則球的體積為___________.64【答案】3AO1的延長(zhǎng)線與D，設(shè)SDhRABC，設(shè)球心為，球的半徑，過三點(diǎn)O【詳解】作SD平面ABC交O1OO1O平面ADS，1ABCSD//OO，由O平面SDA，得，所以1，則平面的小圓的圓心為，由正弦定理得AOAC3，OAD，又AOOSR，所以AODO且1112sin6031321，∴三棱錐SABC高SD2OO，∵ABCOOR2R2是邊長(zhǎng)為1的正三角形，331123462,h1326，3，∴S!ABC3，∴V4h三棱錐SABC的體積為6三棱錐SABC443，126∴2R2，∴R1，則球的體積為O313337ABCDABCD1AD內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球O，過正方體中兩條互為異面直線的AB，的10．棱長(zhǎng)為1的正方體11111中點(diǎn)P,Q作直線，該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長(zhǎng)為_______.2【答案】2D【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,所以球心11111222P1,,0,Q,0,126OPOQ2,PQ,