2023年考研數(shù)學(xué)一真題

本文格式為Word版，下載可任意編輯——2023年考研數(shù)學(xué)一真題

2023年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)一試題

一、填空題(此題共5小題,每題3分,總分值15分.把答案填在題中橫線上.)(1)

e

dx

=xln2x

.

.

.

(2)已知函數(shù)y

y(x)由方程ey6xyx210確定,則y(0)=

(3)微分方程yy(4)已知實(shí)二次型

y20滿足初始條件y

x0

1,y'

x0

1

的特解是2

22

f(x1,x2,x3)a(x12x2x3)4x1x24x1x34x2x3經(jīng)正交變換

xPy可化成標(biāo)準(zhǔn)型f6y12,則a=2

(5)設(shè)隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(,率為

)(0),且二次方程y24yX0無實(shí)根的概

1

,則＝2

二、選擇題(此題共5小題,每題3分,總分值15分.每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)

(1)考慮二元函數(shù)f(x,y)的下面4條性質(zhì):①f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù);③f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微;

②f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù);④f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在．

若用“PQ〞表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q,則有

(A)②③①.(C)③④①.

n11

(2)設(shè)un0(n1,2,3,L),且lim1,則級(jí)數(shù)(1)n1()

nuunun1n1n

(B)③②①.(D)③①④.

(A)發(fā)散.

(B)絕對(duì)收斂.

(D)收斂性根據(jù)所給條件不能判定.

(C)條件收斂.

(3)設(shè)函數(shù)yf(x)在(0,)內(nèi)有界且可導(dǎo),則(A)當(dāng)(B)當(dāng)

x

limf(x)0時(shí),必有l(wèi)imf(x)0.

x

x

limf(x)存在時(shí),必有l(wèi)imf(x)0.

x

(C)當(dāng)lim

x0

f(x)0時(shí),必有l(wèi)imf(x)0.

x0

(D)當(dāng)lim

x0

f(x)存在時(shí),必有l(wèi)imf(x)0.

x0

(4)設(shè)有三張不同平面的方程ai1xai2y

ai3zbi,i1,2,3,它們所組成的線性方程組的系

數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為２,則這三張平面可能的位置關(guān)系為

(5)設(shè)X1和X2是任意兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量,它們的概率密度分別為分布函數(shù)分別為F1(x)和F2(x),則

(A)f1(x)＋(B)

f1(x)和f2(x),

f2(x)必為某一隨機(jī)變量的概率密度.

f1(x)f2(x)必為某一隨機(jī)變量的概率密度.

(C)F1(x)＋F2(x)必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù).(D)F1(x)

三、(此題總分值6分)設(shè)函數(shù)f(x)在

F2(x)必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù).

x0的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且f(0)0,f(0)0,若

af(h)bf(2h)f(0)在h0時(shí)是比h高階的無窮小,試確定a,b的值.

四、(此題總分值7分)已知兩曲線yf(x)與y

arctanx0

2

etdt在點(diǎn)(0,0)處的切線一致,寫出此切線方程,并求極限

2limnf().nn

五、(此題總分值7分)計(jì)算二重積分

六、(此題總分值8分)

設(shè)函數(shù)f(x)在(,)內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),L是上半平面(其起點(diǎn)為(a,b),終點(diǎn)為(c,d).記

max{x

eD

2

,y2}

dxdy,其中D{(x,y)|0x1,0y1}.

y＞0)內(nèi)的有向分段光滑曲線,

I

1x

y2f(xy)]dx2[y2f(xy)1]dy,Lyy

(1)證明曲線積分I與路徑L無關(guān);(2)當(dāng)abcd時(shí),求I的值.

七、(此題總分值7分)(1)驗(yàn)證函數(shù)

x36393xn3y(x)1LL(x)

3!6!9!(3n)!

滿足微分方程

yyyex;

x3n

(2)利用(1)的結(jié)果求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).

n0(3n)!

八、(此題總分值7分)

設(shè)有一小山,取它的底面所在的平面為xOy坐標(biāo)面,其底部所占的區(qū)域?yàn)镈{(x,y)|x

2

y2xy75},小山的高度函數(shù)為h(x,y)75x2y2xy.

(1)設(shè)M(x0,y0)為區(qū)域D上一點(diǎn),問h(x,y)在該點(diǎn)沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大?

若記此方向?qū)?shù)的最大值為g(x0,y0),試寫出g(x0,y0)的表達(dá)式.

(2)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動(dòng),為此需要在山腳下尋覓一上山坡最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn).也就是說,要在D的邊界限x起點(diǎn)的位置.

九、(此題總分值6分)已知四階方陣關(guān),1

十、(此題總分值8分)設(shè)A,B為同階方陣,

(1)若A,B相像,證明A,B的特征多項(xiàng)式相等.(2)舉一個(gè)二階方陣的例子說明(1)的逆命題不成立.(3)當(dāng)A,B均為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí),證明(1)的逆命題成立.

十一、(此題總分值7分)設(shè)維隨機(jī)變量X的概率密度為

2

y2xy75上找出訪(1)中g(shù)(x,y)達(dá)到最大值的點(diǎn).試確定攀登

A(1,2,3,4),1,2,3,4均為4維列向量,其中2,3,4線性無

223,假使1234,求線性方程組Ax的通解.

x1

cos,f(x)22

0,

0x,

其他.

2

的次數(shù),求Y的數(shù)學(xué)期望.3

對(duì)X獨(dú)立地重復(fù)觀測(cè)４次,用Y表示觀測(cè)值大于

十二、(此題總分值7分)

其中(0

1

)是未知參數(shù),利用總體X的如下樣本值2

3,1,3,0,3,1,2,3,

求的矩估計(jì)值和最大似然估計(jì)值.

2023年考研數(shù)學(xué)一試題答案與解析

一、填空題(1)原式

(2)方程兩邊對(duì)x兩次求導(dǎo)得

e

dlnx1

ln2xlnx

e

1.

eyy'6xy'6y2x0,

①②

eyy''eyy'26xy''12y'20.

以

x0代入原方程得y0,以xy0代入①得y'0,,再以xyy'0代入②得

y''(0)2.

(3)這是二階的可降階微分方程.

令y'

P(y)(以y為自變量),則y''

dy'dPdP

P.dxdxdy

x0

代入方程得

yP

dPdP

P20,即yP0(或P0,但其不滿足初始條件y'dydy1

).2

分開變量得

dPdy

0,PylnPlnyC',即P

積分得

C1

(P0對(duì)應(yīng)C10);y

由x0時(shí)

11

y1,Py',得C1.于是

22

又由

y

x0

1得C2

1,所求特解為y

(4)由于二次型x

T

Ax經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)型時(shí),標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)的系數(shù)就是二次型矩陣

A的特征值,所以6,0,0是A的特征值.

又因

(5)設(shè)事件A表示“二次方程

a,故aaa600,a2.

ii

i

y24yX0無實(shí)根〞,則A{164X0}{X

4}.依題意,有

而即

二、選擇題

1

P(A)P{X4}.

2

414141(),(),0.4.

22

P{X4}1P{X4}1(

4

),

(1)這是探討函數(shù)系.我們知道,

f(x,y)的連續(xù)性,可偏導(dǎo)性,可微性及偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性之間的關(guān)

f(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充分條件,若f(x,y)可微則必連續(xù),應(yīng)選(A).

1

1u10,且lim(2)由limn10n充分大時(shí)即N,nN時(shí)0,不妨認(rèn)為

nnuunn

n

n,un0,因而所考慮級(jí)數(shù)是交織級(jí)數(shù),但不能保證

按定義考察部分和

1

的單調(diào)性.un

nn

111k11Sn(1)()(1)(1)k1uuuuk1k1k1kk1kk1

k1

n

(1)kn11(1)n11l1(1)(n),

ulu1un1u1k1ukl1

n

原級(jí)數(shù)收斂.

11

uun1nn1n11

2,再考察取絕對(duì)值后的級(jí)數(shù)().注意n

unun1n1un1n1un

n

111

發(fā)散()發(fā)散.因此選(C).nuun1n1nn1

(3)證明(B)對(duì):反證法.假設(shè)

x

limf(x)a0,則由拉格朗日中值定理,

f(2x)f(x)f'()x(x)

(當(dāng)x時(shí),,由于x2x);但這與f(2x)f(x)f(2x)f(x)2M矛盾

(f(x)M).

(4)由于r(A)一,因此應(yīng)選(B).

(A)表示方程組有唯一解,其充要條件是r(A)r(A)3.

(C)中三個(gè)平面沒有公共交點(diǎn),即方程組無解,又因三個(gè)平面中任兩個(gè)都不行,故r(A)2和

r(A)23,說明方程組有無窮多解,所以三個(gè)平面有公共交點(diǎn)且不唯

r(A)3,且A中任兩個(gè)平行向量都線性無關(guān).

類似地,(D)中有兩個(gè)平面平行,故r(A)2,r()3,且A中有兩個(gè)平行向量共線.

(5)首先可以否定選項(xiàng)(A)與(C),因

[f1(x)f2(x)]dx

f1(x)dx

f2(x)dx21,

F1()F2()1121.

對(duì)于選項(xiàng)(B),若

1,2x1,1,0x1,

則對(duì)任何x(,),f1(x)f2(x)

0,其他，0,其他，

f1(x)f2(x)0,f1(x)f2(x)dx01,因此也應(yīng)否定(C),綜上分析,用排除法應(yīng)選(D).

進(jìn)一步分析可知,若令

Xmax(X1,X2),而Xi~fi(x),i1,2,則X的分布函數(shù)F(x)恰是

F1(x)F2(x).

F(x)P{max(X1,X2)x}P{X1x,X2x}

P{X1x}P{X2x}F1(x)F2(x).

三、

h0

用洛必達(dá)法則.由題設(shè)條件知

lim[af(h)bf(2h)f(0)](ab1)f(0).由于f(0)0,故必有ab10.

及f(0)0,則有a2b0.

四、

由已知條件得

綜上,得a2,b1.

f(0)0,f'(0)(

arctanx0

etdt)'x

2

x0

earctanx

1x2

2

x0

1,

故所求切線方程為

yx.由導(dǎo)數(shù)定義及數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系可得

D是正方形區(qū)域如圖.因在D上被積函數(shù)分塊表示

2

2

五、

2

x,xy,

max{x,y}2(x,y)D,

y,xy,

于是要用分塊積分法,用

yx將D分成兩塊:

DD1UD2,D1DI{yx},D2DI{yx}.

Iemax{x

D1

2

2

,y2}

dxdyemax{x

D2

2

2

,y2}

dxdy

exdxdyeydxdy2exdxdy(D關(guān)于yx對(duì)稱)

D1

D2

D1

2

2dxexdy(選擇積分順序)2xexdxex

1x

2

1

22

10

e1.

六、

(1)易知PdxQdy原函數(shù),

PdxQdy

1x1

dxyf(xy)dxxf(xy)dy2dy2(ydxxdy)f(xy)(ydxxdy)yyy

xxxy

d()f(xy)d(xy)d[f(t)dt].

yy0

在y0上PdxQdy原函數(shù),即u(x,y)積分I在y0與路徑無關(guān).

(2)因找到了原函數(shù),馬上可得I

七、與書上解答略有不同,參見數(shù)三2023第七題(1)由于冪級(jí)數(shù)

xyx

f(t)dt.y0

u(x,y)

(c,d)(a,b)

ca.db

x3x6x9x3n

y(x)1LL

3!6!9!(3n)!

的收斂域是(

x),因而可在(x)上逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù),得

,

x2x5x8x3n1

y'(x)LL

2!5!8!(3n1)!

x4x7x3n2

y''(x)xLL

4!7!(3n2)!

所以

,

x2xn

y''y'y1xLLex(x).

2!n!

x

(2)與y''y'ye相應(yīng)的齊次微分方程為y''y'y0,

其特征方程為

2

110,

特征根為1,2i.

22

e(C1cos

x2

因此齊次微分方程的通解為Y

xC2sinx).22

設(shè)非齊次微分方程的特解為

yAex,將y代入方程y''y'yex可得

11

A,即有yex.

33

于是,

方程通解為

yYye(C1cos

x

2

1xC2sinx)ex.223

1

y(0)1C,123

C1,C20.當(dāng)x0時(shí),

有

3y'(0)01C1.

12

23

x

221x3n

xex(x)于是冪級(jí)數(shù)

的和函數(shù)為y(x)e33n0(3n)!

八、

(1)由梯度向量的重要性質(zhì):函數(shù)h(x,y)在點(diǎn)M處沿該點(diǎn)的梯度方向

gradh(x,y)

(x0,y0){

hh

,(x0,y0){2x0y0,2y0x0}xy

(x0,y0)

方向?qū)?shù)取最大值即gradh(x,y)

的模

,g(x0,y0)

2

(2)按題意,即求g(x,y)求在條件xy2xy750下的最大值點(diǎn)

g2(x,y)(y2x)2(x2y)25x25y28xy

在條件x

2

y2xy750下的最大值點(diǎn).

這是求解條件最值問題,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函數(shù)

L(x,y,)5x25y28xy(x2y2xy75),

L

x10x8y(2xy)0,L

10y8x(2yx)0,yL22

xyxy750.

y)(2)0.xy或2.

則有

得x

解此方程組:將①式與②式相加得(x若

2

yx,則由③式得3x275即x5,ym5.若2,由①或②均得yx,代入③式

75即xy于是得可能的條件極值點(diǎn)

M1(5,5),M2(5,5),M3M4(

現(xiàn)比較

f(x,y)g2(x,y)5x25y28xy在這些點(diǎn)的函數(shù)值:f(M1)f(M2)450,f(M3)f(M4)150.

由于實(shí)際問題存在最大值,而最大值又只可能在

M1,M2,M3,M4中取到.因此g2(x,y)在

M1,M2取到在D的邊界上的最大值,即M1,M2可作為攀登的起點(diǎn).

九、

由2,3,4線性無關(guān)及1

223知,向量組的秩r(1,2,3,4)3,即矩陣

A的秩為3.因此Ax0的基礎(chǔ)解系中只包含一個(gè)向量.那么由

1

2

(1,2,3,4)12230

10

知,Ax0的基礎(chǔ)解系是(1,2,1,0).

T

1111

A知,(1,1,1,1)T是Ax的一個(gè)特再由1234(1,2,3,)4

1111

11

21

解.故Ax的通解是k,其中k為任意常數(shù).

1101

十、

(1)若A,B相像,那么存在可逆矩陣P,使P

1

APB,故

EBEP1APP1EPP1AP

P1(EA)PP1EAPEA.

01002