高數(shù)微分方程d10習(xí)題課

例1.求下列方程的通解提示:(1)故為分離變量方程:通解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束方程兩邊同除以x

即為齊次方程,令y=ux,化為分離變量方程.調(diào)換自變量與因變量的地位,用線性方程通解公式求解.化為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束方法1

這是一個(gè)齊次方程.方法2

化為微分形式故這是一個(gè)全微分方程.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(伯努利方程)例2解原方程可化為代入原方程得分離變量?jī)蛇叿e分所求通解為解原式可化為原式變?yōu)閷?duì)應(yīng)齊方通解為一階線性非齊方程伯努利方程例3代入非齊方程得原方程的通解為例4

求的通解解

原方程可化為

這是一階線性方程,從而例5.解代入方程，得故方程的通解為解：以y=ex代入方程得

例6

設(shè)y=ex是微分方程xy′+p(x)y=x的一個(gè)解，求此微分方程滿足條件y|x=ln2=0的特解.

由此解得代入原方程得即由求解公式由y|x=ln2=0，得特解：例7當(dāng)x>0時(shí)求連續(xù)函數(shù)，使下式成立：

解：當(dāng)x>0時(shí)，令u=xt，則(1)式變?yōu)榧磧啥藢?duì)x求導(dǎo)

整理

通解為

例8設(shè)f(x)在x>0時(shí)連續(xù)，且有這里x>0，y>0，求f(t)。令y=1，上式變形為由于f(x)當(dāng)x>0時(shí)連續(xù)，所以(2)右端對(duì)x可導(dǎo)，進(jìn)而左端對(duì)x可導(dǎo)，于是有解：由題設(shè)，（1）式兩端可對(duì)y求偏導(dǎo)：即xf’(x)=3解得

f(x)=3lnx+C

再由f(1)=3得C=3f(x)=3lnx+3

例9.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)F(x)＝f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(－∞,+∞)內(nèi)滿足以下條件:(1)求F(x)所滿足的一階微分方程;(2)求出F(x)的表達(dá)式.解:(1)所以F(x)滿足的一階線性非齊次微分方程:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)由一階線性微分方程解的公式得于是(03考研)三、通過簡(jiǎn)單變換求解微分方程舉例

齊次方程：令，化為可分離變量的微分方程。

一階線性非齊次方程：常數(shù)變易法，令

伯努利方程：令

，

另外一些通過簡(jiǎn)單變換求解的方程舉例如下:解代入原方程例10

用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:原方程的通解為解分離變量法得所求通解為例11.求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy,得(分離變量方程)原方程化為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束令y=ut(齊次方程)令t=x–1,則可分離變量方程求解(2)化方程為四、解微分方程應(yīng)用問題利用共性建立微分方程,利用個(gè)性確定定解條件.關(guān)鍵問題是正確建立數(shù)學(xué)模型,要點(diǎn):例12.

已知某曲線經(jīng)過點(diǎn)(1,1),軸上的截距等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo),求它的方程.提示:

設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)為M(x,