一階線性非齊次微分方程求解方法歸類_第1頁(yè)
一階線性非齊次微分方程求解方法歸類_第2頁(yè)
一階線性非齊次微分方程求解方法歸類_第3頁(yè)
一階線性非齊次微分方程求解方法歸類_第4頁(yè)
一階線性非齊次微分方程求解方法歸類_第5頁(yè)
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一階線性非齊次微分方程求解yy一階線性非齊次微分方程dy+P(x)y=Q(x)1叫做一階線性微分方程(因?yàn)樗鼘?duì)于未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)均為一次的)。如果Q(x)不恒等于零，則方程稱為非齊次的。a)a)首先，我們討論式所對(duì)應(yīng)的齊次方程dy+P(x)y=02或dy=P(x)dx其次，我們使用所謂的常數(shù)變易法來求非齊dy=u,ejP(x)dxuP(x)ejP(x)dx得，于是得到非齊次線性方程1的通解寫成兩項(xiàng)之和非齊次通解=齊次通解+非齊次特解3311形如形如dy的區(qū)間上是連續(xù)的.dy+P(x)y=0程(2)稱為與(1)相對(duì)應(yīng)的一階齊次線性方程.方程(1)可用常數(shù)變易法求解,方程(2)可用分離變量法求解.dy+P(x)y=Q(x)yn(n0,1)的方程稱為伯努利方程.它可通過變量代換、常分方程來求解.現(xiàn)提出幾類一階微分方程,并用簡(jiǎn)潔方法進(jìn)行求解.2主要結(jié)果定理1若一階非齊次線性微分方程具有如下則它的證明將方程(4)化為Fn(x)+Fn(x)'y=Q(x)通解為Fn(x)dy+dFn(x)y=Q(x)證畢.推論1若一階非齊次線性微分方程具有如下則它的通F(x)dy+F'(x)y=Q(x)y=1定理2若一階齊次線性微分方程具有如下形yy式則它的通解為C推論2若一階齊次線性微分方程具有如下形式則它的通解為 C(11)nFyQxylnnFy當(dāng)n=1時(shí),其通解為jdlny證明若n=1,方程(12)變?yōu)槌虨榭煞蛛x變量的微分方程.分離變量得 dlny兩邊積分得jdlny此即為方程(15)的通解表達(dá)式.ylnnF(y)dxlnn_1F(y)zln_nF(y),則則它的通解為證明將方程yFn(x)+Fn(x)'y=Q(x)yn的(12)化為Fn(x)dy+dFn(x)y=Q(x)yn,得到n方程兩端,得到ny-nFn(x)dy+dFn(x)y1-n=Q(x)Fn(x)dy1-n+dFn(x)y1-n1-ndxdxzyn1zyn1-n)y-n=

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