《矩陣分析》(第3版)史榮昌,魏豐第一章課后習(xí)題答案

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《矩陣分析》(第3版)北京理工大學(xué)出版社,課后習(xí)題答案,整理出來的,比較實(shí)用。

第1章線性空間和線性變換（詳解）

1-1證：用Eii表示n階矩陣中除第i行，第i列的元素為1外，其余元素全為0的矩陣.用

第j列元素與第j行第i列元素為Eij(ij,i1,2,,n1)表示n階矩陣中除第i行，1外，其余元素全為0的矩陣.

n(n1)

個(gè).不難證明Eii，Eij是線性無關(guān)的，2

n(n1)n(n1)

且任何一個(gè)對(duì)稱矩陣都可用這n+=個(gè)矩陣線性表示，此即對(duì)稱矩陣組成

22

n(n1)

維線性空間.2

n(n1)

同樣可證所有n階反對(duì)稱矩陣組成的線性空間的維數(shù)為.

2

n(n1)

評(píng)注:欲證一個(gè)集合在加法與數(shù)乘兩種運(yùn)算下是一個(gè)維線性空間，只需找出

2

n(n1)n(n1)

個(gè)向量線性無關(guān)，并且集合中任何一個(gè)向量都可以用這個(gè)向量線性表示即22

顯然，Eii，Eij都是對(duì)稱矩陣，Eii有可.

1-2解:令x11x22x33x44解出x1,x2,x3,x4即可.

1-3解：方法一設(shè)Ax1E1x2E2x3E3x4E4

即故

1211111110

xxxx1234

0311100000

12x1x2x3x4x1x203

于是

x1x2x3

x1

x1x2x3x41,x1x2x32

x1x20,x13

解之得

x13,x23,x32,x41

即A在E1,E2,E3,E4下的坐標(biāo)為(3,3,2,1).

T

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方法二應(yīng)用同構(gòu)的概念，R

22

是一個(gè)四維空間，并且可將矩陣A看做(1,2,0,3)T，

E1,E2,E3,E4可看做(1,1,1,1)T,(1,1,1,0)T,(1,1,0,0)T,(1,0,0,0)T.于是有

111110003111021

01003110000102

1

000

300

00

11

因此A在E1,E2,E3,E4下的坐標(biāo)為(3,3,2,1)T.

1-4解：證：設(shè)k11k22k33k440

即

k1111k11201k11310k101411

k1k

2k3k4k1k2k3k1k3k4

kkk0

124于是

k1k2k3k40,k1k2k30k1k3k40,k1k2k40

解之得

k1k2k3k40

故α1,α2,α3,α4線性無關(guān).設(shè)

abcdx11111x11201x111310x41x1x2x3x4x1x2x3x1x3x4

x

1x2x4于是

x1x2x3x40,x1x2x30x1x3x40,x1x2x40

解之得

x1bcd2a,x2ac

01

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x3ad,x4ab

x1,x2,x3,x4即為所求坐標(biāo).

1-5解：方法一（用線性空間理論計(jì)算）

1

3230p(x)12x1,x,x,x0

2

y1y

2321,x1,(x1),(x1)y

3y4

又由于

23

1,x1,(x1),(x1)

111122301,x,x,x001

000

1331

23

于是p(x)在基1,x1,(x1),(x1)下的坐標(biāo)為

y11y02y30y40

3

11113

06123

01306

00122

1

方法二將p(x)12x根據(jù)冪級(jí)數(shù)公式按x1展開可得

p(x)12x3

p(1)p(1)

(x1)2(x1)32!3!

36(x1)6(x1)22(x1)3p(1)p(1)(x1)

23

因此p(x)在基1,x1,(x1),(x1)下的坐標(biāo)為3,6,6,2.

T

評(píng)注：依照向量坐標(biāo)定義計(jì)算，其次種方法比第一種方法更簡單一些.

1-6解：①設(shè)

β1,β2,β3,β4α1,α2,α3,α4P

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將α1,α2,α3,α4與β1,β2,β3,β4代入上式得

2111

故過渡矩陣

03105321

6100

1106

1011

30010

1

10P01

11P

0012321232

②設(shè)

01102112

12

100

101

111122

5

42

9

52

11

82

056

336121

013

y11

y0

ξ(β1,β2,β3,β4)2

y31

0y4

將β1,β2,β3,β4坐標(biāo)代入上式后整理得

y12y12y31y41

03105321

79

1

618

6027

111

303

227

評(píng)注：只需將αi,βi代入過渡矩陣的定義β1,β2,β3,β4α1,α2,α3,α4P計(jì)算出

P.

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1-7解：由于

span{α1,α2}span{β1,β2}span{α1,α2,β1,β2}

由于秩span{α1,α2,β1,β2}3，且α1,α2,β1是向量α1,α2,β1,β2的一個(gè)極大線性無關(guān)組，所以和空間的維數(shù)是3，基為α1,α2,β1.

方法一設(shè)ξspan{α1,α2}span{β1,β2}，于是由交空間定義可知

11212111

k1k2k3k4011030117

解之得

k1l2,k24l2,l13l2(l2為任意數(shù))

于是

ξk1α1k2α2l2[5,2,3,4]T(很顯然ξl11l22)

所以交空間的維數(shù)為1，基為[5,2,3,4]T.方法二不難知

span{α1,α2}span{α1,α2},span{β1,β2}span{β1,β2}

其中α2[2,2,0,1],β2[

T

13

,2,1,0]T.又span{α1,α2}也是線性方程組3

x1x32x4

x2xx342

的解空間.span{β1,β2}是線性方程組

13xx32x41

3

2x3x4x2

的解空間，所以所求的交空間就是線性方程組

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x32x4x1

x2x3x42

13

x13x32x4

2x3x4x2

的解空間，簡單求出其基礎(chǔ)解系為[5,2,3,4]T，所以交空間的維數(shù)為1，基為

[5,2,3,4]T.

評(píng)注：此題有幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)是很重要的.(1)span{α1,α2,,αn}的基底就是

α1,α2,,αn

的極大線性無關(guān)組.維數(shù)等于秩

{α1,α2,,αn}.(2)span{α1,α2}span{β1,β2}span{α1,α2,β1,β2}.(3)方法

一的思路，求交span{α1,α2}span{β1,β2}就是求向量ξ，既可由α1,α2線性表示，又可由β1,β2線性表示的那部分向量.(4)方法二是借用“兩個(gè)齊次線性方程組解空間的交空間就是聯(lián)立方程組的解空間〞，將此題已知條件改造為齊次線性方

程組來求解.

1-8解:

x12x2x3x40

(1):解出方程組的基礎(chǔ)解系,即是V1的基,（Ⅰ）

5x10x6x4x02341

解出方程組（Ⅱ）x1x2x32x40的基礎(chǔ)解系,即是V2的基;

x12x2x3x40

(2):解出方程組5x110x26x34x40的基礎(chǔ)解系,即為V1V2的基;

xxx2x0

4123

(3):設(shè)V1span1,,k,V2span1,,l,則1,,k,1,,l的極大無關(guān)組即是V1V2的基.1-9解:仿上題解.

1-10解:仿上題解.

1-11證：設(shè)

l0ξl1A(ξ)l2A2(ξ)lk1A

k1

(ξ)0①

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用A

k1

從左側(cè)成①式兩端，由A

k

(ξ)0可得

l0A

由于A

k1

k1

(ξ)0

(ξ)0，所以l00，代入①可得

k1

l1A(ξ)l2A2(ξ)lk1A

用A

k2

(ξ)0②

從左側(cè)乘②式兩端，由A

k

(ξ)0可得l00，繼續(xù)下去，可得(ξ)線性無關(guān).

l2lk10，于是ξ,A(ξ),A2(ξ),,A

k1

1-12解：由1-11可知，n個(gè)向量ξ0,A(ξ),A

一個(gè)基.又由

2

(ξ),,A

n1

n1

(ξ)線性無關(guān)，它是V的

A[ξ,A(ξ),A2(ξ),,A[A(ξ),A2(ξ),,A[A(ξ),A2(ξ),,A

n1n1

(ξ)]

(ξ)](ξ),0]

000

000

100

000

010nn

010

[ξ,A(ξ),A2(ξ),,An1(ξ)]

00

所以A在ξ,A(ξ),A

2

(ξ),,A

01000

n1

(ξ)下矩陣表示為n階矩陣

000000100

000

010

評(píng)注：n維線性空間V中任何一組n個(gè)線性無關(guān)的向量組都可以構(gòu)成V的一個(gè)基，

因此ξ,A(ξ),A

1-13證:設(shè)1,,r,,s1,,mA,A1,,r,,s設(shè)1,,r是1,,r,,s的極大無關(guān)組，

2

(ξ),,A

n1

(ξ)是V的一個(gè)基.

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則可以證明1,,r是1,,r,,s的極大無關(guān)組.1-14解：(1)由題意知

A[α1,α2,α3][α1,α2,α3]A

111

[β1,β2,β3][α1,α2,α3]011

001

設(shè)A在基β1,β2,β3下的矩陣表示是B，則

1

BP1AP0

0232

11

1101443

1

123111103011215001468

(2)由于A0，故AX0只有零解，所以A的核是零空間.由維數(shù)定理可知

A的值域是線性空間R3.

1-15解:已知A

1,2,31,2,3A

1

(1)求得式1,2,31,2,3P中的過渡矩陣P,則BPAP即為所求;(2)仿教材例1.5.1.(見矩陣分析史榮昌編著.北京理工大學(xué)出版社.)

1-16解:

設(shè)A1,2,3,則R(A)span1,2,3;N(A)就是齊次方程組Ax0的解空間.1-17證:

由矩陣的乘法定義知AB與BA的主對(duì)角線上元素相等,故知AB與BA的跡相等;再由1-18題可證.1-18證:

對(duì)k用數(shù)學(xué)歸納法證。

1-19證：設(shè)A,則A

1-20證：設(shè)A,則A

2

2

2

2

,即=2,即=1或-1。

,即A=2,即=1或0。

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1-21解：設(shè)A,其中0，則A

111

1-22證：設(shè)BPAP,則E-BE-PAP=PEAPEA。

-1

1

。

1-23解：仿線性代數(shù)教材例題。

1-24證：若

10010000k1kkk2003104010

00

即

k1

k3k2

0k4

所以k1k2k3k40因此滿足

k1E11k2E12k3E21k4E220

的k1,k2,k3,k4只能全為零，于是E11,E12,E21,E22線性無關(guān).

1-25證：簡單驗(yàn)證等式

α1α2α3=0

所以α1,α2,α3線性相關(guān).

1-26證：先證：Rxn中的元素

1,x,x2,,xn1

是線性無關(guān)的.設(shè)

k01k1xk2x2kn1xn10

由于Rxn中x是變量，所以欲使上式對(duì)于任何x都成立的充分必要條件是

k0k1kn10

于是1,x,x,,x

2

n1

線性無關(guān).

對(duì)于Rxn中任何一個(gè)向量（多項(xiàng)式）

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f(x)a0a1xa2x2an1xn1Rxn

均可由1,x,x2,,xn1線性表出，這說明：1,x,x2,,xn1是Rxn的基，于是Rxn

是n維的.

不難驗(yàn)證：1,xa,(xa)2,,(xa)n1也是Rxn的一組基.由于

f(a)f(n1)(a)2

f(x)f(a)f(a)(xa)(xa)(xa)n1

2!(n1)!

故f(x)在這組基下的坐標(biāo)為

f(a)f(n1)(a)f(a),f(a),,,

2!(n1)!

1-27解：A的核空間就是Ax0的解空間，所以Ax0的基礎(chǔ)解系就是核空間的基.對(duì)A

作初等行變換后得

10

12A

12

22

因此Ax0的解為

211

013

550

120

210000

1200

x12x3x4

3

x2x32x42

其中x3,x4為自由變量.不難知Ax0的基礎(chǔ)解系可以取為

α1(4,3,2,0)T(4,3,2,0)Tα1

或TT

α2(1,2,0,1)α2(6,7,2,2)

它們都可以作為A的核空間的基，核空間是二維的.

1-28解：設(shè)α(1,2,1,1)在所給基α1,α2,α3,α4下的坐標(biāo)為k1,k2,k3,k4，故

T

αk1α1k2α2k3α3+k4α4

即

(1,2,1,1)Tk1(1,1,1,1)Tk2(1,1,1,1)Tk3(1,1,1,1)Tk4(1,1,1,1)T

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(k1k2k3k4,k1k2k3k4,k1k2k3k4,k1k2k3k4)

于是有

k1k2k3k41kkkk21234

kkkk11234k1k2k3k41

解之得

5111

k1,k2,k3,k4

4444

5111T

所以α在所給基α1,α2,α3,α4下的坐標(biāo)為(,,,).

4444

1-29解：設(shè)

1211111110

kkkk10111210301411

k1k2k3k4

k1k2k4

于是有

k1k2k3

k1k3k4

k1k2k3k41

kkk2123

kkk1412k3k40k1

解之得

k11,k21,k30,k41

所以A在已給基下的坐標(biāo)為(1,1,0,1).

1-30解：由于

T

xa(a)11x

(xa)2(a)212ax1x2(xa)3(a)313a2x3ax2x3

(xa)n1(a)n11(n1)(a)n2x

故由1,x,x,,x

2

n1

2

(n1)(n2)

(a)n3x2xn1

2

n1

到1,xa,(xa),,(xa)

的過渡矩陣為

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1a(a)2(a)32023(a)3(a)

13(a)00

0000

1-31解：將矩陣α1,α2,α3,α4

(n1)(a)n2

(n1)(n2)n3

(a)

2

1

(a)n1

β1,β2,β3,β4作初等行變換得

α1,α2,α3,α4β1,β2,β3,β4

2

10102112122

11

030120

100001000011100011000111110

11112121

1110

0111

上式說明由基α1,α2,α3,α4到基β1,β2,β3,β4的關(guān)系為（為什么？）

11

(β1,β2,β3,β4)(α1,α2,α3,α4)

00

01100011

1110

所以由α1,α2,α3,α4到β1,β2,β3,β4的過渡矩陣為

1100

01100011

1110

設(shè)ξ=(x1,x2,x3,x4)T在β1,β2,β3,β4下的坐標(biāo)為y1,y2,y3,y4，即

x1y1xy2

ξ(ε1,ε2,ε3,ε4)(β1,β2,β3,β4)2

x3y3x4y4

其中ε1(1,0,0,0),ε2(0,1,0,0),ε3(0,0,1,0),ε4(0,0,0,1)則

T

T

T

T

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x121x2

ξ(ε1,ε2,ε3,ε4)(β1,β2,β3,β4)

x30

1x4

于是

021y1

y1132

211y3

222y4

y12y21y30y41

021x1

x1132

211x3

222x4

6811681144xxx1313113213313x4131313

x

123912391x1x2x3x4

13131313x213131313

x327832783x1x2x3x4

13131313x41313131311826826x1x2x3x4

1313131313131313

1

1-32解：(1)由定理知

V1V2span{α1,α2,β1,β2}

α1,α2,β1是向量組α1,α2,β1β,的2極大無關(guān)組，故它是V1V2的基，

dim(V1V2)3.

(2)設(shè)αV1V2，即αV1且αV2，于是

αk1α1k2α2k3β1k4β2將α1,α2,β1,β2的坐標(biāo)代入上式，解之得k10,k2于是

αk1α1k2α2k4(,,5,)所以V1V2的基為(,,5,)，維數(shù)為1.

52

k4,k3k433

55

33

53

T

553353

T

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又解交空間V1V2的向量實(shí)質(zhì)上就是求在V2中向量k1β1k2β2也能由α1,α2線

性表示的這部分向量，即確定k1,k2使得

秩(α1,α2,k1β1,k2β2)秩(α1,α2)此即

15k15k212k13k203k12k2

00

2

于是3k12k20,k1k2

3

代入

214k1k21115k5k0

12

333k13k2011k1k20

2

k1β1k2β2k2(β1β2)

3

555T

k2(,,5,)

333

所以V1V2的基為(,,5,)，dim(V1V2)1.

55

3353

T

（Ⅰ）（Ⅱ）1-33解：方程組與的交空間就是這兩個(gè)方程組的所有公共解所構(gòu)成的空間，此

即方程組

3x4x50x1x2

xx2x4x01234

4x12x26x33x44x502x14x22x34x47x50

的解空間.簡單求得該方程組的基礎(chǔ)解系為(1,1,1,0,0),(12,0,5,2,6)，它就是所求V1V2的基，dim(V1V2)2.

T

T

（Ⅰ）1-34解：(1)不難看出α1,α2是線性齊次方程組

x32x1x2

（Ⅰ）

xx42

（Ⅰ）（Ⅱ）的基礎(chǔ)解系，方程組的解空間為V1.而β1,β2是線性齊次方程組

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x22x13x4

（Ⅱ）

x33x4

（Ⅱ）的基礎(chǔ)解系，方程組的解空間為V2.

（Ⅰ）（Ⅱ）交空間V1V2實(shí)質(zhì)上是與公共解的空間，即方程組

x32x1x2

xx42

（Ⅲ）

x22x13x4x33x4

（Ⅲ）的解空間.不難求得方程組的基礎(chǔ)解系為(1,1,3,1)，此即V1V2的基，

維數(shù)為1.

T

(2)

V1V2span{α1,α2,β1,β2}span{α1,α2,β1}

span{α1,α2,β2}span{α2,β1,β2}

所以dim(V1V2)3，基為α1,α2,β1.

1-35解：A(α1)(1,1,0)Tβ1β2,A(α2)(2,1,1)T2β1β2β3于是所求矩陣為

12

A11

0132

2nn1

1-36解：D(1)0，D(x)1，D(x)2x，，D(x)nx，于是所

求矩陣為

0010

0020D000nn(n1)

注對(duì)于線性映射D：R[x]n1R[x]nD(f(x))在基1,x,x,,x與基1,x,x,,x

2

n

2

n1

d

f(x)dx

下的矩陣表示為

《矩陣分析》(第3版)北京理工大學(xué)出版社,課后習(xí)題答案,整理出來的,比較實(shí)用。

00D

00

1-37解：

100

020

00n000(n1)(n1)

xx1

S(1)dtx,S(x)tdtx2,

002x1

S(x2)t2dtx3,,

03S(x

n1

xn11)tdtxn

0n

于是所求矩陣為

010S

0

0000

1

0

2

10

n(n1)n

3

3

1-38解：(1)核子空間就是求XR滿足A(x)0，由于XR.故

x1

,3)xX(α1,α2α2

x3

于是

x1x1

A(x)A(α1,α2,α3)x2(β1,β2)Ax2x3x3

所以所求X的坐標(biāo)x1,x2,x3應(yīng)是齊次方程組

x1

111

x20

012x

3

的解空間，求的它的基礎(chǔ)解系為

《矩陣分析》(第3版)北京理工大學(xué)出版社,課后習(xí)題答案,整理出來的,比較實(shí)用。

x13,x22,x31

因此核子空間N(A)的基是x1α1x2α2x3α33α12α2α3(5,4,4)T,dimN(A)1.

注：N(A)的基不是(3,2,1)T.而是3α12α2α3.為什么？N(A)的基是(3,2,1)T.(2)A的值域

R(A)span{A(α1),A(α2),A(α3)}

span{β1,β1β2,β12β2}span{β1,β1β2}span{β1,β2}R2

1-39解：(1)不難求得

A(α1)α1α1α2

A(α2)α2α1α2α3A(α3)α3