論文-我對(duì)混沌的認(rèn)識(shí)

我對(duì)混沌的認(rèn)識(shí)摘要：蝴蝶效應(yīng)（ButterflyEffect）是指在一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)中，初始條件下微小的變化能帶動(dòng)整個(gè)系統(tǒng)的長(zhǎng)期的巨大的連鎖反應(yīng)。這是一種混沌現(xiàn)象。混沌一個(gè)看似荒謬的現(xiàn)象，卻是存在的真實(shí)的普遍的現(xiàn)象，給科學(xué)發(fā)展注入新的活力。那混沌是什么？關(guān)鍵詞：混沌理論控制發(fā)展及應(yīng)用一、引言湍流現(xiàn)象——無(wú)序中的有序在雷諾的管流實(shí)驗(yàn)中，湍流是指流體中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)雜亂無(wú)章，其中含有大量的無(wú)規(guī)則的三維旋渦，流體質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量和能量高效率的相互混合，使其平均速度在剖面中心部分平坦而邊緣陡峭，造成壁面剪應(yīng)力增大，從而使管流阻力增大的流體的一種流動(dòng)狀態(tài)。湍流的特點(diǎn)之一是它的物理量無(wú)論對(duì)時(shí)間還是對(duì)空間都是隨機(jī)漲落的。湍流的實(shí)驗(yàn)特點(diǎn)在于湍流中物理量是隨機(jī)脈動(dòng)的。然而湍流的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：湍流并非是流體完全隨機(jī)的無(wú)序運(yùn)動(dòng)，而是在紊亂中存在著相當(dāng)有組織的有序運(yùn)動(dòng)。湍流也是混沌現(xiàn)象之一?；煦邕\(yùn)動(dòng)是1963年由美國(guó)氣象學(xué)家洛倫茲（E.Yorke）在研究區(qū)域小氣候求解他所提出的模型方程首先發(fā)現(xiàn)的。因此，洛倫茲方程在混沌學(xué)歷史上也有重要地位，特別是對(duì)它的分析在了解非線性方程如何出現(xiàn)混沌解方面很有意義。現(xiàn)代非線性理論中的混沌的概念是1975年李天巖和約克（J.Yorke）在題為《周期3蘊(yùn)涵著混沌》的論文中首先提出，即混沌是非線性系統(tǒng)中的一種特殊的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。但是，論文中關(guān)于混沌的概念與通常人們（特別是過(guò)去）對(duì)混沌（chaos）一詞的理解完全不一樣（在古代，無(wú)論是中國(guó)還是西方，混沌都表示宇宙形成之前的元?dú)猓ｉ_(kāi)始時(shí)（主要是20世紀(jì)70年代）為了把它與傳統(tǒng)的表示無(wú)序概念加以區(qū)別，有時(shí)人們把這種具有專門含義的混沌稱為〃確定性混沌"（deterministicchaos）?，F(xiàn)在科技界已普遍接受并習(xí)慣使用〃混沌〃一詞的專門含義了，于是一般便去掉了〃確定性〃這一定語(yǔ)。人們已普遍認(rèn)為〃混沌〃就是〃確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的隨機(jī)狀態(tài)〃（1986年英國(guó)皇家學(xué)會(huì)舉辦的一次國(guó)際性專題學(xué)術(shù)會(huì)上與會(huì)者達(dá)成的共識(shí)）。二、混沌理論1、混沌概念混沌是服從確定性規(guī)律但是具有隨機(jī)性的運(yùn)動(dòng)。所謂服從確定性規(guī)律，是指系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可以用確定的動(dòng)力學(xué)方程表述，而不是像噪聲那樣不服從任何動(dòng)力學(xué)方程。所謂運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性，是指不能像經(jīng)典力學(xué)中的機(jī)械運(yùn)動(dòng)那樣由某時(shí)刻狀態(tài)可以預(yù)言以后任何時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，混沌運(yùn)動(dòng)到是像其他隨機(jī)運(yùn)動(dòng)或噪聲那樣，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是不可預(yù)言的，換言之，混沌運(yùn)動(dòng)在相空間中沒(méi)有確定的軌道。洛倫茨把混沌運(yùn)動(dòng)這種在確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的隨機(jī)性稱為〃貌似隨機(jī)〃。2、混沌特點(diǎn)混沌運(yùn)動(dòng)是確定性和隨機(jī)性的對(duì)立統(tǒng)一，即它具有隨機(jī)性，但是又不是真正的或完全的隨機(jī)性。我們知道，通常我們所說(shuō)的隨機(jī)性不僅是非周期運(yùn)動(dòng)的，而且不服從確定的動(dòng)力學(xué)規(guī)律，從而其隨時(shí)間的演化是完全不可預(yù)言的。也就是說(shuō)，它不服從因果律。因此過(guò)去一直認(rèn)為隨機(jī)性與確定性或因果性是截然對(duì)立的。但混沌運(yùn)動(dòng)是在確定性系統(tǒng)中發(fā)生的，這與完全隨機(jī)運(yùn)動(dòng)有著本質(zhì)區(qū)別：⑴混沌運(yùn)動(dòng)服從確定的力學(xué)規(guī)律；（ii）混沌振蕩雖具有隨機(jī)性且不是規(guī)則的，但其運(yùn)動(dòng)也不是完全雜亂無(wú)規(guī)的（iii）雖然混沌運(yùn)動(dòng)在整個(gè)時(shí)間進(jìn)程中具有隨機(jī)性，即在較長(zhǎng)時(shí)間上不能對(duì)其運(yùn)動(dòng)作出預(yù)言，或者說(shuō)它不服從因果律，但是在較短的一定的時(shí)間范圍內(nèi)，預(yù)言還是可能的，或者說(shuō)，因果律并不完全否定。因此才可以說(shuō)，混沌運(yùn)動(dòng)是確定性和隨機(jī)性的對(duì)立統(tǒng)一。對(duì)出始狀態(tài)的敏感依賴。與隨機(jī)性密切相關(guān)的是混沌運(yùn)動(dòng)對(duì)初始狀態(tài)的敏感依賴。系統(tǒng)作通常規(guī)則運(yùn)動(dòng)時(shí)，無(wú)法避免的漲落或噪聲干擾弓I起的處始條件的微小變化一般只引起運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的微小差別。即初始狀態(tài)很接近的軌道總是很接近，甚至可能趨于一致。這樣才能使人們對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)作出預(yù)言，也才有所謂的機(jī)械決定論（拉普拉斯決定論）?；煦邕\(yùn)動(dòng)則不然，由于系統(tǒng)無(wú)法避免的漲落，初始條件的微小差別往往會(huì)使相鄰軌道按指數(shù)形式分開(kāi)。洛倫茨戲稱混沌運(yùn)動(dòng)這種對(duì)初始條件的敏感依賴性為蝴蝶效應(yīng)（butterflyeffect）:如果全球氣象處于混沌狀態(tài)，那么有一只蝴蝶在巴西拍動(dòng)翅膀，就可能在美國(guó)得克薩州引起龍卷風(fēng)。同時(shí)蝴蝶效應(yīng)也是區(qū)別混沌同其他確定性系統(tǒng)的重要標(biāo)志。只有非線性系統(tǒng)才有可能作混沌運(yùn)動(dòng)。對(duì)于線性微分方程，初始條件給定了，它就有確定的解。也就是說(shuō)，線性系統(tǒng)不可能作帶有隨機(jī)性的混沌運(yùn)動(dòng)。因此，混沌運(yùn)動(dòng)只可能出現(xiàn)在非線性系統(tǒng)中。當(dāng)然，系統(tǒng)的非線性只是混沌出現(xiàn)的必要條件。即非線性系統(tǒng)不一定能作混沌運(yùn)動(dòng)，作混沌運(yùn)動(dòng)還得滿足一定的適當(dāng)條件：（i）只有3個(gè)或3個(gè)以上變量的自治系統(tǒng)才有可能作混沌運(yùn)動(dòng)，只有2個(gè)變量的自治系統(tǒng)不可能作混沌運(yùn)動(dòng)。（ii）同一系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)（是否作混沌運(yùn)動(dòng)）還與其所處條件（運(yùn)動(dòng)方程的參量取值）密切有關(guān)。同一系統(tǒng)，當(dāng)其所處內(nèi)在或外在條件不同時(shí)，它既可作混沌運(yùn)動(dòng)，也可能作其他形式的運(yùn)動(dòng)。2、吸引子與奇怪吸引子吸引子是由所有不同初始狀態(tài)的軌道最后所構(gòu)成的不隨時(shí)間變化的集合或流行。對(duì)于規(guī)則運(yùn)動(dòng)，吸引子很簡(jiǎn)單，如穩(wěn)定態(tài)就是一個(gè)點(diǎn)（比如單擺有阻尼蕩振蕩最終將趨于最底點(diǎn)并保持穩(wěn)定，這種運(yùn)動(dòng)趨向的平衡位置叫做吸引子）周期運(yùn)動(dòng)的是閉曲線，準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的吸引子則是封閉的帶或環(huán)。通常將規(guī)則運(yùn)動(dòng)的吸引子稱為簡(jiǎn)單吸引子或平庸吸引子。奇怪吸引子混沌運(yùn)動(dòng)的軌線在捕捉區(qū)所形成的吸引子不同于常規(guī)運(yùn)動(dòng)的吸引子。由于蝴蝶效應(yīng)及其固有的隨機(jī)性，使得單一軌道難于刻畫系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特征。相反，所有軌道的集合——吸引子，具有一些獨(dú)特的性質(zhì)。我們將這些具有獨(dú)特性質(zhì)的吸引子稱為奇怪吸引子。3、奇怪吸弓|子的特點(diǎn)(1)從整體說(shuō)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的：吸引子外的一切軌道線最后都要收縮進(jìn)吸引子中。但是，從局部來(lái)說(shuō)，吸引子的運(yùn)動(dòng)又是不穩(wěn)定的：相鄰軌道要相互排斥而按指數(shù)形式分離。所以奇怪吸引子是這種整體穩(wěn)定性和局部不穩(wěn)定性一對(duì)矛盾的結(jié)合體。(2)混沌運(yùn)動(dòng)的吸引子是由軌道經(jīng)大量分離和折疊才形成的。(3)混沌運(yùn)動(dòng)的奇怪吸引子有無(wú)窮層次的自相似結(jié)構(gòu)。同時(shí)，自相似結(jié)構(gòu)也是混沌運(yùn)動(dòng)的奇怪吸引子區(qū)別與規(guī)則運(yùn)動(dòng)的平庸吸引子的一個(gè)重要標(biāo)志。(4)奇怪吸引子的維數(shù)常常是非整數(shù)。(5)奇怪吸引子也具有遍歷性，即時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)，吸引子中軌道可遍及吸引子中各處。三、混沌控制自20世紀(jì)60年代以來(lái)，計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展極大地促進(jìn)了非線性科學(xué)的蓬勃發(fā)展，人們對(duì)混沌在自然科學(xué)各個(gè)領(lǐng)域的表現(xiàn)及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律已經(jīng)有了較全面的認(rèn)識(shí)，混沌現(xiàn)象是非線性系統(tǒng)的一種重要運(yùn)動(dòng)形式這一事實(shí)已被人們普遍接受。20世紀(jì)90年代之前，人們雖然認(rèn)識(shí)到的混沌存在的客觀性，但由于它的不穩(wěn)定性和長(zhǎng)時(shí)間發(fā)展趨勢(shì)的不可預(yù)報(bào)性，又認(rèn)為它是一種〃有害〃現(xiàn)象，在許多與實(shí)際應(yīng)用相關(guān)的工程技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)，人們想盡辦法盡量回避這類〃有害〃的現(xiàn)象?；煦缬惺裁纯衫弥幒驮鯓佑盟鼮槿祟惙?wù)，這是人們普遍關(guān)注的問(wèn)題，也是科學(xué)工作者需要探索和深入研究的新問(wèn)題。也就是是說(shuō)，如何利用混沌研究成果服務(wù)于人類已成為非線性科學(xué)發(fā)展提出的新的重要課題之一。利用混沌的前提是駕馭它，也就是控制混沌。1989年胡伯勒（A.Hubler）在他發(fā)表的一篇文章中首次提出混沌可以被控制的現(xiàn)象。次年，奧特（E.Ott）、格里波基（G.Grebog）和約克（J.York）提出控制混沌的思想，并基于混沌軌道是由無(wú)窮多不穩(wěn)定周期軌道的構(gòu)成的基本性質(zhì)，提出了一種參數(shù)微擾法控制混沌運(yùn)動(dòng)的具體實(shí)施辦法，即現(xiàn)在稱之為的OGY方法（Ott，GrebogiandYor）e很快他們提出的控制混沌的思想和方法被迪托（W.L.Ditt）等人在一個(gè)力學(xué)實(shí)驗(yàn)中證實(shí)，稍后也被羅意（&曲尸）等人在一個(gè)激光系統(tǒng)中加以利用和拓展，隨后的10多年中，有關(guān)混沌控制的研究得到蓬勃發(fā)展。這期間人們提出各式各樣控制混沌的方法及其理論，并在自然科學(xué)的眾多實(shí)際領(lǐng)域內(nèi)的實(shí)驗(yàn)和應(yīng)用中得到證實(shí)。近年來(lái)，這一研究方向的理論和實(shí)驗(yàn)以及應(yīng)用上的工作進(jìn)展異常迅猛。目前，人們對(duì)混沌控制的理解集中于：自動(dòng)有效地影響混沌系統(tǒng)，使之轉(zhuǎn)化為應(yīng)用需要的狀態(tài)。如：混沌運(yùn)動(dòng)對(duì)實(shí)際系統(tǒng)有礙時(shí)，將其抑制住；而需要產(chǎn)生實(shí)際需要的具體有某種特定性質(zhì)的混沌運(yùn)動(dòng)時(shí)使用控制，從系統(tǒng)的混沌狀態(tài)中產(chǎn)生出實(shí)際需要的各種輸出。到目前為止，人們對(duì)混沌控制的研究大都集中與控制時(shí)間混沌和時(shí)空混沌。按控制目的可將混沌控制分兩類。一類是更具實(shí)際需要，將混沌吸引子中的某些不穩(wěn)定周期軌道進(jìn)行控制，即對(duì)給定的一個(gè)混沌吸引子，只對(duì)系統(tǒng)作小的擾動(dòng)就能得到某個(gè)預(yù)期的周期運(yùn)動(dòng)行為。這種控制不改變?cè)械闹芷谲壍馈Ａ硪活悇t是通過(guò)控制或驅(qū)動(dòng)，只求得到所需的周期軌道（這條軌道不一定是系統(tǒng)原有的軌道），或?qū)⒒煦缫种频?，這類控制將改變系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為。四、混沌的發(fā)展及應(yīng)用混沌是一種普遍的現(xiàn)象?；煦缦蛭覀兘沂境鲆粋€(gè)形態(tài)和結(jié)構(gòu)的嶄新世界。它表明，在某一范圍的無(wú)序是與另一個(gè)不同范圍的有序完全協(xié)調(diào)的。混沌學(xué)已經(jīng)融入了整個(gè)科學(xué)體系中。從歷史發(fā)展的角度看，在橫向上，它將各個(gè)學(xué)科連接起來(lái)，抹平了由于社會(huì)分工而造成的行業(yè)鴻溝，使混沌理論具有更廣泛的適用性；縱向上，它不僅進(jìn)一步運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，開(kāi)展深一層次的理論分析，而且，已經(jīng)漸漸開(kāi)始將一部分成果轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力（如混沌的控制）。如今，擺在我們面前的是一幅有序和混沌交替出現(xiàn)又同時(shí)并存的世界。聲學(xué)混沌，光學(xué)湍流，化學(xué)反應(yīng)的混沌變化，太陽(yáng)系中行星的混沌軌道，地震的混沌特征，長(zhǎng)時(shí)期天氣的〃蝴蝶效應(yīng)”，蟲口數(shù)目的混沌更迭，電子線路中的噪音輸出及電力網(wǎng)的復(fù)雜振蕩等等都無(wú)不與這門新學(xué)科相聯(lián)系。探索復(fù)雜性，揭示生命現(xiàn)象的奧秒，混沌行為的啟發(fā)將使人類自身健康狀況改善，經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)者正試圖應(yīng)用混沌理論來(lái)尋求商業(yè)周期中隱藏的有序性，以改善經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的短期預(yù)報(bào)......可謂大千世界皆混沌?；煦缂催M(jìn)一步細(xì)分了我們的研究客體，同時(shí)又統(tǒng)一了我們的研究方式，混沌理論的發(fā)展必將帶來(lái)新的技術(shù)革命。同時(shí)，混沌理論的發(fā)展，必須依賴數(shù)學(xué)。分維是奇怪吸弓I子的重要幾何特征，與之對(duì)應(yīng)的分形幾何近二十年來(lái)也得到了飛速發(fā)展，通過(guò)計(jì)算不同吸引子的各種維數(shù)，可以更有效、更細(xì)致地對(duì)混沌系統(tǒng)進(jìn)行分類。符號(hào)動(dòng)力學(xué)是作為動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)一般理論的一個(gè)重要分支，人們將對(duì)一維映射系統(tǒng)符號(hào)動(dòng)力學(xué)的研究推廣到高維系統(tǒng)，使混沌系統(tǒng)的拓?fù)淦者m性得到了完美體現(xiàn)，而且這種從一維向空間的推廣，也帶動(dòng)了其它普適性的合理運(yùn)用。另外在理論方面，還綜合了很多數(shù)學(xué)分支，如測(cè)度論、泛函分析、拓?fù)?、分形幾何等等。在技術(shù)上，一方面實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家們正在不斷地?cái)U(kuò)大對(duì)混沌的研究領(lǐng)域，另一方面，他們正在試圖駕馭混沌：他們用種種方法將系統(tǒng)穩(wěn)定在混沌區(qū)的一個(gè)周期軌道上；他們還設(shè)法使兩個(gè)混沌的系統(tǒng)同步