2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)模擬試題及參考答案

-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．給出下列判斷，其中正確的是（）A.三點(diǎn)確定唯一一個(gè)平面B.空間中兩兩相交的三條直線在同一個(gè)平面內(nèi)C.過直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線與該直線平行D.過直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線與該直線垂直2．若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.3．在中，，，的面積為，則為（）A. B. C. D.4．在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.5．已知圓錐底面半徑為，高為，在它的所有內(nèi)接圓柱中，全面積的最大值是（）A. B. C. D.6．在中，，，，D，E分別是邊上的三等分點(diǎn)，則的值是（）A6 B. C.8 D.7．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為（）A.4 B. C.2 D.8．如圖，直三棱柱的底面為直角三角形，，，，P是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．在復(fù)平面內(nèi)有一個(gè)平行四邊形，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)位于虛軸上 B.C. D.10．若的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則B.若，則為直角三角形C.若，則為等腰三角形D.若，則為直角三角形11．已知正方體的邊長為2，點(diǎn)在棱上，，點(diǎn)在棱上（點(diǎn)異于，兩點(diǎn)），若平面截正方體所得的截面為五邊形，則長的取值可能為（）A.1 B. C. D.12．如圖，設(shè)，且，當(dāng)時(shí)，定義平面坐標(biāo)系為的斜坐標(biāo)系，在的斜坐標(biāo)系中，任意一點(diǎn)的斜坐標(biāo)這樣定義：設(shè)，是分別與軸，軸正方向相同的單位向量，若，記，則下列結(jié)論中正確的是（）A.設(shè)，，若，則，B.設(shè)，則C.設(shè)，，若，則D.設(shè)，，若與的夾角為，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為純虛數(shù)，則_____________．14.在中，點(diǎn)滿足，若，則_________15.軸截面是等邊三角形的圓錐，即底面圓直徑與母線相等的圓錐叫做等邊圓錐(Equilateralcone)，它外觀看著舒適，且具有穩(wěn)定的性質(zhì)，生活中應(yīng)用廣泛，例如冰激凌、沙漏等呈等邊圓錐狀．已知一等邊圓錐的底面圓直徑為6，在該圓錐內(nèi)放置一個(gè)棱長為的正四面體，且正四面體在該圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則的最大值為________________．16．如圖所示，在等腰直角中，，O為中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且．當(dāng)時(shí)，則的值為______；的最大值為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．設(shè)是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，且．（1）求的值；（2）求的實(shí)部的取值范圍．18．在中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c．若，且．（1）求角A的大?。唬?）若，求的面積．19．如圖，在直三棱柱中，底面是正三角形，，邊上的中點(diǎn)為D．（1）求四棱錐的體積；（2）求三棱柱截去三棱錐后所得幾何體的表面積．20．在①，其中為角的平分線的長（與交于點(diǎn)），②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，___________.（1）求角的大小；（2）求的取值范圍.21．如圖是由兩個(gè)有一個(gè)公共邊的正六邊形構(gòu)成的平面圖形，其中正六邊形邊長為2.（1）設(shè)，求的值；（2）若點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則求的最大值.22．已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足．（1）若為銳角三角形，且，求a的取值范圍；（2）若點(diǎn)D在邊上，且，，求面積的最大值．答案解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．給出下列判斷，其中正確的是（）A.三點(diǎn)確定唯一一個(gè)平面B.空間中兩兩相交的三條直線在同一個(gè)平面內(nèi)C.過直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線與該直線平行D.過直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線與該直線垂直【答案】C【解析】A，過不在一條直線上的三點(diǎn)才可確定唯一一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；B，空間兩兩相交的三條直線可能交于同一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)這三條直線不一定在同一個(gè)平面內(nèi)，故B錯(cuò)誤；C，根據(jù)平面的性質(zhì)，過直線外一點(diǎn)和該直線有且僅有一個(gè)平面，在該平面內(nèi)作和已知直線平行的直線是唯一的，故C正確；D，過直線外一點(diǎn)有無數(shù)條直線與該直線垂直，故D錯(cuò)誤，故選：C2．若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，故，故復(fù)數(shù)的虛部為，故選:B．3．在中，，，的面積為，則為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在中，因?yàn)?，，的面積為，所以，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：B.4．在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選:A.5．已知圓錐底面半徑為，高為，在它的所有內(nèi)接圓柱中，全面積的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，所以在軸截面三角形中，如圖所示：由相似可得，，所以，，即圓柱的全面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選：B．6．在中，，，，D，E分別是邊上的三等分點(diǎn)，則的值是（）A6 B. C.8 D.【答案】B【解析】因?yàn)镈，E分別是邊上的三等分點(diǎn)，不妨設(shè)，，所以，由可得，，即，同理可得，，所以．故選：B．7．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為（）A.4 B. C.2 D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，，所以，由余弦定理得：，解得，所以，所以的面積為故選：D8．如圖，直三棱柱的底面為直角三角形，，，，P是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】連接，將與同時(shí)展平形成一個(gè)四邊形，如圖，則此時(shí)對(duì)角線達(dá)到最小，在等腰直角三角形中，，，在中，，，，所以，即，對(duì)于展開形成的四邊形，在中，，，，由余弦定理有．故選：A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．在復(fù)平面內(nèi)有一個(gè)平行四邊形，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)位于虛軸上 B.C. D.【答案】ABC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由復(fù)數(shù)的幾何意義可知點(diǎn)、，因?yàn)?，則，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，所以點(diǎn)在虛軸上，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，，所以，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D錯(cuò).故選：ABC.10．若的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則B.若，則為直角三角形C.若，則為等腰三角形D.若，則為直角三角形【答案】ABD【解析】在中，正弦定理，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，由射影定理得，又，即，而，則，，為直角三角形，B正確；對(duì)于C，由正弦定理可得，即，而，則有或，即或，為等腰三角形或直角三角形，C不正確；對(duì)于D，，由射影定理得，即，而，則，，為直角三角形，D正確.故選：ABD11．已知正方體的邊長為2，點(diǎn)在棱上，，點(diǎn)在棱上（點(diǎn)異于，兩點(diǎn)），若平面截正方體所得的截面為五邊形，則長的取值可能為（）A.1 B. C. D.【答案】BC【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)（如圖1），，故平面截正方體所得的截面為四邊形，當(dāng)時(shí)（如圖2），過點(diǎn)作的平行線交于，此時(shí)平面截正方體所得的截面為四邊形，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作的平行線交的延長線于，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，此時(shí)平面截正方體所得的截面為五邊形，綜上所述，平面截正方體所得的截面為五邊形時(shí)，的范圍為.故選：BC.12．如圖，設(shè)，且，當(dāng)時(shí)，定義平面坐標(biāo)系為的斜坐標(biāo)系，在的斜坐標(biāo)系中，任意一點(diǎn)的斜坐標(biāo)這樣定義：設(shè)，是分別與軸，軸正方向相同的單位向量，若，記，則下列結(jié)論中正確的是（）A.設(shè)，，若，則，B.設(shè)，則C.設(shè)，，若，則D.設(shè)，，若與的夾角為，則【答案】AC【解析】，對(duì)于A：即，則，A正確；對(duì)于B：即B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，當(dāng)即時(shí)，顯然滿足：；當(dāng)即或時(shí)，則，使得，即則可得，消去得：；C正確；對(duì)于D：結(jié)合可A、B知：若，則，，根據(jù)題意得：即，可得：即D不正確；故選：AC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為純虛數(shù)，則_____________．【答案】6【解析】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)在虛軸上，則，解得．故答案：6.14.在中，點(diǎn)滿足，若，則_________【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，，所以，所以，所以，故答案為?15.軸截面是等邊三角形的圓錐，即底面圓直徑與母線相等的圓錐叫做等邊圓錐(Equilateralcone)，它外觀看著舒適，且具有穩(wěn)定的性質(zhì)，生活中應(yīng)用廣泛，例如冰激凌、沙漏等呈等邊圓錐狀．已知一等邊圓錐的底面圓直徑為6，在該圓錐內(nèi)放置一個(gè)棱長為的正四面體，且正四面體在該圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則的最大值為________________．【答案】【解析】設(shè)為該等邊圓錐的底面圓心，則其的高為則該等邊圓錐的內(nèi)切球的圓心在等邊圓錐的高上，設(shè)為,設(shè)半徑為設(shè)該等邊圓錐內(nèi)切球與等邊圓錐的母線相切與點(diǎn),連接則在直角中，,則解得由題意正四面體在該圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)最大值時(shí)，正四面體為該球的內(nèi)接正四面體.將該球的內(nèi)接正四面體補(bǔ)成正方體，則該正方體的外接球也是該球.設(shè)正方體的棱長為，則正方體的對(duì)角線長等于球的直徑，即所以，則該正四面體的棱長為正方體的面對(duì)角線，即該正四面體的棱長為故答案為：16．如圖所示，在等腰直角中，，O為中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且．當(dāng)時(shí)，則的值為______；的最大值為______．【答案】①.；②.##【解析】（1）因?yàn)槭堑妊苯侨切?，又，所以，所?因?yàn)?，所?在△中，由正弦定理得,在△中，由余弦定理得.（2）設(shè)所以,在△中，由正弦定理得.同理.所以，因?yàn)?，所以?dāng)即時(shí)，取最小值.所以,所以的最大值為.故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．設(shè)是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，且．（1）求的值；（2）求的實(shí)部的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設(shè)，則∵z2是實(shí)數(shù)，且，∴，得，∴.(2)由(1)知，則，即，∴z1的實(shí)部取值范圍為.18．在中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c．若，且．（1）求角A的大??；（2）若，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】（1）由及正弦定理，得，整理得，所以由余弦定理得.又，所以.（2）設(shè)外接圓半徑為R，由，，，，可得，所以，所以，所以.由正弦定理，得，則.因?yàn)椋?，所以，所以是以B為直角的直角三角形，所以的面積為.19．如圖，在直三棱柱中，底面是正三角形，，邊上的中點(diǎn)為D．（1）求四棱錐的體積；（2）求三棱柱截去三棱錐后所得幾何體的表面積．【答案】（1）（2）【解析】（1）設(shè)邊上的中點(diǎn)為E．連接，又面面,面面，則平面，即為四棱錐的高，．所以四棱錐的體積．（2）由題意得，，，從而，所以，所以，所以所以三棱柱截去三棱錐后所得幾何體的表面積為．20．在①，其中為角的平分線的長（與交于點(diǎn)），②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，___________.（1）求角的大??；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】（1）方案一：選條件①，由題意可得，.為的平分線，，，即又，，即，，方案二：選條件②由已知結(jié)合正弦定理得，由余弦定理得方案三：選條件③由正弦定理得，又，，，易知，；（2），又，，所以.21．如圖是由兩個(gè)有一個(gè)公共邊的正六邊形構(gòu)成的平面圖形，其中正六邊形邊長為2.（1）設(shè)，求的值；（2）若點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則求的最大值.【答案】（1）-3（2）12【解析】（1）由題意得：兩個(gè)正六邊形全等，,則,故由，可得；（2）如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，