概率之離散隨機(jī)變量

概率之離散隨機(jī)變量第1頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五非等可能事件的概率怎么計算？在概率論中怎么應(yīng)用微積分理論？··········設(shè){Ω，A，P}為隨機(jī)試驗E的概率空間問題一樣本空間Ω中的元素與試驗有關(guān),從數(shù)學(xué)角度看,希望Ω是抽象的集合問題二問題三問題四第2頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五為了全面研究隨機(jī)試驗的結(jié)果,揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性,將隨機(jī)試驗的結(jié)果與實數(shù)對應(yīng)起來,將隨機(jī)試驗的結(jié)果數(shù)量化,引入隨機(jī)變量的概念.在隨機(jī)試驗完成時,人們常常不是關(guān)心試驗結(jié)果本身,而是對于試驗結(jié)果聯(lián)系著的某個數(shù)感興趣.第3頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五隨機(jī)變量的引入實例1在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個球,觀察摸出球的顏色.Ω={紅色、白色}

非數(shù)量將Ω

數(shù)量化可采用下列方法紅色白色第4頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五即有X(紅色)=1,X(白色)=0.這樣便將非數(shù)量的Ω={紅色，白色}數(shù)量化了.第5頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五實例2

拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).S={1，2，3，4，5，6}樣本點本身就是數(shù)量恒等變換且有則有第6頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五拋一枚硬幣，考察正、反面出現(xiàn)的情況，則這樣就把原來有具體含意的樣本空間化為直線上的抽象點集如果令則在上述映射下，新的“樣本空間”為例，而樣本點對應(yīng)關(guān)系為第7頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五設(shè){Ω，A，P}為概率空間是定義在Ω上的單值實函數(shù)，若有定義則稱為隨機(jī)變量注一：自變量是實數(shù)自變量是樣本點因變量是確定的實數(shù)因變量是不確定的實數(shù)普通函數(shù)隨機(jī)變量注二：是隨機(jī)變量是事件

隨機(jī)變量的引入使得所有試驗的樣本空間都是直線上的集合事件直線上的集合利用微積分來研究隨機(jī)現(xiàn)象第8頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五隨機(jī)變量隨著試驗的結(jié)果不同而取不同的值,由于試驗的各個結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率,因此隨機(jī)變量的取值也有一定的概率規(guī)律.(2)隨機(jī)變量的取值具有一定的概率規(guī)律隨機(jī)變量是一個函數(shù),但它與普通的函數(shù)有著本質(zhì)的差別,普通函數(shù)是定義在實數(shù)軸上的,而隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的(樣本空間的元素不一定是實數(shù)).2.說明(1)隨機(jī)變量與普通的函數(shù)不同第9頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五隨機(jī)事件包容在隨機(jī)變量這個范圍更廣的概念之內(nèi).或者說:隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機(jī)現(xiàn)象,而隨機(jī)變量則是從動態(tài)的觀點來研究隨機(jī)現(xiàn)象.(3)隨機(jī)變量與隨機(jī)事件的關(guān)系第10頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五實例3擲一個硬幣,觀察出現(xiàn)的面,共有兩個結(jié)果:若用X表示擲一個硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù),則有即X(e)是一個隨機(jī)變量.第11頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五實例4在有兩個孩子的家庭中,考慮其性別,共有4個樣本點:若用X表示該家女孩子的個數(shù)時,則有可得隨機(jī)變量X(e),第12頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五實例5

設(shè)盒中有5個球(2白3黑),從中任抽3個,則是一個隨機(jī)變量.實例6設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了30次,則是一個隨機(jī)變量.且X(e)的所有可能取值為:且X(e)的所有可能取值為:第13頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五實例7設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手不斷向目標(biāo)射擊,直到擊中目標(biāo)為止,則是一個隨機(jī)變量.且X(e)的所有可能取值為:第14頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五實例8某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過,如果某人到達(dá)該車站的時刻是隨機(jī)的,則是一個隨機(jī)變量.且X(e)的所有可能取值為:第15頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五3.隨機(jī)變量的分類離散型(1)離散型隨機(jī)變量所取的可能值是有限多個或無限可列個,叫做離散型隨機(jī)變量.觀察擲一個骰子出現(xiàn)的點數(shù).隨機(jī)變量X的可能值是:隨機(jī)變量連續(xù)型實例91,2,3,4,5,6.非離散型其它第16頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五實例2若隨機(jī)變量X記為“連續(xù)射擊,直至命中時的射擊次數(shù)”,則X的可能值是:實例3

設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了30次,則隨機(jī)變量X記為“擊中目標(biāo)的次數(shù)”,則X的所有可能取值為:第17頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五實例11

隨機(jī)變量X為“測量某零件尺寸時的測量誤差”.則X的取值范圍為(a,b).實例10隨機(jī)變量X為“燈泡的壽命”.(2)連續(xù)型

隨機(jī)變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個區(qū)間,叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.則X的取值范圍為第18頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五

將一枚硬幣連拋三次，觀察正、反面出現(xiàn)的情況，則樣本空間為考慮事件例定義隨機(jī)變量正面出現(xiàn)的次數(shù)則第19頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五很多試驗產(chǎn)生的結(jié)果本身就是隨機(jī)變量

考察某地區(qū)的日平均氣溫

日平均降水量都是隨機(jī)變量例例電子產(chǎn)品的壽命

是隨機(jī)變量

從一大批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取

件進(jìn)行測試，其測得的次品數(shù)

是一隨機(jī)變量例例某城市的日耗電量

是一隨機(jī)變量注一：通常用大寫字母

等表示隨機(jī)變量,用小寫字母

等表示實數(shù)注二：隨機(jī)變量簡記為第20頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五例

1.1袋中有3只黑球，2只白球，從中任意取出3只球，觀察取出的3只球中的黑球的個數(shù)．我們將3只黑球分別記作1，2，3號，2只白球分別記作4，5號，則該試驗的樣本空間為我們記取出的黑球數(shù)為X，則X的可能取值為1，2，3．因此，X是一個變量．但是，X取什么值依賴于試驗結(jié)果，即X的取值帶有隨機(jī)性，所以，我們稱X為隨機(jī)變量．X的取值情況可由下表給出：第21頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五第22頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五我們定義了隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量的取值情況來刻劃隨機(jī)事件．例如表示至少取出2個黑球這一事件，等等．表示取出2個黑球這一事件；由上表可以看出，該隨機(jī)試驗的每一個結(jié)果都對應(yīng)著變量X的一個確定的取值，因此變量X是樣本空間Ω上的函數(shù)：第23頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五例

1.2擲一顆骰子，令：X：出現(xiàn)的點數(shù)．則X就是一個隨機(jī)變量．它的取值為1，2，3，4，5，6．表示擲出的點數(shù)不超過4這一隨機(jī)事件；表示擲出的點數(shù)為偶數(shù)這一隨機(jī)事件．返回主目錄第24頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五例1.3一批產(chǎn)品有50件，其中有8件次品，42件正品．現(xiàn)從中取出6件，令：X：取出6件產(chǎn)品中的次品數(shù)．則X就是一個隨機(jī)變量．它的取值為0，1，2，…，6．表示取出的產(chǎn)品全是正品這一隨機(jī)事件；表示取出的產(chǎn)品至少有一件這一隨機(jī)事件．第25頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五例

1.4上午8:00～9:00在某路口觀察，令：Y：該時間間隔內(nèi)通過的汽車數(shù)．則Y就是一個隨機(jī)變量．它的取值為0，1，…．表示通過的汽車數(shù)小于100輛這一隨機(jī)事件；表示通過的汽車數(shù)大于50輛但不超過100輛這一隨機(jī)事件．注意Y的取值是可列無窮個！第26頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五例

1.5觀察某生物的壽命（單位：小時），令：Z：該生物的壽命．則Y就是一個隨機(jī)變量．它的取值為所有非負(fù)實數(shù)．表示該生物的壽命大于3000小時這一隨機(jī)事件．表示該生物的壽命不超過1500小時這一隨機(jī)事件．注意Z的取值是不可列無窮個！第27頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五例

1.6擲一枚硬幣，令：則X是一個隨機(jī)變量．說明在同一個樣本空間上可以定義不同的隨機(jī)變量．第28頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五例

1.7擲一枚骰子，在例1.2中，我們定義了隨機(jī)變量X表示出現(xiàn)的點數(shù)．我們還可以定義其它的隨機(jī)變量，例如我們可以定義：等等．第29頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五

用同一支槍對目標(biāo)進(jìn)行射擊，直到擊中目標(biāo)為止,則射擊次數(shù)

是離散型

r.v.離散型r.v非離散型r.v隨機(jī)變量的分類定義散型隨機(jī)變量

將一枚硬幣連拋三次，觀察正、反面出現(xiàn)的情況，定義正面出現(xiàn)的次數(shù)至多可列的取值為故是離散型

r.v例例114查號臺一天接到的呼叫次數(shù)

是離散型

r.v電子產(chǎn)品的壽命

是否是離散型

r.v例問？若僅取有限或可列個值，則稱

為離第30頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五且r.v的所有可能的取值設(shè)

為離散型

r.v,設(shè)所有可能的取值為易知的統(tǒng)計規(guī)律完全由數(shù)列確定定義稱為離散型的分布律離散型隨機(jī)變量的分布律包括兩方面①②r.v取各個值的概率§2.2離散型隨機(jī)變量的概率分布1.離散型隨機(jī)變量及其概率分布第31頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五

將一枚硬幣連拋三次，觀察正、反面出現(xiàn)的情況，記為正面出現(xiàn)的次數(shù),求的分布律的取值為故的分布律為例2.1解,其樣本空間為問分布律有什么特點？全部和為1所有樣本點遍歷一次第32頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五具體寫出，即可得X的分布律：例2.2從1～10這10個數(shù)字中隨機(jī)取出5個數(shù)字，令：X：取出的5個數(shù)字中的最大值．試求X的分布律．解

X的取值為5，6，7，8，9，10．并且第33頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五例2.3將1枚硬幣擲3次，令：X：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差．試求X的分布律．解：X的取值為-3，-1，1，3．并且第34頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為則例2.4第35頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五

設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號燈，每盞信號燈以1/2的概率允許或禁止汽車通過.以X表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數(shù)，求X的分布律.(信號燈的工作是相互獨立的).P{X=3}=(1-p)3p可愛的家園例2.5第36頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五解：

以p

表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則 X的分布律為：Xpk

01234p

(1-p)p

(1-p)2p

(1-p)3p

(1-p)4

或?qū)懗蒔{X=k}=(1-p)kp，k=0,1,2,3

P{X=4}=(1-p)4

以p=1/2代入得：Xpk

01234

0.50.250.1250.06250.0625第37頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五.記解

一球隊要經(jīng)過四輪比賽才能出線.設(shè)球隊每輪被淘汰的概率為記

表示球隊結(jié)束比賽時的比賽次數(shù)，求

的分布律.例2.6可能的取值為通過第輪比賽則代入

求得

的分布律為第38頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五分布律的基本性質(zhì)：①②證②分布律的本質(zhì)特征本質(zhì)特征的含義：離散型r.v的分布律必滿足性質(zhì)①②滿足性質(zhì)的數(shù)列必是某離散型r.v的分布律①②第39頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為解：由隨機(jī)變量的性質(zhì)，得該級數(shù)為等比級數(shù)，故有所以例2.7第40頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五離散型r.v的概率分布規(guī)律相當(dāng)于向位于處的“盒子”中扔球分布律的幾種表示方法解析式法列表法矩陣法想象扔進(jìn)第

個“盒子”的可能性是第41頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五

嚴(yán)格說單點分布并不具有“隨機(jī)性”,視為隨機(jī)變量完全是理論上的需要2.幾種重要的離散型隨機(jī)變量（0）單點分布如果的分布律為則稱服從，其中

為常數(shù)單點分布注單點分布也稱為退化分布某事件發(fā)生的概率為則稱該事件“幾乎處處”發(fā)生例如記為或記為或第42頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五一門課程的考試是“及格”還是“不及格”剛出生的新生兒是“男”還是“女”產(chǎn)品檢驗的結(jié)果是“合格”還是“不合格”射擊結(jié)果是“擊中目標(biāo)”還是“沒有擊中目標(biāo)”（一）（0-1）兩點分布如果的分布律為則稱服從兩點分布,其中為常數(shù)(0-1)分布的實際背景若一個試驗只產(chǎn)生兩個結(jié)果，則可以用服從(0-1)分布的r.v來描述例例例例第43頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五（二）伯努利試驗與二項分布伯努利試驗：只產(chǎn)生兩個結(jié)果的試驗伯努利試驗產(chǎn)生什么樣的隨機(jī)變量？重伯努利試驗：n將伯努利試驗獨立重復(fù)進(jìn)行

次的試驗例2.8某戰(zhàn)士用步槍對目標(biāo)進(jìn)行射擊，記擊中目標(biāo)沒擊中目標(biāo)每射擊一次就是一個伯努利試驗,如果對目標(biāo)進(jìn)行

次射擊,則是一個

重伯努利試驗.例從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個產(chǎn)品進(jìn)行檢驗，記合格不合格每檢驗一個產(chǎn)品就是一個伯努利試驗.

獨立地抽件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗,是否是重伯努利試驗？要求概率保持不變?nèi)绻a(chǎn)品批量很大,可近似看作重伯努利試驗人物介紹伯努利問問第44頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五在伯努利試驗中，令“獨立”是指各次試驗的結(jié)果互不影響令注“重復(fù)”是指在每次試驗中概率保持不變記第次試驗結(jié)果有重伯努利試驗中事件

發(fā)生的次數(shù)則

是一個離散型

r.vquestion問題的分布律是什么？第45頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五①②的取值為發(fā)生次發(fā)生次次獨立試驗中重伯努利試驗中事件

發(fā)生的次數(shù)從選個數(shù)組合相互獨立事件組互不相容第46頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五記從而

的分布律為易知①②定義若的分布律為則稱

服從參數(shù)為

的二項分布,記為特別當(dāng)時就是(0-1)兩點分布，即重伯努利試驗中事件

發(fā)生的次數(shù)

的分布律剛好是牛頓二項展開式的通項第47頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五二項分布的圖形第48頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五

因為元件的數(shù)量很大，所以取20只元件可看作是有放回抽樣一大批電子元件有10%已損壞,若從這批元件中隨機(jī)選取20只來組成一個線路,問這線路能正常工作的概率是多少？實際背景：二項分布產(chǎn)生于n重伯努利試驗解例2.9,記

表示20只元件中好品的數(shù)量，則線路正常第49頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五分析

這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很大,且抽查元件的數(shù)量相對于元件的總數(shù)來說又很小,因而此抽樣可近似當(dāng)作放回抽樣來處理.例2.9第50頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五解第51頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五圖示概率分布第52頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五

保險業(yè)是最早應(yīng)用概率論的行業(yè)之一.保險公司為了估計企業(yè)的利潤，需要計算各種各樣的概率.

若一年中某類保險者里面每個人死亡的概率等于0.005，現(xiàn)有10000個人參加這類人壽保險，試求在未來一年中在這些保險者里面，⑴有40個人死亡的概率;⑵死亡人數(shù)不超過70個的概率.解例2.10記

為未來一年中在這些人中死亡的人數(shù)，則當(dāng)很大時直接計算二項分布的值是很困難的n①用計算機(jī)編程計算②利用第五章介紹的極限定理來計算第53頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五解因此例2.11第54頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中只有一個答案是正確的．某學(xué)生靠猜測至少能答對4道題的概率是多少？解：每答一道題相當(dāng)于做一次Bernoulli試驗，則答5道題相當(dāng)于做5重Bernoulli試驗．例2.11所以第55頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五二項分布中最可能出現(xiàn)次數(shù)的定義與推導(dǎo)則稱為最可能出現(xiàn)的次數(shù)第56頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五

當(dāng)(n+1)p=整數(shù)時,在k=(n+1)p與(n+1)p–1處的概率取得最大值對固定的n、p,P(X=k)的取值呈不對稱分布固定p,隨著n的增大，其取值的分布趨于對稱

當(dāng)(n+1)p

整數(shù)時,在k=[(n+1)p]處的概率取得最大值第57頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五對同一目標(biāo)進(jìn)行300次獨立射擊，設(shè)每次射擊時的命中率均為0.44，試求300次射擊最可能命中幾次？其相應(yīng)的概率是多少？則由題意例2.12因此，最可能射擊的命中次數(shù)為其相應(yīng)的概率為解：對目標(biāo)進(jìn)行300次射擊相當(dāng)于做300重Bernoulli試驗．令：第58頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五

獨立射擊5000次,命中率為0.001,解

(1)k=[(n+1)p]=[(5000+1)0.001]=5求(1)最可能命中次數(shù)及相應(yīng)的概率；(2)命中次數(shù)不少于1次的概率.例2.13(2)令X表示命中次數(shù),則X~B(5000,0.001)

本例啟示小概率事件雖不易發(fā)生，但重復(fù)次數(shù)多了，就成大概率事件.第59頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五如果隨機(jī)變量X的分布律為則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的Poisson分布．（三）泊松分布第60頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五分布律的驗證⑴由于可知對任意的自然數(shù)k，有⑵又由冪級數(shù)的展開式，可知所以是分布律．第61頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五在某個時段內(nèi)：大賣場的顧客數(shù)；某地區(qū)撥錯號的電話呼喚次數(shù)；市級醫(yī)院急診病人數(shù)；某地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù).①②③④⑤一個容器中的細(xì)菌數(shù)；一本書一頁中的印刷錯誤數(shù)；一匹布上的疵點個數(shù)；⑥⑦⑧應(yīng)用場合放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)；第62頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的Poisson分布，且已知解：隨機(jī)變量X的分布律為由已知例2.13得由此得方程得解所以，第63頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五例2.14第64頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五解：設(shè)B={此人在一年中得3次感冒}則由Bayes公式，得第65頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五Poisson定理證明：第66頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五對于固定的k，有第67頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五所以，第68頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五Poisson定理的應(yīng)用由Poisson定理，可知第69頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.012，現(xiàn)射擊600次，求至少命中3次目標(biāo)的概率（用Poisson分布近似計算）．解：設(shè)B={600次射擊至少命中3次目標(biāo)}

進(jìn)行600次射擊可看作是一600重Bernoulli試驗.例2.15所以，第70頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五為了保證設(shè)備正常工作，需配備適量的維修工人，現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下，一臺設(shè)備的故障可有一人來處理.問至少需配備多少工人，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01？

解：設(shè)需配備

N

人，記同一時刻發(fā)生故障的設(shè)備臺數(shù)為X，則X~b(300，0.01），需要確定最小的

N

的取值，使得：例2.16第71頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五查表可知，滿足上式的最小的N是8,因此至少需配備8個工人。第72頁，共83頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)有80臺同類型的設(shè)備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺設(shè)備的故障能由一個人處理.考慮兩種配備維修工人的方法：