現(xiàn)代控制理論-

現(xiàn)代控制理論-第1頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日課程的基本問題基本要求考核成績：期末考試確定，滿分100分上課要求：希望認(rèn)真聽課作業(yè)：希望認(rèn)真完成作業(yè)，但不記成績教材及參考書現(xiàn)代控制理論主編王金城化學(xué)工業(yè)出版社現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)主編梁慧冰機(jī)械工業(yè)出版社教學(xué)內(nèi)容（前五章）

1控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間運(yùn)動(dòng)分析3線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性——李雅普諾夫第二方法5線性控制系統(tǒng)的綜合

6現(xiàn)代控制理論專題2第2頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.1引言1.2狀態(tài)空間描述1.3狀態(tài)空間描述的狀態(tài)變量圖1.4狀態(tài)空間描述的建立1.5化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述1.6離散系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的建立1.7線性變換1.8由狀態(tài)空間描述求傳遞函數(shù)陣1控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述3第3頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.1引言經(jīng)典控制理論的發(fā)展和完善時(shí)代：從1932年奈魁斯特（H.Nyquist）發(fā)表反饋放大器的頻率域穩(wěn)定性論文起，到二十世紀(jì)五十年代末。現(xiàn)代控制理論的形成和發(fā)展時(shí)代：從二十世紀(jì)五十年代末開始，其標(biāo)志性成果：1956年龐特里雅金（L.S.Pontryagin）的極大值原理1957年貝爾曼（R.Bellman）的動(dòng)態(tài)規(guī)劃理論1961年卡爾曼（R.E.Kalman）的線性遞推濾波理論其中，狀態(tài)空間的概念和方法的引入，則起了重要的推動(dòng)作用。4第4頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日研究對(duì)象：線性與非線性系統(tǒng)、定常與時(shí)變系統(tǒng)、單變量與多變量系統(tǒng)、連續(xù)與離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)上：狀態(tài)空間法（輸入-狀態(tài)-輸出）方法上：研究系統(tǒng)輸入/輸出特性和內(nèi)部性能內(nèi)容上：線性系統(tǒng)理論（基礎(chǔ)）、系統(tǒng)辨識(shí)、最優(yōu)控制、自適應(yīng)控制等1.1引言5第5頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日狀態(tài)變量是指能夠完全描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的且數(shù)量最少的一組變量。完全描述是指，如果給定了t=t0時(shí)刻這組變量的值，和t≥t0時(shí)的輸入信號(hào)，那么系統(tǒng)在t≥t0的任何瞬時(shí)的行為就完全確定了。數(shù)量最少是指反映系統(tǒng)狀態(tài)的一組獨(dú)立的變量。1.2狀態(tài)空間描述1．2．1狀態(tài)和狀態(tài)空間狀態(tài)和狀態(tài)空間長久以來就在描述質(zhì)點(diǎn)和剛體運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典動(dòng)力學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用。在經(jīng)典控制理論中所討論過的相平面，就是一個(gè)特殊的二維狀態(tài)空間。狀態(tài)所謂狀態(tài)，是指系統(tǒng)過去、現(xiàn)在和將來的狀況。一個(gè)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，它的狀態(tài)就是各時(shí)刻的位置與速度一個(gè)RLC電路，它的狀態(tài)就是各時(shí)刻電感電流與電容電壓6第6頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日狀態(tài)向量以狀態(tài)變量為分量組成的向量稱為狀態(tài)向量。設(shè)x1(t),x2(t),…,xn(t)是系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量，則狀態(tài)向量就是以這組狀態(tài)變量為分量的向量，記為1.2狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間以x1(t),x2(t),…,xn(t)為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的n維歐式空間稱為狀態(tài)空間。狀態(tài)空間中每一點(diǎn)都代表一個(gè)特定狀態(tài)。系統(tǒng)t≥t0各時(shí)刻的狀態(tài)構(gòu)成狀態(tài)空間中一條軌跡。7第7頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1．2．2被控過程的狀態(tài)空間描述1.2狀態(tài)空間描述被控過程的輸出特性是簡單的函數(shù)關(guān)系，可表為

j=1,2,…,m被控過程的動(dòng)力學(xué)特性，可用n個(gè)一階常微分方程組來描述

i=1,2,…,n

u1(t),u2(t),…,ur(t)為控制變量,即輸入變量x1(t),x2(t),…,xn(t)為狀態(tài)變量y1(t),y2(t),…,ym(t)為輸出變量,可直接測(cè)量,故也稱為量測(cè)變量8第8頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.2狀態(tài)空間描述引入向量函數(shù)

狀態(tài)空間描述（狀態(tài)空間表達(dá)式）狀態(tài)方程輸出方程令9第9頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.2狀態(tài)空間描述用矩陣方程表示如果所描述過程是線性的10第10頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.2狀態(tài)空間描述A(t)為系統(tǒng)矩陣，n×n維；B(t)為控制矩陣，n×r維；

C(t)為輸出矩陣，m×n維，D(t)為傳遞矩陣,m×r維。

簡記為S(A,B,C,D)如果系統(tǒng)是線性定常系統(tǒng)其中A，B，C，D分別為常數(shù)矩陣11第11頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.2狀態(tài)空間描述1．2．3非線性狀態(tài)空間描述的線性化考察系統(tǒng)在x0=x(t0)附近的運(yùn)動(dòng)，且對(duì)于x0和u0有將f和g在x0，u0處進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，則有式中其中f，g是x，u的非線性函數(shù)。實(shí)際的控制系統(tǒng)總是非線性的，即12第12頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.2狀態(tài)空間描述用增量表示令忽略a，b，則有13第13頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.2狀態(tài)空間描述例試求下列非線性系統(tǒng)在x0=0和u0=1處的線性化方程。解由狀態(tài)方程和輸出方程得于是14第14頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.3狀態(tài)空間描述的狀態(tài)變量圖

狀態(tài)變量圖的圖形符號(hào)

加法器比例器積分器帶初始條件積分器

狀態(tài)空間描述的一般形式向量信號(hào)15第15頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日三階系統(tǒng)微分方程

1.3狀態(tài)空間描述的狀態(tài)變量圖

一階系統(tǒng)微分方程16第16頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.4狀態(tài)空間描述的建立

從系統(tǒng)的機(jī)理出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖建立對(duì)系統(tǒng)的微分方程或傳遞函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換建立方法例試列寫RLC網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)空間描述，以電流i2為輸出。解此網(wǎng)絡(luò)的貯能元件有電感L1，L2和電容C，考慮到i1，i2和uc這三個(gè)變量是獨(dú)立的，故可選它們?yōu)闋顟B(tài)變量。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)回路和節(jié)點(diǎn)方程，可得1.4.1從系統(tǒng)的機(jī)理出發(fā)建立狀態(tài)空間描述

17第17頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.4狀態(tài)空間描述的建立

令x1=i1，x2=i2，x3=uc，整理得18第18頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.4狀態(tài)空間描述的建立

例列寫以M1和M2的位移y1和y2為輸出的狀態(tài)空間描述。解彈簧和質(zhì)量塊是貯能單元，可選擇位移y1、y2和速度v1、v2為狀態(tài)變量。19第19頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.4狀態(tài)空間描述的建立

令x1=y1，x2=y2，，及u=f式中xT=[x1

x2

x3

x4]，yT=[y1

y2]

20第20頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.4狀態(tài)空間描述的建立

1.4.2從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖出發(fā)建立狀態(tài)空間描述例某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖,試求其狀態(tài)空間描述。21第21頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.4狀態(tài)空間描述的建立

對(duì)于傳遞函數(shù)中含有零點(diǎn)的環(huán)節(jié)，需變換成真分式真分式

22第22頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.5化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述

考慮一個(gè)單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng)，它的運(yùn)動(dòng)方程是一個(gè)n階線性常系數(shù)微分方程:其傳遞函數(shù)為目的是尋求一個(gè)狀態(tài)空間描述與之對(duì)應(yīng)當(dāng)m<n時(shí)，d=0。而當(dāng)m=n時(shí)，d=b0≠0

在保證輸入輸出關(guān)系不變前提下，可以有多種的A，b，c，d與之對(duì)應(yīng)，而每一種對(duì)應(yīng)就是一種實(shí)現(xiàn)。23第23頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.5化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述

1.5.1能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)

設(shè)單輸入-單輸出控制系統(tǒng)由傳遞函數(shù)描述因m=n-1，即d=0，所以用狀態(tài)變量圖建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，將上式改寫24第24頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.5化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述

25第25頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.5化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述

能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)例試列寫如下二階系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的能控標(biāo)準(zhǔn)形

解將傳遞函數(shù)改寫

友矩陣26第26頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.5化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述

（1）不包含輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的情況設(shè)系統(tǒng)的微分方程為令27第27頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.5化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述

（2）包含輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的情況

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

上式分解為如下兩部分串聯(lián)，并引入中間變量Z(s)

28第28頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.5化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述

1.5.2

能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)重寫系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

構(gòu)造狀態(tài)變量圖29第29頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.5化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述

能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)對(duì)偶關(guān)系能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)30第30頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.5化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述

1.5.3約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)（1）特征根互異情況系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

其中l(wèi)1，l2，…，ln互異。將上式展開成部分分式

31第31頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.5化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述

約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)32第32頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.5化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述

（2）特征根有重根情況設(shè)系統(tǒng)只有l(wèi)1是重根，且重?cái)?shù)為k，其余n-k個(gè)特征根是單根。此時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可寫成33第33頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.5化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述

34第34頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.5化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述

寫成一般形式其中35第35頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.5化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述

1.5.4

多輸入-多輸出系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)以雙輸入-雙輸出二階系統(tǒng)為例。設(shè)系統(tǒng)的微分方程為

對(duì)導(dǎo)數(shù)積分36第36頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.5化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述

37第37頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.6離散系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的建立

周期性采樣線性定常系統(tǒng)的差分方程一般具有如下的形式進(jìn)行Z變換，導(dǎo)出脈沖傳遞函數(shù)（單輸入輸出變量系統(tǒng)）（多輸入輸出多變量系統(tǒng)）38第38頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.7線性變換

1.7.1線性非奇異變換A與是相似矩陣，它們具有相同的基本特性：行列式相同、秩相同、特征多項(xiàng)式相同、特征值相同等

選取不同狀態(tài)變量得到不同狀態(tài)空間描述它們具有相同輸入、相同輸出、相同的狀態(tài)變量維數(shù)式中或39第39頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.7線性變換

例

將如下系統(tǒng)變換為狀態(tài)空間描述對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形解選取非奇異變換陣P為新的狀態(tài)變量是原狀態(tài)變量的線性組合40第40頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.7線性變換

將一般形式的狀態(tài)空間描述變換為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形41第41頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.7線性變換

1.7.2系統(tǒng)的特征值和特征向量（1）系統(tǒng)的特征值

設(shè)A是n×n的矩陣，若存在一非零向量p，有

Ap=lpl稱為A的特征值，p稱為A的對(duì)應(yīng)于特征值l的特征向量。特征多項(xiàng)式將行列式|lI-A|展開 |lI-A|=ln+a

1ln-1+…+an-1l+an

特征方程det(l

I-A)=|lI-A|=0特征方程的根就是特征值l42第42頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.7線性變換

對(duì)于友矩陣l1=-1l2=-2l3=-3

特征多項(xiàng)式為：|lI-A|=ln+a

1ln-1+…+an-1l+an

例43第43頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.7線性變換

（2）系統(tǒng)的不變量與特征值的不變性

系統(tǒng)經(jīng)線性變換后，其特征多項(xiàng)式不變：證明

特征多項(xiàng)式的系數(shù)a

1，a

2，…，an稱為系統(tǒng)的不變量

44第44頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.7線性變換

（3）特征向量的計(jì)算

Ap=lp例

試求矩陣的特征向量解

①根據(jù)|lI-A|=0已計(jì)算出：l1=-1，l2=-2，l3=-3

②計(jì)算對(duì)應(yīng)于l1=-1的特征向量p1按定義Ap1=lp1

設(shè)45第45頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.7線性變換

解出

p12＝0，p11＝p13，令p11＝1，則p13＝1

③同理，可算出l2=-2，l3=-3的特征向量46第46頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.7線性變換

1.7.3將狀態(tài)空間描述變換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形

（1）A陣為任意形式采用線性變換，將變換為（Ⅰ）特征值互異時(shí)

求出li的特征向量pi，i＝1,2,…,n。由pi構(gòu)成變換矩陣P

由于47第47頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.7線性變換

兩邊左乘P-1，得

48第48頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.7線性變換

（Ⅱ）特征值有重根時(shí)設(shè)A有n個(gè)特征值，其中l(wèi)1為k重根，其余為互異根。

49第49頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.7線性變換

即k個(gè)重根

n-k個(gè)單根

也可根據(jù)A矩陣特征方程的第k行的代數(shù)余子式求

50第50頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.7線性變換

例試將矩陣變換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形解A陣的特征方程為下面分別用兩種方法求變換陣P。①根據(jù)遞推方法求解②根據(jù)A矩陣特征方程的代數(shù)余子式求解其特征值為l1=l2=1，l

3=5。51第51頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.7線性變換

①根據(jù)遞推方法求解p13=8為任選

先計(jì)算重根l1=l2=1的特征向量p1

Ap1=l1

p1即52第52頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.7線性變換

再由Ap2=l1p2+p1計(jì)算p2

最后計(jì)算對(duì)應(yīng)于l3=5的特征向量p3：

Ap3=l3p3因此53第53頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.7線性變換

②根據(jù)A矩陣特征方程的代數(shù)余子式求解將行列式按第一行展開，得代數(shù)余子式將l1=1代入，得p11=p12=p13=0，這樣p1=0，不符合要求。故改為按第二行展開

將l1=1代入，得p11=0，p12=0，p13=-3254第54頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.7線性變換

由①法得到：對(duì)于重根l2=1

，有

將l3=5代入代數(shù)余子式，得③將A陣變換成約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形55第55頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.7線性變換

考慮如下系統(tǒng)：