初三數(shù)學(xué)上冊期末考點練習(xí)復(fù)習(xí)

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點和圓的位置關(guān)系

知識點一點和圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定

點在圓外點在圓的外部d>ro點P在0。的外部.

點在圓上點在圓周上d=r=點P在O。的圓周上.

點在圓內(nèi)點在圓的內(nèi)部d<r0點P在。。的內(nèi)部.

典例1（2018?滿城縣期中）如圖，在△ABC中，NC=90°,AB=4,以C點為圓心，2為半徑作。C,則AB

的中點0與。C的位置關(guān)系是（）

A.點0在。C外B.點0在。C上C.點0在。C內(nèi)D.不能確定

【答案】B

【詳解】解：連接0C,由直角三角形斜邊上的中線為斜邊的一半，可得：

1

0C=-AB^r,故點0在。C上，

故選B.

【名師點睛】要確定點與圓的位置關(guān)系，主要確定點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系，本題可直角三角形

斜邊上的中線為斜邊的一半算出點與圓心的距離d,則d>r?時，點在圓外；當(dāng)d=i"時，點在圓上；當(dāng)d〈r時,

點在圓內(nèi).

典例2（2016?邯鄲市期末）Rt^ABC中，ZC=90°,AC=2,BC=4,如果以點A為圓心，AC為半徑作0A,

那么斜邊中點D與。A的位置關(guān)系是（）

A.點D在0A外B.點D在。A上C.點D在。A內(nèi)D.無法確定

【答案】A

【解析】根據(jù)勾股定理求得斜邊4B=Rm=2k，

則力。=V5,

V5>2,

點在圓外.

故選A.

典例3（2019?雨花臺區(qū)期末）已知點A在半徑為r的。。內(nèi)，點A與點0的距離為6,則r的取值范圍是

（）

A.r<6B.r>6C.r26D.rW6

【答案】B

【詳解】?.?點4在半徑為r的。。內(nèi)，

04小于r,

而。4=6,

r>6.

故選:B.

【名師點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已

知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系.

知識點二三點定圓的方法

1）經(jīng)過點4的圓：以點A以外的任意一點。為圓心，以。4的長為半徑，即可作出過點4的圓，這樣的圓有無

數(shù)個.

）

2）經(jīng)過兩點4、8的圓：以線段4B中垂線上任意一點。作為圓心,以。4的長為半徑，即可作出過點4、B的

圓，這樣的圓也有無數(shù)個.

3）經(jīng)過三點時:

情況一：過三點的圓：若這三點4、B、C共線時，過三點的圓不存在；

情況二：若4、B、C三點不共線時，圓心是線段4B與BC的中垂線的交點，而這個交點。是唯一存在的，這

樣的圓有唯---個.

三點定圓的畫法：

1）連接線段AB,BC。

2）分別作線段AB,BC的垂直平分線。兩條垂直平分線交點為0,此時0A=0B=0C,于是點0為圓心，以0A為

半徑，便可作出經(jīng)過A、B、C的圓，這樣的圓只能是一個。

定理：不在同一直線上的三點確定一個圓.

典例1（2017?天橋區(qū)期末）小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為配到與原來大

小一樣的圓形玻璃，小明帶到商店去的一塊玻璃碎片應(yīng)該是（）

A.第①塊B.第②塊C.第③塊D.第④塊

【答案】B

【詳解】由圖可得小明帶到商店去的一塊玻璃碎片應(yīng)該是第②塊，故選B.

【名師點睛】本題是確定圓的條件的基礎(chǔ)應(yīng)用題，在中考中比較常見，一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，

難度一般.

典例2（2019?慈溪市期末）數(shù)學(xué)課上，老師讓學(xué)生尺規(guī)作圖畫RtaABC,使其斜邊AB=c，一條直角邊BC=a.小

明的作法如圖所示，你認為這種作法中判斷/ACB是直角的依據(jù)是（）

B.直徑所對的圓周角是直角

C.勾股定理的逆定理

D.90°的圓周角所對的弦是直徑

【答案】B

【解析】由作圖痕跡可以看出0為AB的中點，以0為圓心，AB為直徑作圓，然后以B為圓心BC=a為半徑

花弧與圓0交于一點C,故NACB是直徑所對的圓周角，所以這種作法中判斷NACB是直角的依據(jù)是：直徑

所對的圓周角是直角.

故選：B.

【考點】作圖一復(fù)雜作圖；勾股定理的逆定理；圓周角定理.

知識點三三角形的外接圓

1）經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做

三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形.

2）三角形外心的性質(zhì)：

①三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點，它到三角形各頂點的距離相等；

②三角形的外接圓有且只有一個，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內(nèi)接三角形卻有無

數(shù)個，這些三角形的外心重合.

3）外接圓圓心和三角形位置關(guān)系：

1.銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部（如圖1）；

2.直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半，如圖2）；

3.鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部（如圖3）.

AAA

典例1（2018?濱河新區(qū)期末）邊長為1的正三角形的外接圓的半徑為（）

A.-B.—C.—D.更

2236

【答案】C

【詳解】如圖所示，連接OB,OC,過0作ODLBC；

VAABC是正三角形，

二/!?0€=唔=120°,

V0B=0C,

AZB0D-^=60°,

1l

“c八BD7V3

.../0BD=30。，OB=—=i=T,

2

故選c.

【名師點睛】解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造與外接圓半徑相關(guān)的直角三角形.

典例2有下列四個命題：①直徑是弦；②經(jīng)過三個點一定可以作圓；③三角形的外心到三角形各頂點的距

離都相等；④半徑相等的兩個半圓是等弧.其中正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【解析】解答：解：①經(jīng)過圓心的弦是直徑，即直徑是弦，弦不一定是直徑，故正確;

②當(dāng)三點共線的時候，不能作圓，故錯誤；

③三角形的外心是三角形三邊的垂直平分線的交點，所以三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等，故

正確；

④在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧是等弧，所以半徑相等的兩個半圓是等弧，故正確.

故選B.

典例3（2019?重慶市期中）如圖，0是△ABC的外心，則41+42+43=（）

【答案】C

【詳解】如圖,

,:OA—OB,

z.3=Z.4,

同理，z.1=z.5,z.2=z.6,

???43+44+N1+45+42+46=180°,

41+42+43=90°,

故選C.

【名師點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握三角形的外接圓的概念，三角形內(nèi)角和定理是解

題的關(guān)鍵.

知識點四反證法

反證法：首先假設(shè)某命題結(jié)論不成立（即假設(shè)經(jīng)過同一條直線上的三個點可以作一個圓），然后推理出與定

義、已有定理或已知條件明顯矛盾的結(jié)果，從而下結(jié)論說原假設(shè)不成立，原命題得證。

典例1（2018?古田縣期中）已知：在AHBC中，AB^AC,求證：48力4c.若用反證法來證明這個結(jié)論，

可以假設(shè)（）

A.Z-A=Z-BB.AB=BCC.乙B=ZCD.Z-A—Z.C

【答案】c

【詳解】已知：在AABC中，AB^AC,求證：NBKNC.若用反證法來證明這個結(jié)論，可以假設(shè)48=NC,

由“等角對等邊“可得AB=AC,這與已知矛盾，所以NBKNC.

故選：C

【名師點睛】本題考核知識點：反證法.解題關(guān)鍵點：理解反證法的一般步驟.

典例2（2019?乳山市期末）用反證法證明“a>b”，對于第一步的假設(shè)，下列正確的是（）

A.a<bB.aRbC.a<bD.a=b

【答案】C

【詳解】解：根據(jù)題意，判定與a?b相矛盾的判斷是a<b，故答案為C

【名師點睛】此題主要考查對反證法的概念的理解，熟練掌握內(nèi)涵，即可解題.

鞏固訓(xùn)練

一、單選題（共10小題）

1.（2019?臨清市期末）。。的半徑為5cm,1是線段冰的中點，當(dāng)好7cm時，點/與。。的位置關(guān)系是

（）

A.點4在。。內(nèi)B.點/在上C.點/在外D.不能確定

【答案】A

【詳解】V0P=7cm,A是線段OP的中點，

.,.0A=3.5cm,.小于圓的半徑5cm,

二點A在圓內(nèi).

故選A.

【名師點睛】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系，根據(jù)0P的長和點A是0P的中點，得到0A=3.5cm,小于圓

的半徑相等，可以確定點A的位置.

2.（2019?合肥市期中）如圖，王大伯家屋后有一塊長12m,寬8m的矩形空地，他在以長邊BC為直徑的半

圓內(nèi)種菜，他家養(yǎng)的一只羊平時拴在A處的一棵樹上，為了不讓羊吃到菜，拴羊的繩長最長為（）

【詳解】解：連接0A,交半圓。于E點,

在RtZ\OAB中,0B=6,AB=8,

所以0AROB2+4B2

=10；

又0E=0B=6,

所以AE=OA-OE=4.

因此選用的繩子應(yīng)該不大于4m,

故選：B.

【名師點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，確定點到半圓的最短距離是難點.熟練運用勾股定理.

3.(2018??？谑衅谀?設(shè)P為。。外一點，若點P到。0的最短距離為3,最長距離為7,則。。的半徑為

()

A.3B.2C.4或10D.2或5

【答案】B

【詳解】解：:下為。。外一點，若點P到。0的最短距離為3,最長距離為7,

二。0的直徑為：7-3=4,

的半徑為2,

故選：B.

【名師點睛】本題考查點和圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

4.（2019?重慶市期中）已知。。的直徑為10,點A在圓內(nèi)，若0A的長為a,則a應(yīng)滿足（）

A.0<a<5B.a<5C.0<a<10D.a<10

【答案】A

【詳解】：。。的直徑為10,

二。。的半徑長為5,

:點4在圓內(nèi)，

二。4的長a的取值范圍為：0Wa<5,

故選A.

【名師點睛】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系，熟知點與圓的三種位置關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

5.（2019?連云港市期末）如圖，在矩形中，AB=4,AD=3,若以4為圓心，4為半徑作。A下

列四個點中，在。4外的是（）

J-----------

A.點4B.點BC.點CD.點。

【答案】C

【詳解】解：如下圖，連接AC,

?.?圓A的半徑是4,AB=4,AD=3,

...由勾股定理可知對角線AC=5,

/.D在圓A內(nèi)，B在圓上,C在圓外，

故選C.

【名師點睛】本題考查了圓的簡單性質(zhì)，屬于簡單題，利用勾股定理求出AC的長是解題關(guān)鍵.

6.（2018?降化縣期末）如圖，一圓弧過方格的格點A、B、C,在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點A的坐

標(biāo)為（-3,2）,則該圓瓠所在圓心坐標(biāo)是（）

A.(0,0)B.(-2,1)C.(-2,-1)D.(0,-1)

【答案】C

【解析】如圖：分別作AC與AB的垂直平分線，相交于點0,

?點A的坐標(biāo)為（-3,2）,

二點0的坐標(biāo)為（~2,-1）.

故選C.

7.（2019?湖州市期中）搶凳子是小時候常玩的游戲，人圍成圈將凳子放在中間，主持人開始敲鼓，此時

人圍著凳子按同一方向轉(zhuǎn)圈.當(dāng)敲擊聲停止時，就要搶坐在凳子上，因為凳子數(shù)量少于玩游戲的總?cè)藬?shù)，未

搶坐到凳子上的玩家淘汰下場.現(xiàn)在甲、乙、丙3位同學(xué)準(zhǔn)備玩搶凳子的游戲，誰先搶坐到凳子上誰獲勝如

圖，三人已站定，主持人要在他們中間放一個凳子，為使游戲公平，凳子應(yīng)放在圖中三角形的（）

【答案】D

【詳解】要使游戲公平，那么凳子應(yīng)該到三角形三個頂點的距離相等，所以凳子應(yīng)該放在圖中三角形的外

心.

故選D.

【名師點睛】本題考查了三角形外心的意義，三角形的外心是三角形三條垂直平分線的交點，三角形的外

心到三角形三個頂點的距離相等.

8.（2018?福州市期中）RtZ\4a'中，/右90°,AOZcm,除4c叩，則它的外接圓半徑為（）

A.5B.2.5C.8D.10

【答案】B

【詳解】VZC-900,AC^Zcm,BC=4cm,：.AB=ylAC2+BC2=5an.

?.,△/回是直角三角形，

.?.△/SC的斜邊為它的外接圓的直徑，

二它的外接圓的半徑為2.5cm.

故選B.

【名師點睛】本題考查了直角三角形的外接圓半徑，掌握理解直角三角形的外接圓是以斜邊中點為圓心，

斜邊長的一半為半徑的圓是解題的關(guān)鍵.

9.（2018?福州市期末）若正方形的邊長為a,其內(nèi)切圓的半徑為r,外接圓的半徑為凡則r：〃：a=-

（）

A.1：1：V2B.1：V2:2C.1：V2:1D.72:2:4

【答案】B

【詳解】

作出正方形的邊心距，連接正方形的一個頂點和中心可得到一直角三角形.

在中心的直角三角形的角為360。+4+2=45°,

..?內(nèi)切圓的半徑為p

外接圓的半徑為叵,

2

-'?r：R：a=1：V2；2.

故選B.

【名師點睛】本題考查的知識點是正多邊形和圓，解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，把半徑和邊心距用邊長表

示出來.

10.（2018?眉山市期中）如果一個三角形三邊垂直平分線的交點在三角形外部，那么這個三角形是（）

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.不能確定

【答案】C

【詳解】一個三角形三邊垂直平分線的交點是這個三角形外接圓的圓心，

如果在外部，則這個三角形是鈍角三角形.

故選C.

【名師點睛】本題考查的知識點是線段垂直平分線的性質(zhì)（三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且

這一點到三個頂點的距離相等，解題關(guān)鍵是畫出圖形即可求解.

二、填空題（共5小題）

11.（2018?路北區(qū)期末）已知平面上點P到圓周上的點的最長距離為8,最短距離為4,則此圓的半徑為

【答案】2或6

【詳解】①當(dāng)點在圓外時，

?..圓外一點和圓周的最短距離為4,最長距離為8,

二圓的直徑為8-4=4,

二該圓的半徑是2；

②當(dāng)點在圓內(nèi)時，

?.?點到圓周的最短距離為4,最長距離為8,

圓的直徑=8+4=12,

二圓的半徑為6,

故答案為2或6.

【名師點睛】本題考查了點和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，能根據(jù)已知條件求出圓的直徑是解此題的關(guān)鍵.

12.（2019?惠山區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,以頂點D為圓心作半徑為r的圓，若要求

另外三個頂點A,B,C中至少有一個點在圓內(nèi)，且至少有一個點在圓外，則r的取值范圍是.

【答案】3<r<5.

【解析】根據(jù)勾股定理可求得BD=5,三個頂點A、B、C中至少有一個點在圓內(nèi)，點A與點D的距離最近，點

A應(yīng)該在圓內(nèi)，所以r>3,三個頂點A、B、C中至少有一個點在圓外，點B與點D的距離最遠，點B應(yīng)該在

圓外，所以r〈5,所以r的取值范圍是3<r<5.

13.（2019?臺東市期中）若圓。的半徑是5,圓心的坐標(biāo)是（0,0）,點尸的坐標(biāo)是（一4,3）,則點一與

。。的位置關(guān)系是_______.

【答案】點P在圓上

【詳解】???點P的坐標(biāo)是（-4,3）,

.?.OP"+42=5,

V0P等于圓0的半徑，

.,.點P在圓0上.

故答案為點P在圓0上.

【名師點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已

知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系.

14.（2018?路北區(qū)期末）如圖，O。是2148c的外接圓，乙4=45。，BC=4,則。。的稟律為.

【答案】4夜

【解析】如圖，連接OB,0C.

上45°,二/6彼90°,；.△瞅是等腰直角三角形.

又：於4,二陟Q>50cos45°=2VL二。0的直徑為4&.

故答案為：4夜.

15.（2018?陽谷縣期末）如圖，在AABC中，ZA=60°,。。為aABC的外接圓.如果BC=2/5,那么。0

的半徑為

【答案】2

【詳解】解：連接OC、0B,作ODJ_BC,

ZA=60°,

：.ZB0C=120°,

二ND0C=60°,N0DC=90°,

???℃學(xué)齡=2,

2

故答案為：2.

【名師點睛】此題考查三角形的外接圓與外心，關(guān)鍵是利用圓心角與圓周角的關(guān)系得出NBOC=120。.

三、解答題(共3小題)

16.(2018?路北區(qū)期末)如圖，A,P,B,C是半徑為8的。。上的四點，且滿足ZBAC=NAPC=60°,

(1)求證：AABC是等邊三角形;

(2)求圓心0到BC的距離OD.

【答案】(1)證明見解析(2)4

【解析】解：(1)證明：?；NAPC和NABC是同弧所對的圓周角，...NAPC=NABC。

又?.?在AABC中，ZBAC=ZAPC=60°,Z.ZABC=60",

AZACB=180°-ZBAC-ZABC=180°-60°-60°=60°。

」.△ABC是等邊三角形。

AO為4ABC的外心。

,

，B0平分NABC。AZ0BD=30°...0D=8xi=4(>

(1)根據(jù)同弧所對的圓周角相等的性質(zhì)和已知NBAC=NAPC=60°可得△ABC的每一個內(nèi)角都等于60°,從而

得證。

(2)根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)，得含30度角直角三角形OBD,從而根據(jù)30度角所對邊是斜邊一半

的性質(zhì),得OD=8X：=4

17.(2018?惠山區(qū)期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(0,4)、B(4,4)、C(6,2).

(1)在圖中畫出經(jīng)過A、B、C三點的圓弧所在圓的圓心M的位置；

(2)點M的坐標(biāo)為

與。M的位置關(guān)系.

【答案】(1)見解析；(2)(2,0)；(3)點D在。M內(nèi);

【解析】解：(1)如圖1,點材就是要找的圓心；

(2)圓心"的坐標(biāo)為(2,0).故答案為：(2,0)；

(3)圓的半徑A括722+42=2隗.

名師點睛：本題考查的是點與圓的位置關(guān)系，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及垂徑定理，利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)得到圓心材的

坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

18.（2019?陜西中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC,AD是BC邊上的高。請用尺規(guī)作圖法，求作AABC

的外接圓。（保留作圖痕跡，不寫做法）

【答案】如圖所示見解析.

【詳解】如圖所示，。。即為AABC的外接圓.

【名師點睛】本題考查了尺規(guī)作圖——三角形的外接圓，正確把握三角形外接圓的圓心是三角形三邊垂直

平分線的交點是解題的關(guān)鍵.

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二次函數(shù)和一元二次方程

知識點一二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系

已知二次函數(shù)y的值為加，求相應(yīng)自變量x的值，就是求相應(yīng)一元二次方程的解.

例如：已知二次函數(shù)尸-y+4x的值為3,求自變量x的值.就是求方程3=-*+4立即

x2-4x+3=0）的解。反過來，解方程*-4戶3=0,就是已知二次函數(shù)尸*-4;什3的值為0,求自變

量x的值.

典例1如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是（）

A.-l<x<5B.x>5C.x〈-l且x>5D.xV—1或x>5

【答案】D

【解析】由圖象得：對稱軸是x=2,其中一個點的坐標(biāo)為（5,0）,

二圖象與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（一1,0）o

由圖象可知：ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集,

.,.xV—1或x>5。故選D。

典例2關(guān)于x的方程2加什4=0有兩個不同的實根，并且有一個根小于1,另一個根大于3,

則實數(shù)力的取值范圍為（）

55

A.ui>—B.m<---

22

13

C.m<-2或%>2D.ni>一

6

【答案】A

【詳解】-2mx+4=0有兩個不同的實根,

/.△=4m2-16>0,解得：m>2或ni<-2,

???二次函數(shù)開口向上，有一個根小于1,另一個根大于3,即表明當(dāng)x=l和x=3是都出現(xiàn)在x軸

下方，

l-2m+4<0且9-6m+4<0,解得：m>—,

2

綜上，m>—

2

故選A

典例3根據(jù)下面表格中的對應(yīng)值：

X3.233.243.253.26

ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09

判斷方程ax2+bx+c=0（aW0,a,b,c為常數(shù)）的一個解x的范圍是（）

A.3<x<3.23B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26

【答案】C

【解析】分析：根據(jù)函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點就是方程ax'+bx+cR的根，再根據(jù)

函數(shù)的增減性即可判斷方程ax2+bx+c=0一個解的范圍.

解答：解：函數(shù)y=ax''+bx+c的圖象與x軸的交點就是方程ax^+bx+cuO的根，

函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點的縱坐標(biāo)為0；

由表中數(shù)據(jù)可知：y=0在y=-0.02與y=0.03之間,

對應(yīng)的x的值在3.24與3.25之間即3.24<x<3.25.

故選C.

知識點二拋物線與龍軸的交點情況

2

二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)打、x2,是對應(yīng)一元二次方

程a/+bx+c=0的兩個實數(shù)根.拋物線與X軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的

判別式判定：

①有兩個交點04>00拋物線與％軸相交；

②有一個交點（頂點在％軸上）=d=0Q拋物線與X軸相切；

③沒有交點=4<0=拋物線與％軸相離.

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點的橫坐標(biāo)與一元二次方程ax2+bx+c=0的根關(guān)系：

拋物線y=ax2+bx+c(a^O)一元二次方程ax2+bx+c=0

與X軸的公共點的個數(shù)(aWO)的根的情況

毋-4ac>0有兩個有兩個不相等的實數(shù)根

有一個有兩個相等的實數(shù)根

%4ac<0沒有公共點沒有實數(shù)根

典例1已知二次函數(shù)1一+3-1的圖象與x軸有交點，則m的取值范圍是()

A.mW5B.m22C.m<5D.m>2

【答案】A

【詳解】?：二次函數(shù)y=x2-x+；m-l的圖象與x軸有交點,

4

?.△=(-1)-4X1X(-'-

解得:m<5,

故選A.

典例2二次函數(shù)y=*-6x+/的圖象與x軸有兩個交點，若其中一個交點的坐標(biāo)為(1,0),

則另一個交點的坐標(biāo)為()

A.(-1,0)B.(4,0)C.(5,0)D.(-6,0)

【答案】B

【詳解】解：由二次函數(shù)y=/一6x+m得到對稱軸是直線％=3,則拋物線與％軸的兩個交

點坐標(biāo)關(guān)于直線％=3對稱，

???其中一個交點的坐標(biāo)為(1,0),則另一個交點的坐標(biāo)為(5,0),

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

一、單選題(共10小題)

1.函數(shù)y=ax2+2ax+m(aV0)的圖象過點(2,0),則使函數(shù)值yVO成立的x的取值范圍是()

A.xV-4或x>2B.-4<x<2C.x<0或x>2D.0<x<2

【答案】A

【詳解】拋物線y=ax2+2ax+m的對稱軸為直線x=-|j=-l,

而拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為(2,0),

...拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為(-4,0),

Va<0,

二拋物線開口向下，

...當(dāng)x<-4或x>2時，y<0.

故選A.

【名師點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a,b,c是常數(shù),

aWO)與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

2.二次函數(shù)y=x2-6x+m的圖象與x軸有兩個交點，若其中一個交點的坐標(biāo)為(1,0),則另

一個交點的坐標(biāo)為()

A.(-1,0)B.(4,0)C.(5,0)D.(-6,0)

【答案】B

【詳解】解：由二次函數(shù)y=x2—6x+m得到對稱軸是直線x=3,則拋物線與x軸的兩個交點

坐標(biāo)關(guān)于直線x=3對稱，

...其中一個交點的坐標(biāo)為(1,0),則另一個交點的坐標(biāo)為(5,0),

故選：C.

【名師點睛】考查拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，解題關(guān)鍵是掌握拋物線的對稱性質(zhì).

3.二次函數(shù)y=ax?+bx的圖象如圖所示，若一元二次方程ax'+bx+m-kO有兩個不相等的實數(shù)根，

A.0B.-1C.1D.2

【答案】A

【詳解】一元二次方程ax'+bx+m—1=0有兩個不相等的實數(shù)根，可以理解為y=ax?+bx和

y=l—m有交點，可見1—mV2,...ni〉一1,...m的最小值為0,故答案選A.

【名師點睛】本題主要考查了一元二次方程的基本性質(zhì)，解此題的要點在于理解“ax'+bx+m

—1=0有實數(shù)根，可以理解為y=ax2+bx和y=l—m有交點”這句話的意義.

4.已知m,n(m<n)是關(guān)于x的方程(x-a)(x-b)=2的兩根，若a<b,則下列判斷正確的

是一

A.a<m<b<nB.m<a<n<b

C.a<m<n<dD.m<a<b<n

【答案】D

【詳解】解：：(x-a)(x-b)=2,

，m、n可看作拋物線y=(x-a)(x-b)與直線y=2的兩交點的橫坐標(biāo)，

?拋物線丫=(x-a)(x-b)與x軸的兩交點坐標(biāo)為(a,0),(b,0),如圖，

.,.m<a<b<n.

故選：D.

【名師點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點、根與系數(shù)的關(guān)系；根據(jù)題意得出m、n可看作

拋物線y=(x-a)(x-b)與直線y=2的兩交點的橫坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵.

5.圖(1)是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在圖(1)位置時，拱頂(拱橋洞的最

高點)離水面2m,水面寬4m.如圖(2)建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的關(guān)系式是()

圖(1)

A.y=-2x2B.y=2x2C.y=-1x2D.y=[x2

【答案】C

【解析】拋物線頂點為(0.0),所以設(shè)拋物線方程為y=ax2(a<0);(2,-2)是圖像上的點，

所以一2=aX22,a=—故選C

6.已知一元二次方程1-(x-3)(x+2)=0,有兩個實數(shù)根%和9(xKxJ,則下列判斷正確

的是()

A.-2<X)<X2<3B.x,<-2<3<X2C.-2<X,<3<X2D.X)<-2<x2<3

【答案】B

【詳解】設(shè)y=-(x-3)(x+2),yj=l-(x-3)(x+2)

Vy=0時，x=-2或x=3,

.\y=-(x-3)(x+2)的圖像與x軸的交點為(-2,0)(3,0),

VI-(x-3)(x+2)=0,

，y尸1-(x-3)(x+2)的圖像可看做y=-(x-3)(x+2)的圖像向上平移1,與x軸的交點

的橫坐標(biāo)為X]、X2,

V-K0,

二兩個拋物線的開口向下，

/.X1<-2<3<X2,

故選B.

【名師點睛】本題考查二次函數(shù)圖像性質(zhì)及平移的特點，根據(jù)開口方向確定函數(shù)的增減性是解

題關(guān)鍵.

7.如圖，拋物線y=ax2+bx+c(aH0)與x軸一個交點為(-2,0),對稱軸為直線x=1,則y<0

時x的范圍是()

A.x>4或x<—2B.—2<x<4

C.-2VxV3D.0<x<3

【答案】B

【解析】因為拋物線與x軸的一個交點為(-2,0),對稱軸為直線x=l,所以拋物線另一個與

x軸的交點為(4,0),「.yVO時，一2VxV4.故選B.

8.已知函數(shù)y=(k-3)x?+2x+l的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是()

A.kW4且k#3B.kV4且k#3C.k<4D.kW4

【答案】D

【解析】(1)當(dāng)k=3時，函數(shù)y=2x+l是一次函數(shù)，

,：一次函數(shù)y=2x+l與x軸有一個交點,

(2)當(dāng)k#3時，y=(k-3)x、2x+l是二次函數(shù)，

?二次函數(shù)y=(k-3)x2+2x+l的圖象與x軸有交點，

二b'-4ac^0,

Vb-4ac=2-4(k-3)=-4k+16,

，-4k+1620,；.kW4且kO3,

綜合(1)(2)可知，k的取值范圍是kW4,

故選D.

【名師點睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點及根的判別式，解答此題時要注意分類討論,

不要漏解.

9.如圖，已知二次函數(shù)y=o?+bx+c的部分圖象，由圖象可估計關(guān)于n的一元二次方程

山^+加+。=0的兩個根分別是玉=1-6,x2=

A.-1.6B.3.2

C.4.4D.5.2

【答案】C

【詳解】由拋物線圖象可知其對稱軸為x=3,

又拋物線是軸對稱圖象，

:.拋物線與X軸的兩個交點關(guān)于x=3對稱，

2

而關(guān)于x的一元二次方程ax+bx+c=0的兩個根分別是X”x2,

那么兩根滿足2X3=X,+X2,

而Xt=l.6,

/.X2=4.4.

故選C.

【名師點睛】此題主要利用拋物線是軸對稱圖象的性質(zhì)確定拋物線與x軸交點坐標(biāo)，是一道較

為簡單的試題.

10.已知二次函數(shù)y=x，'一2x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸的一個交點為（-1,0）,則關(guān)于x的

一元二次方程（一2x+m=0的兩個實數(shù)根是（）

A.x,=l,X2=2B.XI=1,X2=3

C.Xi=-1,X2=2D.X1=-1,X2=3

【答案】D

【詳解】將（一1,0）代入y=x‘'-2x+m得，0=1+2+m,

解得m=-3,

則得方程為:X2—2x-3=0,

解得（x+l）（x-3）=0,

X]——1,x2=3.

所以D選項是正確的.

故選：D.

【名師點睛】本題考核知識點：本題考查了拋物線與x軸的交點，要知道，拋物線上的點符合函

數(shù)的解析式，同時要知道一元二次方程的解法.

二、填空題（共5小題）

11.已知二次函數(shù)y=x,-4x+k的圖象的頂點在x軸下方，則實數(shù)k的取值范圍是.

【答案】k<4

【詳解】?..二次函數(shù)y=x?-4x+k中a=l>0,圖象的開口向上，

又1?二次函數(shù)y=x2-4x+k的圖象的頂點在x軸下方，

:.拋物線y=x2-4x+k的圖象與x軸有兩個交點,

?.△>0,即(-4)2-4k>0,

.\k<4,

故答案為：k<4.

【名師點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點問題，由題意得出拋物線與x軸有兩個交點是解

題的關(guān)鍵.

12.已知拋物線y=3x?-4x+c的頂點在x軸上方，則c應(yīng)滿足的條件.

【答案】c>g

【詳解】拋物線y=3x?-4x+c的開口向上，

其頂點的縱坐標(biāo)為：牛M二鏟」個，

4a4X33

由于拋物線的頂點在X軸上方，

所以號>0,

解得：c河,

故答案為：c>:

【名師點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，本題中的拋物線開口向上，因此也可以通過

根的判別式小于0來求解..

13.若函數(shù)y=(a—l)x2—4x+2a的圖象與x軸有且只有一個交點，則a的值為.

【答案】一1或2或1

【解析】：函數(shù)y=(a-l)x2-4x+2a的圖象與x軸有且只有一個交點,

當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時，b2-4ac=16-4(a-l)X2a=0,

解得:a,=-l,a2=2,

當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時，a-l=0,解得：a=l.

故答案為：T或2或L

14.二次函數(shù)丫=ax?+bx+c(a。0)的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線x=-l,與x軸的一

個交點為(1,0),與y軸的交點為(0,3),則方程ax?+bx+c=0(a。0)的解為

【答案】Xi=1,x2=—3

【詳解】解：...拋物線y=ax?+bx+c與x軸的一個交點是(1,0),對稱軸為直線x=T,

二拋物線y=ax?+bx+c與x軸的另一個交點是(-3,0),

.,?方程ax、+bx+c=0(aWO)的解為：Xi=l,x2=-3.

故答案為：Xt=l,X2=-3.

【名師點睛】此題主要考查了拋物線與x軸的交點，正確得出拋物線與x軸的交點坐標(biāo)是解題

關(guān)鍵.

15.如圖為二次函數(shù)y=Gf2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸為直線x=l.若其與x軸一交點為

A(3,0)則由圖象可知，不等式以2+法+0<0的解集是_______.

【答案】-l<x<3

【解析】試題分析：由圖象得：對稱軸是x=l,其中一個點的坐標(biāo)為(3,0)

，圖象與x軸的另一個交點坐標(biāo)為(T,0)

利用圖象可知：

ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集，

/.-l<x<3.

三、解答題(共2小題)

16.已知二次函數(shù)y=2(x—l)(x—m—3)(m為常數(shù)).

(1)求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點；

(2)當(dāng)m取什么值時，該函數(shù)的圖像與y軸的交點在x軸的上方？

【答案】（1）證明見解析；（2）m>-3時，該函數(shù)的圖像與y軸的交點在x軸的上方.

【解析】分析：（1）首先求出與x軸交點的橫坐標(biāo)x1=LX2=m+3,即可得出答案；

⑵求出二次函數(shù)與y軸的交點縱坐標(biāo).根據(jù)交點縱坐標(biāo)大于0即可求出.

詳解：

（1）證明：當(dāng)y=0時，2（x—l）（x—m—3）=0.

解得Xi=1,x2=m+3.

當(dāng)m+3=l,即m=—2時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)m+3Al,即m。一2時，方程有

兩個不相等的實數(shù)根.

所以，不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點.

（2）解：當(dāng)x=0時，y=2m+6,即該函數(shù)的圖像與y軸交點的縱坐標(biāo)是2m+6.

當(dāng)2m+6>0,即m>-3時，該函數(shù)的圖像與y軸的交點在x軸的上方.

【名師點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，熟練掌握拋物線與x軸的交點的證明方法，

求出拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)是解決問題（2）的關(guān)鍵.

17.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aW（））的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題.

（1）寫出方程ax'+bx+c=0的兩個根；

（2）寫出不等式ax'+bx+cX）的解集;

⑶寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍；

⑷若方程ax2+bx+c=k有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍.

【答案】（1）x=l或x=3是方程ax2+bx+c=O的兩個根；（2）l<x<3；（3）當(dāng)x>2時，y

隨x的增大而減??；（4）k<2.

【解析】1）圖中可以看出拋物線與x軸交于（1,0）和（3,0）,

?■?方程ax2+bx+c=0的兩個根為x=l或x=3；

（2）不等式ax?+bx+c>時，通過圖中可以看出：當(dāng)l<x<3時，y的值〉0,

二不等式ax'+bx+cX）的解集為（1,3）；

(3)圖中可以看出對稱軸為x=2,

...當(dāng)x>2時，y隨x的增大而減小;

(4)?..拋物線y=ax，bx+c經(jīng)過(1,0),(2,2),(3,0),

a+b+c=O

[4a+2b+c=2,

9a+3b+c=O

解得：a=—2,b—8,c=—6,

.,.-2x2+8x-6=k,移項得一2x?+8x-6—k=0,

△=64-4(-2)(-6-k)>0,

整理得：16-8k>0,

/.k<2時，方程ax2+bx+c=k有2個相等的實數(shù)根。

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二次函數(shù)圖像和性質(zhì)

知識點一二次函數(shù)的概念

概念：一般地，形如y=aX2+bx+C（a,b,c是常數(shù)，aA0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。

注意：二次項系數(shù)aA0，而b,0可以為零.

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的結(jié)構(gòu)特征：

⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2.

⑵a,b,c是常數(shù)，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項?

典例1下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（）

A.y=x（x+1）B.x2y=l

C.y=2x2-2（x-1）2D.y=x—0.5

【答案】A

【詳解】A、該函數(shù)符合二次函數(shù)的定義，故本選項正確；

B、整理后：y=±,不符合二次函數(shù)形式，故本選項錯誤；

X2

C、整理后，該函數(shù)的自變量的最高次數(shù)是1,屬于一次函數(shù)，故本選項錯誤；

D、該函數(shù)屬于一次函數(shù)，故本選項錯誤.

故選A.

典例2二次函數(shù)y=3x-5x2+1的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為.

【答案】-5、3、1

【詳解】解：二次函數(shù)y=3x-5x?+l的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為-5、3、1.

故答案為：-5、3、1.

典例3（2018春門頭溝區(qū)）已知函數(shù)“+3x為二次函數(shù)，求m的值.

【答案】m=-l

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，列出一個式子即可解決問題.

【詳解】解：由題意：f周一1不°,解得小=一1，

Im24-1=2

m=時，函數(shù)y=（，"-Dx'""+3x為二次函數(shù).

知識點2：二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（重點）

二次函數(shù)的基本表現(xiàn)形式：

①y=ax2；②y=ax2+k；③y=a（%—h）2；@y=a（%—h~）2+k；⑤y=ax2+bx+c.

第一種：二次函數(shù)y=a尤2的性質(zhì)（最基礎(chǔ)）

開口方對稱

a的符號頂點坐標(biāo)性質(zhì)

向軸

%>0時，y隨x的增大而增大；xV0時，y隨％的增

a>0向上（0，0）y軸

大而減??；％=0時，y有最小值0.

%>0時，y隨工的增大而減??；工<0時，y隨工的增

a<0向下（0，0）y軸

大而增大；無=0時，y有最大值0.

第二種：二次函數(shù)丁=ax?+c的性質(zhì)

開口方頂點坐對稱

a的符號性質(zhì)

向標(biāo)軸

%>0時，y隨％的增大而增大；％V0時，y隨工的增

a>0向上（0，C）y軸

大而減??；x=0時，y有最小值c.

%>0時，y隨工的增大而減??；％<0時，y隨工的增

a<0向下（0，。y軸

大而增大；％=0時，y有最大值c.

第三種：二次函數(shù)y=a（x-1）2的性質(zhì)

開口方對稱

a的符號頂點坐標(biāo)性質(zhì)

向軸

%>/i時，y隨％的增大而增大；4<八時，y隨x的增

a>0向上s,0)X=h

大而減??；x=/i時，y有最小值0.

%>無時，y隨工的增大而減??；工<八時，y隨工的增

a<0向下0,o)X=h

大而增大；x=h時，y有最大值0.

第四種：二次函數(shù)丁=a（x-八）2+九的性質(zhì)

開口方對稱

a的符號頂點坐標(biāo)性質(zhì)

向軸

時，y隨匯的增大而增大；八時，y隨工的增

a>0向上(h,k)X=h

大而減??；%=八時，y有最小值攵.

%A時，y隨工的增大而減小；時，y隨工的增

a<0向下(/i,k)X=h

大而增大；X=九時，y有最大值k.

二次函數(shù)y=ax2+bx+c用配方法可化成：

-+k的形式，其中八=一/，人=笠盧?

典例1二次函數(shù)y=-2*-l圖象的頂點坐標(biāo)為()

A.(0,0)B.(0,-1)C.(-2,-1)D.(-2,1)

【答案】B

【詳解】解：,

其圖象關(guān)于y軸對稱，

...其頂點在y軸上，

當(dāng)％=0時，y=—15

所以頂點坐標(biāo)為(0,-1),

故選擇：B.

典例2關(guān)于二次函數(shù)y=(x+2)2的圖像，下列說法正確的是()

A.開口向下B.最低點是(2,0)

C.對稱軸是直線x=2D.對稱軸的右側(cè)部分是上升的

【答案】D

【詳解】對于二次函數(shù)y=0+2)2的圖像，

Va=l>0,所以開口向上，故A錯誤；

最低點是(-2.0),故B錯誤;

對稱軸是直線％=-2,故C錯誤；

對稱軸的右側(cè)部分，y隨x的增大而增大，...是上升的，D正確；

故選D.

典例3拋物線y=-2(%-3)2頂點坐標(biāo)是

A.(2,-3)