流函數(shù)勢(shì)函數(shù)第一章

流函數(shù)勢(shì)函數(shù)第一章第1頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期日一、速度勢(shì)函數(shù)①定義（速度勢(shì)函數(shù)的引入及存在條件）流體運(yùn)動(dòng)無(wú)旋流動(dòng)渦旋流動(dòng)否則，則稱之為渦旋流動(dòng)：如果在流體域內(nèi)渦度為零，即:

無(wú)旋流動(dòng)；第2頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期日據(jù)矢量分析知識(shí)，任意一函數(shù)的梯度，取旋度恒等于零：對(duì)于無(wú)旋流動(dòng)，必定存在一個(gè)函數(shù)滿足如：

或無(wú)旋流動(dòng)，其速度矢總可以用函數(shù)的梯度來(lái)表示，把函數(shù)叫做速度的（位）勢(shì)函數(shù)，可以用這個(gè)函數(shù)來(lái)表示無(wú)旋流動(dòng)的流場(chǎng)。

通常將無(wú)旋流動(dòng)稱為有勢(shì)流動(dòng)或勢(shì)流。第3頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期日而引進(jìn)了勢(shì)函數(shù)后：②引入勢(shì)函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)流速矢描述流體運(yùn)動(dòng)含有三個(gè)變量；需要給定三個(gè)變量刻畫流體的運(yùn)動(dòng)情況。只要一個(gè)變量（勢(shì)函數(shù)）就可以來(lái)描述流體運(yùn)動(dòng)，大大地減少了描寫流體運(yùn)動(dòng)所需的變量，簡(jiǎn)化了問(wèn)題。第4頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期日由流速場(chǎng)與勢(shì)函數(shù)的關(guān)系可知：流速矢與等位勢(shì)面相垂直，由高位勢(shì)流向低位勢(shì)，等位勢(shì)面緊密處，位勢(shì)梯度大，相應(yīng)的流速大；等位勢(shì)面稀疏處，位勢(shì)梯度小，相應(yīng)的流速小。③用勢(shì)函數(shù)來(lái)描述流體運(yùn)動(dòng)對(duì)于某一固定時(shí)刻=常數(shù)為一空間曲面，稱為等勢(shì)函數(shù)面或者等位勢(shì)面。上式取不同常數(shù)不同的等位勢(shì)面等位勢(shì)面族。第5頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例1-6-1

已知流體作無(wú)旋運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的等勢(shì)函數(shù)線分布如圖所示（其中，<<）的，請(qǐng)判斷并在圖中標(biāo)出A、B兩處流體速度的方向，并比較A、B

兩處流速的大小。第6頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期日④勢(shì)函數(shù)的求解 假如流體的散度為：

根據(jù)勢(shì)函數(shù)的定義有：

其中，為三維拉普拉斯算子。 可以看出，如果給定D，通過(guò)求解泊松（Poisson）方程，即可求得勢(shì)函數(shù)。第7頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期日求解勢(shì)函數(shù)的具體方法（僅考慮二維的情況）：（2）如已知速度場(chǎng)，可以先求出D，然后再求解泊松方程，最終得到勢(shì)函數(shù)。

（1）如已知D，直接求解泊松（Poisson）方程，可得勢(shì)函數(shù)。第8頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期日①定義及存在條件

二、速度流函數(shù)考慮二維無(wú)輻散流動(dòng)，即滿足：其流線方程為：無(wú)輻散流輻散流流體運(yùn)動(dòng)引入流體散度的概念之后，可將流體運(yùn)動(dòng)分為：第9頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期日根據(jù)格林積分公式（平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件）可知，滿足無(wú)輻散條件下:流速與該函數(shù)滿足：矢量形式：第10頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期日 積分以上的全微分形式，可以得到：

=常數(shù)上式所描述的曲線就是流線，當(dāng)然，它也是函數(shù)的等值線。將以上引進(jìn)的函數(shù)稱之為流函數(shù)，而流線也就是等流函數(shù)線。對(duì)某一固定的時(shí)刻：一空間曲線－－流線方程積分曲線。流速與該函數(shù)的關(guān)系－－－曲線的切線方向與流速矢的方向是相吻合的。第11頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（2）表征流體通量

在流體中任取一條有向曲線AB，順著該有向曲線流體自右側(cè)向左側(cè)的通量Q：曲線法向方向的單位矢量定義為： 而：②引入流函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)流速在曲線法向方向上的分量（1）減少表征流動(dòng)的變量AB第12頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期日引用流函數(shù)，并考慮：或表明:經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)為端點(diǎn)的任何曲線的流體通量，決定于該兩點(diǎn)的流函數(shù)差，而與曲線的長(zhǎng)度和形狀無(wú)關(guān)。

用流函數(shù)可以來(lái)方便地表征無(wú)輻散場(chǎng)的流體通量。第13頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期日同樣，求解流函數(shù)的方法為：（1）已知渦度，直接求解泊松（Poisson）方程；（2）已知速度場(chǎng)，先求出渦度，然后求解泊松方程。（3）表征流體渦度 由渦度的定義 ，可得到用流函數(shù)來(lái)表示的渦度表達(dá)式： 可見，對(duì)流函數(shù)取拉普拉斯運(yùn)算即可得到流體的渦度。第14頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期日三、二維流動(dòng)一般二維流動(dòng)，既不滿足無(wú)旋條件，也不滿足無(wú)輻散條件，流動(dòng)是有旋有輻散的。此時(shí)，其渦度和散度均不為零，即滿足：

①無(wú)輻散渦旋流②無(wú)旋輻散流①②第15頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期日上式為大氣動(dòng)力學(xué)中廣泛采用的形式。

第16頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期日習(xí)題1-6-1

已知二維流速場(chǎng)為：分別求勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)存在的條件。

習(xí)題1-6-2

請(qǐng)問(wèn)是否存在既滿足無(wú)輻散條件又滿足無(wú)旋條件的流動(dòng)？如存在，請(qǐng)舉例說(shuō)明。

①②課后習(xí)題第17頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期日習(xí)題1-6-3

請(qǐng)證明無(wú)輻散的平面無(wú)旋流動(dòng)：（1）流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)（滿足二維拉普拉斯方程)（2）等勢(shì)函數(shù)線和等流函數(shù)線正交。習(xí)題1-6-4平面流動(dòng)的流線方程為：；由流函數(shù)全微分；當(dāng)取常值時(shí)，也可以得到試問(wèn)兩式是否等價(jià)？請(qǐng)說(shuō)明理由？第18頁(yè)，共19頁(yè)，