專題 一元二次函數(shù)、方程和不等式（講義）（解析版）高考數(shù)學考前易錯題型全排查（講義 課件）（新高考專用）

專題一元二次函數(shù)、方程和不等式易錯點一不等式性質(zhì)應(yīng)用不當易錯點二利用同向相加求范圍出錯易錯點三基本不等式“一正二定三相等”1.忽略“一正”2.忽略“三相等”易錯點四解分式不等式時直接把分母就乘到不等式右邊易錯點五一元二次不等式在區(qū)間D上恒成立錯誤的“統(tǒng)一”法易錯點六解含參數(shù)不等式時分類討論不當易錯點一不等式性質(zhì)應(yīng)用不當注意：①不等式具有同向相加性質(zhì)，但兩邊不能分別相減；②利用不等式同向相乘,忽略不等式兩邊為正的前提條件例1．（2022秋·云南玉溪·高三云南省玉溪第一中學?？茧A段練習）（多選）已知，則下列結(jié)論正確的為（

）A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．若，則【答案】CD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐個判斷選項即可.【詳解】對于A：當，，則，若，，，，顯然滿足，，但是、，此時，故選項A錯誤；對于B：因為若，所以，又，則，故選項B錯誤；對于C：因為，所以，即，所以，故選項C正確；對于D：若，則，又因為，所以根據(jù)不等式的同向可加性，得，故選項D正確；故選：CD例2．（江西贛州·高一上猶中學?？贾軠y）若α，β滿足，則的取值范圍是______________【答案】【分析】根據(jù)不等關(guān)系，利用不等式的性質(zhì)求出的取值范圍.【詳解】因為，所以，，∴，又，∴．故答案為：易錯點二利用同向相加求范圍出錯注意：在多次運用不等式性質(zhì)時，其等號成立的條件可能有所不同，造成累積誤差，結(jié)果使變量范圍擴大。為了避免這類錯誤，必須注意①檢查每次使用性質(zhì)時等號成立的條件是否相同；②盡可能多的使用等式例3．（湖南邵陽·高一統(tǒng)考期中）已知，則的取值范圍是____.【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】設(shè)，所以，解得，所以，，所以，所以的取值范圍是.故答案為：例4．（2022秋·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學?？计谥校┤羟?，則的最大值是____________．【答案】7【分析】把表達為與的線性關(guān)系，結(jié)合與求出最大值.【詳解】，則，解得：即，因為且，所以，故，故的最大值為7故答案為：7易錯點三基本不等式“一正二定三相等”注意：利用基本不等式求最值時要注意條件：一正二定三相等.1.忽略“一正”例5．（2023秋·四川瀘州·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)在時有最大值為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式求出，得出函數(shù)的最大值為，從而求出和的值．【詳解】解：因為時，，當且僅當，即時取“”，所以函數(shù)，解得，，所以．故選：C．例6．（2023秋·廣東肇慶·高三統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，最小值為2的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用基本不等式以及等號的成立條件逐一判斷即可.【詳解】對于A：當時，，A錯誤；對于B：，當且僅當，即時等號成立，故等號不能成立，，B錯誤；對于C：，當且僅當，即時等號成立，C正確；對于D：當時，，當且僅當，即時等號成立，D錯誤；故選：C.2.忽略“三相等”例7．（2023春·安徽蕪湖·高三安徽師范大學附屬中學校考階段練習）已知，則函數(shù)（

）．A．有最小值4 B．有最大值4 C．無最小值 D．有最大值5【答案】C【分析】根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性以及三角函數(shù)的值域即可求解.【詳解】因為，令，則，由于在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在單調(diào)遞減，故，故選：C．例8．（2023春·云南普洱·高三?？茧A段練習）函數(shù)的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．以上都不對【答案】B【分析】令，則，然后根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】令，則，因為在上單調(diào)遞增，所以當時取得最小值，故選：B易錯點四解分式不等式時直接把分母就乘到不等式右邊注意：去分母之前應(yīng)該對分母的符號進行判斷，必要時要對分母進行討論例9．（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中校考二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合、，利用并集的定義可求得集合.【詳解】因為，由可得，解得，則，因此，.故選：D.例10．（寧夏吳忠市2023屆高三模擬聯(lián)考試卷數(shù)學（文）試題）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化簡集合B，再利用集合的交集運算求解.【詳解】解：因為，所以，故選：A.易錯點五一元二次不等式在區(qū)間D上恒成立錯誤的“統(tǒng)一”法注意：在區(qū)間D上恒成立不適用，應(yīng)使用分離參數(shù)例11．（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第十三中學校?？奸_學考試）對任意的，不等式都成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分離參數(shù)得對任意的恒成立，則求出即可.【詳解】因為對任意的，都有恒成立，∴對任意的恒成立．設(shè)，，，當，即時，，∴實數(shù)a的取值范圍是.故選：D.例12．（2023秋·湖北·高三湖北省黃梅縣第一中學校聯(lián)考期末）若，則的取值范圍為__________．【答案】【分析】解法1：利用參變分離結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性分析運算；解法2：根據(jù)恒成立問題結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析運算.【詳解】解法1：時，，則，即，故在上恒成立，令，則，故，∵在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，∴當時，，則，故，即的取值范圍為．解法2：令開口向上，若，則，解得，故的取值范圍為．故答案為：.易錯點六解含參數(shù)不等式時分類討論不當注意：討論時要做到不重不漏，分類解決后，要對各個部分的結(jié)論按照參數(shù)由小到大進行整合例13．（2022秋·海南·高三海南華僑中學?？计谥校┤絷P(guān)于x的不等式的解集中恰有3個正整數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求原不等式解集，按m與3的大小分類討論，使得m的取值滿足題意即可.【詳解】原不等式等價于有兩根當時，原不等式解集為，其中最多只有2個正整數(shù)1和2，故不滿足題意.當時，原不等式解集為，其中恰有3個正整數(shù)只能為4、5、6，故.故選：A.例14．（2022秋·甘肅蘭州·高一校考期末）不等式的解集為，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】由題意可得恒成立，分別對，，討論，結(jié)合二次不等式、二次函數(shù)圖像與性質(zhì)即可求出答案.【詳解】由不等式的解集為等價于恒成立，當時，成立，符合條件；當時，根據(jù)二次函數(shù)圖像開口向上，肯定會有函數(shù)值大于0，故不符合；當時，只需讓，解得，綜上所述，a的取值范圍為，故答案為：一、單選題1．（2023·吉林·統(tǒng)考三模）已知，則下列不等式不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】A選項，由不等式基本性質(zhì)得到A正確；B選項，利用基本不等式求出；C選項，作差法比較出大小關(guān)系；D選項，舉出反例即可.【詳解】A選項，，故，所以，兩邊同乘以得，，A成立；B選項，因為，所以，且，由基本不等式得，故B成立；C選項，因為，所以，故，所以，C成立；D選項，不妨取，滿足，此時，故D不一定成立.故選：D2．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用方程組以及不等式的性質(zhì)計算求解.【詳解】設(shè)，所以，解得，所以，又，所以，故A，C，D錯誤.故選：B.3．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習）下列選項正確的是（

）A． B．C．的最小值為 D．的最小值為【答案】D【分析】結(jié)合選項，利用特殊值或函數(shù)的單調(diào)性進行求解.【詳解】當與為負數(shù)時，顯然不成立，選項A不正確；因為x不一定為正數(shù)，當為負數(shù)時，顯然不成立，選項B不正確；令，所以的最小值為3，當且僅當時，取到最小值，選項C不正確；，因為，所以，當且僅當時，取到最小值，選項D正確．故選：D．4．（2023·四川·校聯(lián)考一模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式求得集合，利用集合交集的定義求得結(jié)果．【詳解】由等價于，即，則，解得，故，所以.故選：C.5．（2022秋·河南洛陽·高三洛陽市第一高級中學?？茧A段練習）設(shè)集合，，且，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】分類討論解不等式，確定集合，根據(jù)，確定，求得答案.【詳解】解，即，當即時，，此時，不合題意；故，即，則，由于，，所以，解得，故選：C6．（2023·全國·高三專題練習）若關(guān)于x的不等式的解集中恰有4個整數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】討論m與2的大小關(guān)系，求得不等式的解集，根據(jù)解集中恰有4個整數(shù)，確定m的取值范圍.【詳解】不等式即，當時，不等式解集為，此時要使解集中恰有4個整數(shù)，這四個整數(shù)只能是3,4,5,6，故，當時，不等式解集為，此時不符合題意；當時，不等式解集為，此時要使解集中恰有4個整數(shù)，這四個整數(shù)只能是，故，，故實數(shù)m的取值范圍為，故選：C7．（陜西榆林·?？寄M預(yù)測）關(guān)于的不等式的解集為空集，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集規(guī)律列式計算作答.【詳解】因不等式的解集為空集，則當時，不成立，因此，滿足題意，當時，必有，解得，綜上得，所以實數(shù)k的取值范圍是：.故選：A二、多選題8．（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BD【分析】取特值可判斷A；由不等式的性質(zhì)可判斷B，C，D.【詳解】對于A，當時，不等式不成立，故A是假命題；對于B，若，則，，所以，故B是真命題；對于C，若，則，所以，故C是假命題；對于D，若，則成立，故D是真命題.故選：BD.9．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中學校考階段練習）已知，，且滿足，．則的取值可以為（

）A．10 B．11 C．12 D．20【答案】CD【分析】根據(jù)條件及基本不等式可得，進而即得.【詳解】因為，，所以，，故，當，且，而時，即等號不能同時成立，所以，故AB錯誤，CD正確.故選：CD.10．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高三校聯(lián)考期末）下列函數(shù)最小值為2的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用配方法判斷A，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)判斷B，利用均值不等式判斷C，利用對數(shù)函數(shù)的值域判斷D.【詳解】，最小值為2，選項A正確；當時，，無最小值，選項B錯誤；，當且僅當，即時取得最小值2，選項C正確；，所以，，當時取得最小值2，選項D正確．故選：ACD三、填空題11．（2023·全國·高三專題練習）已知，，的取值范圍是_______________【答案】【分析】設(shè)，解出，再利用不等式的可加性求解即可得出．【詳解】設(shè)，即，∴，解得.∴，∵，∴①，∵，∴②，①②，得，即的取值范圍.故答案為：.12．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)f（x）＝＋1的最小值為________．【答案】＋1【分析】先對函數(shù)進行化簡，然后利用對勾函數(shù)的單調(diào)性可求出有最小值.【詳解】f（x）＝＋1＝＋1＝＋＋1，令，t∈[，＋∞），則函數(shù)f（x）可轉(zhuǎn)化為g（t）＝t＋＋1，t∈[，＋∞）．令u（t）＝t＋（t≥），則由u（t）在[，＋∞）上單調(diào)遞增可知，u（t）≥＋＝，則g（t）≥，所以函數(shù)f（x）的最小值為；故答案為：.13．（2021秋·上海靜安·高三?？计谥校┮阎瑒t函數(shù)的最大值是__.【答案】【分析】利用基本不等式求最值，注意“一正二定三相等”，要對式子變形后再使用.【詳解】因為，所以，，故，當且僅當，即時，等號成立，所以時，的最大值是.故答案為：.14．（2023春·上海嘉定·高三統(tǒng)考階段練習）不等式的解集為______.【答案】【分析】根據(jù)分式不等式的解法，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，即，解得，所以不等式的解集為故答案為:15．（2023·全國·高三專題練習）若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【分析】先移項，根據(jù)不等式是否為二次不等式分類討論，當是一次不等式，若對恒成立，只需是恒等式，若是二次不等式，只需開口向上且判別式小于零，建立不等式解出即可.【詳解】解：原不等式可化為對恒成立．（1）當時，若不等式對恒成立，只需，解得；（2）當時，若該二次不等式恒成立，只需，解得，所以；綜上：.故答案為：16．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是_