數(shù)學實驗6的學習課件

數(shù)學實驗6的學習課件第1頁/共31頁6.1古典概率定義定義假設某一實驗滿足下面的條件：

(1)它的全部可能結果只有有限個，設此數(shù)為N;(2)每個結果等可能出現(xiàn)，則一個恰好包含M個結果的事件A的概率定義為

P(A)=M/N甲、乙兩位棋手棋藝相當?，F(xiàn)在他們在一項獎金為1000元的比賽中相遇，比賽為五局三勝制。已經進行了三局的比賽，結果為甲二勝一負?，F(xiàn)因故停止比賽，問如何分配這1000元比賽獎金才算公平？第2頁/共31頁平均分配對甲欠公平，完全歸甲則對乙欠公平。那么合理的分法是按一定的比例分配而甲拿大頭。一種看起來合理的分法是按已勝局數(shù)份，即甲拿2/3，乙拿1/3。這種分法合理嗎？下面，在甲乙已經兩勝一負的基礎上，我們在計算機上模擬兩位棋手以后的比賽，計算他們應得到的獎金。由于兩位棋手棋藝相當，可假定他們在每一局的比賽中勝負機會各半。用產生0、1的隨機函數(shù)Random[Integer]來決定?？捎?表示甲勝，0表示乙勝。第3頁/共31頁第4頁/共31頁關于概率古典定義的幾個模擬實驗1).列舉出同時拋擲三顆骰子的所有可能結果，比較擲出點數(shù)和為9與和為10，何者更容易。2).利用概率古典定義計算在拋擲一對骰子的實驗中，哪種點數(shù)和出現(xiàn)的概率最大，那種點數(shù)和出現(xiàn)的概率最??？3).計算下列兩事件的概率大?。簰佀拇西蛔又辽儆幸淮纬霈F(xiàn)一點；拋擲一對骰子24次至少有一次出現(xiàn)兩個一點。

第5頁/共31頁第6頁/共31頁第7頁/共31頁Thenumberofsum2is1Thenumberofsum3is2Thenumberofsum4is3Thenumberofsum5is4Thenumberofsum6is5Thenumberofsum7is6Thenumberofsum8is5Thenumberofsum9is4Thenumberofsum10is3Thenumberofsum11is2Thenumberofsum12is1第8頁/共31頁幾何概率在平面上的區(qū)域[-1，1]×[-1，1]中隨意的選取一點，問“選取的點落在單位圓內“這個事件A的概率是多少？因為正方形內包含無限多個點，古典概率定義無法使用。于是，我們把“等可能性”概念安本問題的特點引申一下：正方形內相同的面積具有同樣的概率。因此可以算出事件A的概率為P(A)=Pi/4這樣算出的概率稱為“幾何概率”，因為它是基于幾何圖形的面積、體積、長度等算出來的。第9頁/共31頁計算實驗二的蒲豐隨機擲針試驗中，針與線相交的概率設針的中點與最近直線的距離為ｘ和針與直線的夾角為ｙ．則當針與最近直線相交時有

在單位圓內隨意的取一條弦，問“弦長超過該圓內接等邊三角形的邊長”這一事件的概率是多少？因為每一條弦的中點和圓的中心連線都和該弦垂直，由此規(guī)則，每個點可以確定一條弦。這樣我們只需要隨機選取一個點就等于選取了一條弦。第10頁/共31頁6.2概率的統(tǒng)計定義以骰子為例，定義古典概率時，要假定：（1）骰子的質料絕對均勻；（2）骰子是絕對的正方體；（3）擲骰子時離地面有充分的高度。實際中不可能達到上述要求。通過試驗得到事件A1的概率：設反復投擲大量骰子的次數(shù)為ｎ次，若在這次拋擲中一點發(fā)生了m1次，則稱m1/n為A1這個事件在這ｎ次試驗中的頻率。，概率的統(tǒng)計定義就是將m1/n作為事件A1的概率P(A1)的估計。第11頁/共31頁背景：當一個事件發(fā)生的可能性大（?。r，如果在同樣條件下反復重復這個實驗時，則該事件發(fā)生的頻繁程度就大（?。?。對于任何一組實驗，頻率不會恒等于一個數(shù)，但是對幾乎任何一組實驗，當ｎ趨于無窮時，頻率m1/n趨向同一個數(shù)。p是區(qū)間[0,1]內任一實數(shù),在該區(qū)間內取隨機數(shù)λ，則λ≤p的概率應等于p。取n(=100,

1000,10000)個這樣的λ,計算λ≤P的次數(shù)m，看m/n是否接近于p。

第12頁/共31頁(2)利用概率的統(tǒng)計定義，通過計算機模擬本實驗練習２中的(1)--(3)。(3)利用例2的結果和概率的統(tǒng)計定義，通過計算機模擬估計π的值。

(4)用計算機進行下面的模擬：(i)在線段[0,1]中隨機地取一點，共取n次。(ii)將該線段n等分，計算個小線段中含有的點數(shù).(iii)計算小線段中恰含k(k取0,1,2,3,4,5)的概率。第13頁/共31頁第14頁/共31頁第15頁/共31頁第16頁/共31頁6.3二項分布與Poisson分布對于一個隨機變量Ｘ，它取一個值ｘ就對應于某個事件，對于此事件就有一個概率值p(x),它是x的一個函數(shù)，我們稱它為隨機變量Ｘ的概率分布?？紤]如下問題：將一枚硬幣投擲5次，恰好等到2次國徽向上的概率是多少？投擲一顆骰子9次，恰好等到4個2點的概率是多少？盒中有2個紅球和3個白球，有放回地隨機取6次，恰好有2次取到紅球的概率是多少？

第17頁/共31頁上面的幾個問題都是下面這個問題的特例：設某事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為p?，F(xiàn)把這個試驗獨立的重復n次，以X記A在這n次試驗中發(fā)生的次數(shù)，求X恰好為k的概率。A發(fā)生則記為A，不發(fā)生則記為，若X正好等于k，必須在這n次試驗的紀錄中，有k個A,n-k個，每個A有概率p，而每個有概率1-p,又這n次試驗是獨立的，所以每個這樣的紀錄序列出現(xiàn)的概率是pk(1-p)n-k,這樣的序列有個，所以X恰好為k的概率為第18頁/共31頁如果隨機變量X的概率分布具有以上形式，則稱X服從具有參數(shù)(n,p)的二項分布(Binomialdistribution)，記作Ｘ～Ｂ(n,p)。計算機模擬本節(jié)開始提出的三個問題。其中拋硬幣可以用0-1隨機數(shù)模擬；擲骰子可以用1-6的隨機數(shù)模擬；摸球可以用1-5的隨機數(shù)來模擬。對這三個試驗用計算機模擬，看是否和理論值接近？下面用二項分布來導出另一重要分布：Poisson分布。第19頁/共31頁考慮在一定時間內某交通路口所發(fā)生的事故個數(shù)X，求X恰好為k的概率。為方便起見，設所觀察的這段時間為[0,1)，取一個很大的自然數(shù)n，把時間[0,1)分為等長的n段：

I1=[0,1/n),I2=[1/n,2/n),…,Ij=[j-1/n,j/n),…,In=[n-1/n,1)現(xiàn)假定：1.在每段Ij內，恰發(fā)生一次事故的概率，近似的與這段時間的長度成正比，即可取為/n。又假定在n很大因而1/n很小時，在Ij這么短的時間內，要發(fā)生兩次或兩次以上事故是不可能的。因此,在Ij時段內不發(fā)生事故的概率為1-/n.第20頁/共31頁2.I1,

I2,…,In各段內是否發(fā)生事故是相互獨立的。此時，在[0,1)時段內發(fā)生的事故數(shù)X就等于在n個時段I1,

I2,…,In內有事故發(fā)生的時段數(shù)，按1、2的假設，X應該服從二項分布B(n,/n).于是，嚴格講，上式只是一個近似式，因為在假設1中，每個時間段內發(fā)生一次事故的概率只是近似等于/n,當n→∞時，就得到確切答案。因為當n→∞時有第21頁/共31頁

所以如果一個隨機變量X的概率分布具有上式的形式，我們稱X服從具有參數(shù)的Poisson分布，記為X～P().利用本節(jié)的知識解釋本實驗練習3(4)的結果.驗證P(np)與X:B(n,p)當n很大而p很小時,兩者近似,取定p:(i)對很大的n,是否認為X服從P(np);

(ii)對很大的n，取k=20，30，40，50，分別作出kP(np+（i-1）sqrt(n)/k<=X<np+i*sqrt(n)/k)的圖形，進行觀察。

第22頁/共31頁驗證P(np)與X:B(n,p)當n很大而p很小第23頁/共31頁第24頁/共31頁取定p時第25頁/共31頁第26頁/共31頁6.4正態(tài)分布設T是在區(qū)間[0，1]內均勻分布的隨機變量。T連續(xù)取n個值,記為t1,t2,...,計算X=(t1+t2+...+tn-0.5*n)/sqrt(n)為一次試驗，共進行N次,結果記作X1,X2,…,XN.取一個短的區(qū)間長度d，對每一個正實數(shù)x，計算落在區(qū)間[x-d/2,x+d/2]內的Xi的個數(shù)Nx，以Nx/N作為隨機變量X在點x的概率密度f(x)，取足夠大的N和n，計算出足夠多的f(x)