斐波那契數(shù)列與黃金分割講義

斐波那契數(shù)列與黃金分割講義第1頁(yè)/共115頁(yè)2我們先來(lái)做一個(gè)游戲！第2頁(yè)/共115頁(yè)3十秒鐘加數(shù)請(qǐng)用十秒，計(jì)算出左邊一列數(shù)的和。

1

2

3

5

8

13

21

34

55

+ 89 ??時(shí)間到！答案是231。第3頁(yè)/共115頁(yè)4十秒鐘加數(shù)再來(lái)一次！

34

55

89

144

233

377

610

987

1597

+ 2584 ????時(shí)間到！答案是6710。第4頁(yè)/共115頁(yè)5這與“斐波那契數(shù)列”有關(guān)若一個(gè)數(shù)列，前兩項(xiàng)等于1，而從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)是其前兩項(xiàng)之和，則稱該數(shù)列為斐波那契數(shù)列。即：1,1,2,3,5,8,13,……第5頁(yè)/共115頁(yè)6

一、兔子問(wèn)題和斐波那契數(shù)列

1．兔子問(wèn)題

1）問(wèn)題

——取自意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算盤書(shū)》（1202年）

(L.Fibonacci,1170-1250）

第6頁(yè)/共115頁(yè)7兔子問(wèn)題

假設(shè)一對(duì)初生兔子要一個(gè)月才到成熟期，而一對(duì)成熟兔子每月會(huì)生一對(duì)兔子，那么，由一對(duì)初生兔子開(kāi)始，12個(gè)月后會(huì)有多少對(duì)兔子呢？第7頁(yè)/共115頁(yè)8解答

1月

1對(duì)第8頁(yè)/共115頁(yè)9解答

1月 1對(duì)

2月 1

對(duì)第9頁(yè)/共115頁(yè)10解答

1月 1對(duì)

2月 1對(duì)

3月 2對(duì)第10頁(yè)/共115頁(yè)11解答

1月 1對(duì)

2月 1對(duì)

3月 2對(duì)

4月 3對(duì)第11頁(yè)/共115頁(yè)12解答

1月 1對(duì)

2月 1對(duì)

3月 2對(duì)

4月 3對(duì)

5月 5對(duì)第12頁(yè)/共115頁(yè)13解答

1月 1對(duì)

2月 1對(duì)

3月 2對(duì)

4月 3對(duì)

5月 5對(duì)

6月 8對(duì)第13頁(yè)/共115頁(yè)14解答

1月 1對(duì)

2月 1對(duì)

3月 2對(duì)

4月 3對(duì)

5月 5對(duì)

6月 8對(duì)

7月 13對(duì)第14頁(yè)/共115頁(yè)15解答可以將結(jié)果以列表形式給出：1月2月3月5月4月6月7月8月9月11月10月12月1123581321345589144因此，斐波那契問(wèn)題的答案是144對(duì)。以上數(shù)列，即“斐波那契數(shù)列”第15頁(yè)/共115頁(yè)16

兔子問(wèn)題的另外一種提法：第一個(gè)月是一對(duì)大兔子，類似繁殖；到第十二個(gè)月時(shí)，共有多少對(duì)兔子？月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ

大兔對(duì)數(shù)1123581321345589144

小兔對(duì)數(shù)01123581321345589

到十二月時(shí)有大兔子144對(duì)，小兔子89對(duì)，共有兔子144+89=233對(duì)。規(guī)律第16頁(yè)/共115頁(yè)17

2．斐波那契數(shù)列

1）公式用表示第個(gè)月大兔子的對(duì)數(shù)，則有二階遞推公式

第17頁(yè)/共115頁(yè)18

2）斐波那契數(shù)列令n=1,2,3,…依次寫出數(shù)列，就是

1，1，2，3，5，8，13，21，34，

55，89，144，233，377，…

這就是斐波那契數(shù)列。其中的任一個(gè)數(shù)，都叫斐波那契數(shù)。

第18頁(yè)/共115頁(yè)19[思]：請(qǐng)構(gòu)造一個(gè)3階遞推公式。第19頁(yè)/共115頁(yè)20

二、相關(guān)的問(wèn)題

斐波那契數(shù)列是從兔子問(wèn)題中抽象出來(lái)的，如果它在其它方面沒(méi)有應(yīng)用，它就不會(huì)有強(qiáng)大的生命力。發(fā)人深省的是，斐波那契數(shù)列確實(shí)在許多問(wèn)題中出現(xiàn)。第20頁(yè)/共115頁(yè)211．跳格游戲

第21頁(yè)/共115頁(yè)22

如圖，一個(gè)人站在“梯子格”的起點(diǎn)處向上跳，從格外只能進(jìn)入第1格，從格中，每次可向上跳一格或兩格，問(wèn)：可以用多少種方法，跳到第n格？解：設(shè)跳到第n格的方法有種。由于他跳入第1格，只有一種方法；跳入第2格，必須先跳入第1格，所以也只有一種方法，從而第22頁(yè)/共115頁(yè)23

而能一次跳入第n格的，只有第和第兩格，因此，跳入第格的方法數(shù)，是跳入第格的方法數(shù)，加上跳入第格的方法數(shù)之和。即。綜合得遞推公式

容易算出，跳格數(shù)列就是斐波那契數(shù)列

1，1，2，3，5，8，13，21，34，…第23頁(yè)/共115頁(yè)242．連分?jǐn)?shù)

這不是一個(gè)普通的分?jǐn)?shù)，而是一個(gè)分母上有無(wú)窮多個(gè)“1”的繁分?jǐn)?shù)，我們通常稱這樣的分?jǐn)?shù)為“連分?jǐn)?shù)”。第24頁(yè)/共115頁(yè)25

上述連分?jǐn)?shù)可以看作是中，把的表達(dá)式反復(fù)代入等號(hào)右端得到的；例如，第一次代入得到的是

反復(fù)迭代，就得到上述連分?jǐn)?shù)。第25頁(yè)/共115頁(yè)26

上述這一全部由1構(gòu)成的連分?jǐn)?shù)，

是最簡(jiǎn)單的一個(gè)連分?jǐn)?shù)。第26頁(yè)/共115頁(yè)27

通常，求連分?jǐn)?shù)的值，如同求無(wú)理數(shù)的值一樣，我們常常需要求它的近似值。如果把該連分?jǐn)?shù)從第條分?jǐn)?shù)線截住，即把第條分?jǐn)?shù)線上、下的部分都刪去，就得到該連分?jǐn)?shù)的第次近似值，記作。第27頁(yè)/共115頁(yè)28

對(duì)照可算得

第28頁(yè)/共115頁(yè)29

發(fā)現(xiàn)規(guī)律后可以改一種方法算，

例如順序排起來(lái)，這個(gè)連分?jǐn)?shù)的近似值逐次為

第29頁(yè)/共115頁(yè)303．黃金矩形

1）定義：一個(gè)矩形，如果從中裁去一個(gè)最大的正方形，剩下的矩形的寬與長(zhǎng)之比，與原矩形的一樣（即剩下的矩形與原矩形相似），則稱具有這種寬與長(zhǎng)之比的矩形為黃金矩形。黃金矩形可以用上述方法無(wú)限地分割下去。第30頁(yè)/共115頁(yè)31第31頁(yè)/共115頁(yè)32

2）試求黃金矩形的寬與長(zhǎng)之比（也稱為黃金比）解：設(shè)黃金比為，則有將變形為，解得，其正根為。

第32頁(yè)/共115頁(yè)333）與斐波那契數(shù)列的聯(lián)系

為討論黃金矩形與斐波那契數(shù)列的聯(lián)系，我們把黃金比化為連分?jǐn)?shù)，去求黃金比的近似值?；B分?jǐn)?shù)時(shí)，沿用剛才“迭代”的思路：

第33頁(yè)/共115頁(yè)34

反復(fù)迭代，得

第34頁(yè)/共115頁(yè)35

它竟然與我們?cè)谏隙沃醒芯康倪B分?jǐn)?shù)一樣！因此，黃金比的近似值寫成分?jǐn)?shù)表達(dá)的數(shù)列，也是，其分子、分母都由斐波那契數(shù)列構(gòu)成。并且，這一數(shù)列的極限就是黃金比。第35頁(yè)/共115頁(yè)36

三、黃金分割

1．定義：把任一線段分割成兩段，使，這樣的分割叫黃金分割，這樣的比值叫黃金比。（可以有兩個(gè)分割點(diǎn)）

1小段大段第36頁(yè)/共115頁(yè)372．求黃金比解：設(shè)黃金比為，不妨設(shè)全段長(zhǎng)為

1，則大段=，小段=。故有，

解得，其正根為

AB

小段大段第37頁(yè)/共115頁(yè)38

3．黃金分割的尺規(guī)作圖

設(shè)線段為。作，且，連。作交于，再作交于，則，即為的黃金分割點(diǎn)。第38頁(yè)/共115頁(yè)39

證：不妨令，則，，，

證完。第39頁(yè)/共115頁(yè)404.黃金分割的美黃金分割之所以稱為“黃金”分割，是比喻這一“分割”如黃金一樣珍貴。黃金比，是工藝美術(shù)、建筑、攝影等許多藝術(shù)門類中審美的因素之一。認(rèn)為它表現(xiàn)了恰到好處的“合諧”。例如:第40頁(yè)/共115頁(yè)411）人體各部分的比肚臍：（頭—腳）印堂穴：（口—頭頂）肘關(guān)節(jié)：（肩—中指尖）膝蓋：（髖關(guān)節(jié)—足尖）第41頁(yè)/共115頁(yè)422）著名建筑物中各部分的比

如埃及的金字塔，高（137米）與底邊長(zhǎng)（227米）之比為0.629古希臘的巴特農(nóng)神殿，塔高與工作廳高之比為340∶553≈0.615第42頁(yè)/共115頁(yè)43

3）美觀矩形的寬長(zhǎng)比如國(guó)旗和其它用到矩形的地方（建筑、家具）

4）風(fēng)景照片中，地平線位置的安排

第43頁(yè)/共115頁(yè)445）正五角星中的比

第44頁(yè)/共115頁(yè)456）舞臺(tái)報(bào)幕者的最佳站位在整個(gè)舞臺(tái)寬度的0.618處較美

7）小說(shuō)、戲劇的高潮出現(xiàn)

在整個(gè)作品的0.618處較好第45頁(yè)/共115頁(yè)46

四、優(yōu)選法

1．華羅庚的優(yōu)選法（“0.618法”）二十世紀(jì)六十年代，華羅庚創(chuàng)造了并證明了優(yōu)選法，還用很大的精力去推廣優(yōu)選法?！皟?yōu)選法”，即對(duì)某類單因素問(wèn)題，用最少的試驗(yàn)次數(shù)找到“最佳點(diǎn)”的方法。第46頁(yè)/共115頁(yè)47

例如，煉鋼時(shí)要摻入某種化學(xué)元素加大鋼的強(qiáng)度，摻入多少最合適？假定已經(jīng)知道每噸鋼加入該化學(xué)元素的數(shù)量大約應(yīng)在1000克到2000克之間，現(xiàn)求最佳加入量，誤差不得超過(guò)1克。最“笨”的方法是分別加入100克，1002克，…，1000克，做1千次試驗(yàn)，就能發(fā)現(xiàn)最佳方案。第47頁(yè)/共115頁(yè)48

一種動(dòng)腦筋的辦法是二分法，取1000克2000克的中點(diǎn)1500克。再取進(jìn)一步二分法的中點(diǎn)1250克與1750克，分別做兩次試驗(yàn)。如果1750克處效果較差，就刪去1750克到2000克的一段，如果1250克處效果較差，就刪去1000克到1250克的一段。再在剩下的一段中取中點(diǎn)做試驗(yàn)，比較效果決定下一次的取舍，這種“二分法”會(huì)不斷接近最好點(diǎn)，而且所用的試驗(yàn)次數(shù)與上法相比，大大減少。第48頁(yè)/共115頁(yè)49

表面上看來(lái)，似乎這就是最好的方法。但華羅庚證明了，每次取中點(diǎn)的試驗(yàn)方法并不是最好的方法；每次取試驗(yàn)區(qū)間的0.618處去做試驗(yàn)的方法，才是最好的，稱之為“優(yōu)選法”或“0.618法”。華羅庚證明了，這可以用較少的試驗(yàn)次數(shù)，較快地逼近最佳方案。第49頁(yè)/共115頁(yè)502．黃金分割點(diǎn)的再生性和“折紙法”

①黃金分割點(diǎn)的再生性第50頁(yè)/共115頁(yè)51

即：如果是的黃金分割點(diǎn)，是的黃金分割點(diǎn)，與當(dāng)然關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱。特殊的是，又恰是的黃金分割點(diǎn)。同樣，如果是的黃金分割點(diǎn)，則又恰是的黃金分割點(diǎn)，等等，一直延續(xù)下去。再生第51頁(yè)/共115頁(yè)52

②尋找最優(yōu)方案的“折紙法”

根據(jù)黃金分割點(diǎn)的再生性，我們可以設(shè)計(jì)一種直觀的優(yōu)選法——“折紙法”。仍以上邊“在鋼水中添加某種元素”的問(wèn)題為例。

第52頁(yè)/共115頁(yè)53

用一個(gè)有刻度的紙條表達(dá)1000克—2000克。在這紙條長(zhǎng)度的0.618的地方劃一條線，在這條線所指示的刻度上做一次試驗(yàn)，也就是按1618克做第一次試驗(yàn)。然后把紙條對(duì)折，前一條線落在下一層紙的地方，再劃一條線（黃金分割點(diǎn)），這條線在1382克處，再按1382克做第二次試驗(yàn)。第53頁(yè)/共115頁(yè)54

把兩次試驗(yàn)結(jié)果比較，如果1618克的效果較差，我們就把1618克以外的短的一段紙條剪去（如果1382克的效果較差，就把1382克以外的一段紙條剪去）。再把剩下的紙條對(duì)折，紙條上剩下的那條線落在下一層紙的地方，再劃一條線（黃金分割點(diǎn)），這條線在1236克處。第54頁(yè)/共115頁(yè)55

按1236克做第三次試驗(yàn)，再和1382克的試驗(yàn)效果比較，如果1236克的效果較差，我們就把1236克以外的短的一段紙條剪去。再對(duì)折剩下的紙條，找出第四次試驗(yàn)點(diǎn)是1472克。

第55頁(yè)/共115頁(yè)56

按1472克做試驗(yàn)后，與1382克的效果比較，再剪去效果較差點(diǎn)以外的短的一段紙條，再對(duì)折尋找下一次試驗(yàn)點(diǎn)，一次比一次接近我們的需要，直到達(dá)到我們滿意的精確度。第56頁(yè)/共115頁(yè)57

注意，每次剪掉的都是效果較差點(diǎn)以外的短紙條，保留下的是效果較好的部分，而每次留下紙條的長(zhǎng)度是上次長(zhǎng)度的0.618倍。因此，紙條的長(zhǎng)度按0.618的k次方倍逐次減小，以指數(shù)函數(shù)的速度迅速趨于0。所以，“0.618法”可以較快地找到滿意的點(diǎn)。事實(shí)上，當(dāng)紙條長(zhǎng)度已經(jīng)很小時(shí)，紙條上的任一個(gè)點(diǎn)都可以作為“滿意”的點(diǎn)了，因?yàn)樽顑?yōu)點(diǎn)就在紙條上，你取的點(diǎn)與最優(yōu)點(diǎn)的誤差一定小于紙條的長(zhǎng)。第57頁(yè)/共115頁(yè)580.618這個(gè)“黃金比”能產(chǎn)生“優(yōu)選法”，這告訴我們，美的東西與有用的東西之間，常常是有聯(lián)系的。第58頁(yè)/共115頁(yè)593．最優(yōu)化數(shù)學(xué)

生活和生產(chǎn)中提出了大量的優(yōu)化問(wèn)題，它們共同的追求目標(biāo)是：最多、最快、最好、最省。這發(fā)展成一門“最優(yōu)化數(shù)學(xué)”，包括規(guī)化論（線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、幾何規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)則、隨機(jī)規(guī)劃等）、統(tǒng)籌學(xué)、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（優(yōu)選法、多因素正交實(shí)驗(yàn)法、分批實(shí)驗(yàn)法），組合最優(yōu)化等等。第59頁(yè)/共115頁(yè)60

用導(dǎo)數(shù)的方法求極值是用連續(xù)的手段處理最優(yōu)化問(wèn)題，優(yōu)選法“0.618法”則是用離散的手段處理最優(yōu)化問(wèn)題。應(yīng)當(dāng)看到，提出和解決最優(yōu)化問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用到實(shí)踐中去的一條經(jīng)常的重要的途徑。我們以后將要做的“找次品”趣題，也是要最大限度地發(fā)揮天平的作用，用最少的次數(shù)找出次品來(lái)，也是一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題。第60頁(yè)/共115頁(yè)61

五、數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美

數(shù)學(xué)中，“從不同的范疇，不同的途徑，得到同一個(gè)結(jié)果”的情形是屢見(jiàn)不鮮的。這反映了客觀世界的多樣性和統(tǒng)一性，也反映了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。黃金分割點(diǎn)0.618的得到，是一個(gè)能說(shuō)明問(wèn)題的例子第61頁(yè)/共115頁(yè)62

從不同途徑導(dǎo)出黃金比

1．黃金分割：線段的分割點(diǎn)滿足

，這一比值正是。

2．斐波那契數(shù)列組成的分?jǐn)?shù)數(shù)列的極限正是。第62頁(yè)/共115頁(yè)63

3．方程的正根是

4．黃金矩形的寬長(zhǎng)之比正是

5．連分?jǐn)?shù)的值正是

6．優(yōu)選法的試驗(yàn)點(diǎn)，正是

我們看到了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。第63頁(yè)/共115頁(yè)64

六、斐波那契協(xié)會(huì)和《斐波那契季刊》

1．斐波那契協(xié)會(huì)和《斐波那契季刊》

斐波那契1202年在《算盤書(shū)》中從兔子問(wèn)題得到斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，…之后，并沒(méi)有進(jìn)一步探討此序列，并且在19世紀(jì)初以前，也沒(méi)有人認(rèn)真研究過(guò)它。沒(méi)想到過(guò)了幾百年之后，十九世紀(jì)末和二十世紀(jì)，這一問(wèn)題派生出廣泛的應(yīng)用，從而突然活躍起來(lái)，成為熱門的研究課題。第64頁(yè)/共115頁(yè)65

有人比喻說(shuō)，“有關(guān)斐波那契數(shù)列的論文，甚至比斐波那契的兔子增長(zhǎng)得還快”，以致1963年成立了斐波那契協(xié)會(huì)，還出版了《斐波那契季刊》。

第65頁(yè)/共115頁(yè)662．斐波那契生平斐波那契（Fibonacci.L,1175—1250）出生于意大利的比薩。他小時(shí)候就對(duì)算術(shù)很有興趣。后來(lái)，他父親帶他旅行到埃及、敘利亞、希臘（拜占庭）、西西里和普羅旺斯，他又接觸到東方國(guó)家的數(shù)學(xué)。斐波那契確信印度—阿拉伯計(jì)算方法在實(shí)用上的優(yōu)越性。1202年，在回到家里不久，他發(fā)表了著名的《算盤書(shū)》。第66頁(yè)/共115頁(yè)67

斐波那契的才能受到弗里德里希二世的重視，因而被邀請(qǐng)到宮廷參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽。他還曾向官吏和市民講授計(jì)算方法。他的最重要的成果在不定分析和數(shù)論方面，除了《算盤書(shū)》外，保存下來(lái)的還有《實(shí)用幾何》等四部著作。第67頁(yè)/共115頁(yè)683．自然界中的斐波那契數(shù)

斐波那契數(shù)列中的任一個(gè)數(shù)，都叫斐波那契數(shù)。斐波那契數(shù)是大自然的一個(gè)基本模式，它出現(xiàn)在許多場(chǎng)合。下面舉幾個(gè)例子。第68頁(yè)/共115頁(yè)69

1）花瓣數(shù)中的斐波那契數(shù)

大多數(shù)植物的花，其花瓣數(shù)都恰是斐波那契數(shù)。例如，蘭花、茉利花、百合花有3個(gè)花瓣，毛茛屬的植物有5個(gè)花瓣，翠雀屬植物有8個(gè)花瓣，萬(wàn)壽菊屬植物有13個(gè)花瓣，紫菀屬植物有21個(gè)花瓣，雛菊屬植物有34、55或89個(gè)花瓣。第69頁(yè)/共115頁(yè)70花瓣中的斐波那契數(shù)花瓣的數(shù)目海棠（2）鐵蘭（3）第70頁(yè)/共115頁(yè)71洋紫荊（5）蝴蝶蘭（5）黃蟬（5）花瓣中的斐波那契數(shù)花瓣的數(shù)目第71頁(yè)/共115頁(yè)72花瓣中的斐波那契數(shù)花瓣的數(shù)目雛菊（13）雛菊（13）第72頁(yè)/共115頁(yè)732）樹(shù)杈的數(shù)目13853211第73頁(yè)/共115頁(yè)743）向日葵花盤內(nèi)葵花子排列的螺線數(shù)第74頁(yè)/共115頁(yè)75

第75頁(yè)/共115頁(yè)76

向日葵花盤內(nèi)，種子是按對(duì)數(shù)螺線排列的，有順時(shí)針轉(zhuǎn)和逆時(shí)針轉(zhuǎn)的兩組對(duì)數(shù)螺線。兩組螺線的條數(shù)往往成相繼的兩個(gè)斐波那契數(shù)，一般是34和55，大向日葵是89和144，還曾發(fā)現(xiàn)過(guò)一個(gè)更大的向日葵有144和233條螺線，它們都是相繼的兩個(gè)斐波那契數(shù)。第76頁(yè)/共115頁(yè)77

松果種子的排列第77頁(yè)/共115頁(yè)78

松果種子的排列第78頁(yè)/共115頁(yè)79

松果種子的排列第79頁(yè)/共115頁(yè)80菜花表面排列的螺線數(shù)（5-8）第80頁(yè)/共115頁(yè)81

這一模式幾個(gè)世紀(jì)前已被注意到，此后曾被廣泛研究，但真正滿意的解釋直到1993年才給出。這種解釋是：這是植物生長(zhǎng)的動(dòng)力學(xué)特性造成的；相鄰器官原基之間的夾角是黃金角——137.50776度；這使種子的堆集效率達(dá)到最高。第81頁(yè)/共115頁(yè)82

4）斐波那契數(shù)與音樂(lè)3253第82頁(yè)/共115頁(yè)8385第83頁(yè)/共115頁(yè)844．科學(xué)中的斐波那契數(shù)列

1）電路中的斐波那契數(shù)列如下圖那樣專門設(shè)計(jì)的電路，表示的都是1歐姆的電阻，最后一個(gè)分支中的電流為1安培，則加在電阻上的電壓（從右至左）恰好是斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，…第84頁(yè)/共115頁(yè)85加在電阻上的電壓，從右至左，恰是斐波那契數(shù)列

1，1，2，3，5，8，13，21,…………第85頁(yè)/共115頁(yè)86

2）通過(guò)面對(duì)面的玻璃板的斜光線的

不同路線條數(shù)

反射次數(shù)為0的光線以唯一的一種路線通過(guò)玻璃板；反射次數(shù)為1的光線可以以2種路線通過(guò)玻璃板；反射次數(shù)為2的光線可以以3種路線通過(guò)玻璃板；反射次數(shù)為3的光線可以以5種路線通過(guò)玻璃板；反射次數(shù)為的光線可以以種路線通過(guò)玻璃板；第86頁(yè)/共115頁(yè)87

3）股票指數(shù)增減的“波浪理論”

①完整周期3上2下（或5上3下或3上5下），常是相繼兩斐波那契數(shù)；②每次股指增長(zhǎng)幅度（8，13等）或回調(diào)幅度（8，5），常是相繼兩斐波那契數(shù)。股指變化有無(wú)規(guī)律？回答是肯定的。第87頁(yè)/共115頁(yè)88第88頁(yè)/共115頁(yè)89

1934年美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家艾略特在通過(guò)大量資料分析、研究后，發(fā)現(xiàn)了股指增減的微妙規(guī)律，并提出了頗有影響的“波浪理論”。該理論認(rèn)為：股指波動(dòng)的一個(gè)完整過(guò)程（周期）是由波形圖（股指變化的圖象）上的5（或8）個(gè)波組成，其中3上2下（或5上3下），如圖，無(wú)論從小波還是從大波波形上看，均如此。注意這兒的2、3、5、8均系斐波那契數(shù)列中的數(shù)。第89頁(yè)/共115頁(yè)90

同時(shí)，每次股指的增長(zhǎng)幅度常循斐波那契數(shù)列中數(shù)字規(guī)律完成。比如：如果某日股指上升8點(diǎn)，則股指下一次攀升點(diǎn)數(shù)為13；若股指回調(diào)，其幅度應(yīng)在5點(diǎn)左右。顯然，5、8、13為斐氏數(shù)列的相鄰三項(xiàng)。第90頁(yè)/共115頁(yè)91第91頁(yè)/共115頁(yè)92

可以說(shuō)，斐波那契以他的兔子問(wèn)題，猜中了大自然的奧秘，而斐波那契數(shù)列的種種應(yīng)用，是這個(gè)奧秘的不同體現(xiàn)。妙哉數(shù)學(xué)！第92頁(yè)/共115頁(yè)935．推廣的斐波那契數(shù)列—盧卡斯數(shù)列

1）盧卡斯數(shù)列盧卡斯（Lucas，F(xiàn).E.A.1824-1891）構(gòu)造了一類更值得研究的數(shù)列，現(xiàn)被稱為“推廣的斐波那契數(shù)列”，第93頁(yè)/共115頁(yè)94

即從任何兩個(gè)正整數(shù)開(kāi)始，往后的每一個(gè)數(shù)是其前兩個(gè)數(shù)之和，由此構(gòu)成無(wú)窮數(shù)列。此即，二階遞推公式中，遞推式與前面一樣，而起始整數(shù)可任取。第94頁(yè)/共115頁(yè)95

斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，…是這類數(shù)列中最簡(jiǎn)單的一個(gè)，起始整數(shù)分別取為1、1。次簡(jiǎn)單的為1，3，4，7，11，18，…現(xiàn)稱之為盧卡斯數(shù)列。盧卡斯數(shù)列的通項(xiàng)公式是

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推廣的斐波那契數(shù)列與斐波那契數(shù)列一樣，與黃金分割有密切的聯(lián)系：該數(shù)列相鄰兩數(shù)之比，交替地大于或小于黃金比；并且，兩數(shù)之比的差隨項(xiàng)數(shù)的增加而越來(lái)越小，趨近于0，從而這個(gè)比存在極限；而且這個(gè)比的極限也是黃金比。

第96頁(yè)/共115頁(yè)97類似于前面提到的數(shù)列

其極限也是第97頁(yè)/共115頁(yè)982）用斐波那契數(shù)列及其推廣變魔術(shù)

①讓觀眾從你寫出的斐波那契數(shù)列中任意選定連續(xù)的十個(gè)數(shù)，你能很快說(shuō)出這些數(shù)的和。

其實(shí)有公式：這個(gè)和，就是所選出的十個(gè)數(shù)中第七個(gè)數(shù)的11倍。1123581321345589144233377610987…第98頁(yè)/共115頁(yè)99“十秒鐘加數(shù)”的秘密數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)：連續(xù)

10個(gè)斐波那契數(shù)之和，必定等于第

7個(gè)數(shù)的11倍！

1

2

3

5

8

13

21

34

55

+ 89 ??所以右式的答案是：

2111=231第99頁(yè)/共115頁(yè)100“十秒鐘加數(shù)”的秘密又例如：右式的答案是：

34

55

89

144

233

377

610

987

1597

+ 2584 ????

61011=6710第100頁(yè)/共115頁(yè)101

②讓觀眾從你寫出推廣的斐波那契數(shù)列中任何地方劃一條線，你能迅速說(shuō)出“這條線之前所有各數(shù)”的和。其實(shí)有公式：前項(xiàng)和=表示盧卡斯數(shù)列的第項(xiàng)。

(請(qǐng)大家課下自己制作)第101頁(yè)/共115頁(yè)102

6．斐波那契