2023年高考數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

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2023年高考數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

2023年高考數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

1.元素與集合的關(guān)系

xAxCUA,xCUAxA.2.德摩根公式

CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.

3.包含關(guān)系

ABAABBABCUBCUAACUBCUABR

4.容斥原理

card(AB)cardAcardBcard(AB)

card(ABC)cardAcardBcardCcard(AB)

card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC).

5．集合{a1,a2,,an}的子集個數(shù)共有2個；真子集有2–1個；非空子集有2–1個；非空的真子集有2n–2個.

6.二次函數(shù)的解析式的三種形式

(1)一般式f(x)axbxc(a0);(2)頂點式f(x)a(xh)k(a0);(3)零點式f(x)a(xx1)(xx2)(a0).7.解連不等式Nf(x)M常有以下轉(zhuǎn)化形式

2

2

nnn

Nf(x)M[f(x)M][f(x)N]0

f(x)NMNMN

0||f(x)

Mf(x)22

11

.

f(x)NMN

8.方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一個實根,與f(k1)f(k2)0不等價,前者是后者的一個必要而不是

充分條件.特別地,方程axbxc0(a0)有且只有一個實根在(k1,k2)內(nèi),等價于f(k1)f(k2)0,或

2

f(k1)0且k1

kk2bk1k2b

,或f(k2)0且1k2.

2a222a

2

9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

二次函數(shù)f(x)axbxc(a0)在閉區(qū)間p,q上的最值只能在x體如下：

(1)當(dāng)a0時，若x

b

處及區(qū)間的兩端點處取得，具2a

bb

p,q，則f(x)minf(),f(x)maxmaxf(p),f(q)；2a2a

b

p,q，f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q).2a

bb

(2)當(dāng)a0時，若xp,q，則f(x)minminf(p),f(q)，若xp,q，則

2a2a

f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q).

x

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10.一元二次方程的實根分布

依據(jù)：若f(m)f(n)0，則方程f(x)0在區(qū)間(m,n)內(nèi)至少有一個實根.設(shè)f(x)x2pxq，則

p24q0

（1）方程f(x)0在區(qū)間(m,)內(nèi)有根的充要條件為f(m)0或p；（2）方程f(x)0在

m2

f(m)0f(n)0f(m)0f(n)02

區(qū)間(m,n)內(nèi)有根的充要條件為f(m)f(n)0或p4q0或或；

af(n)0af(m)0

pmn

2

p24q0

（3）方程f(x)0在區(qū)間(,n)內(nèi)有根的充要條件為f(m)0或p.

m2

11.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)

(1)在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間L（形如,，,，,不同）上含參數(shù)的二次不等式

f(x,t)0(t為參數(shù))恒成立的充要條件是f(x,t)min0(xL).

(2)在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式f(x,t)0(t為參數(shù))恒成立的充要條件是f(x,t)man0(xL).

a0

a042

(3)f(x)axbxc0恒成立的充要條件是b0或2.

c0b4ac0

12.

13.

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14.四種命題的相互關(guān)系

15.充要條件

（1）充分條件：若pq，則p是q充分條件.

（2）必要條件：若qp，則p是q必要條件.

（3）充要條件：若pq，且qp，則p是q充要條件.

注：假使甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.16.函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)x1x2a,b,x1x2那么

f(x1)f(x2)

0f(x)在a,b上是增函數(shù)；

x1x2

f(x1)f(x2)

(x1x2)f(x)f(x)00f(x)在a,b上是減函數(shù).12

x1x2

(2)設(shè)函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，假使f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；假使f(x)0，則f(x)為(x1x2)f(x1)

f(x0)2

減函數(shù).

17.假使函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)f(x)g(x)也是減函數(shù);假使函數(shù)

yf(u)和ug(x)在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)yf[g(x)]是增函數(shù).

18．奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，假使一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；假使一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)．

19.若函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)；若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則

f(xa)f(xa).

20.對于函數(shù)yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,則函數(shù)f(x)的對稱軸是函數(shù)x個函數(shù)yf(xa)與yf(bx)的圖象關(guān)于直線x

ab

;兩2

ab

對稱.2

a

21.若f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(,0)對稱;若f(x)f(xa),則函數(shù)

2

y2a的周期函數(shù).

nn1

22．多項式函數(shù)P(x)anxan1xa0的奇偶性

多項式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)P(x)的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零.多項式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)P(x)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.23.函數(shù)yf(x)的圖象的對稱性

(1)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱f(ax)f(ax)

.f(2ax)f(x)

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(2)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x

ab

對稱f(amx)f(bmx)2

f(abmx)f(mx).

24.兩個函數(shù)圖象的對稱性

(1)函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x0(即y軸)對稱.(2)函數(shù)yf(mxa)與函數(shù)yf(bmx)的圖象關(guān)于直線x

1

ab

對稱.2m

(3)函數(shù)yf(x)和yf(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

25.若將函數(shù)yf(x)的圖象右移a、上移b個單位，得到函數(shù)yf(xa)b的圖象；若將曲線

f(x,y)0的圖象右移a、上移b個單位，得到曲線f(xa,yb)0的圖象.

26．互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關(guān)系

f(a)bf1(b)a.

27.若函數(shù)yf(kxb)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為y

11

[f(x)b],并不是y[f1(kxb),而函數(shù)k

1

y[f1(kxb)是y[f(x)b]的反函數(shù).

k

28.幾個常見的函數(shù)方程

(1)正比例函數(shù)f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.

(2)指數(shù)函數(shù)f(x)a,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

(3)對數(shù)函數(shù)f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).(4)冪函數(shù)f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f(1).

(5)余弦函數(shù)f(x)cosx,正弦函數(shù)g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

'

x

f(0)1,lim

x0

g(x)

1.x

29.幾個函數(shù)方程的周期(約定a0)

（1）f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=a；（2）f(x)f(xa)0，

1

(f(x)0)，f(x)1

或f(xa)(f(x)0),

f(x)

1或f(xa),(f(x)0,1),則f(x)的周期T=2a；2

1

(f(x)0)，則f(x)的周期T=3a；(3)f(x)1

f(xa)

f(x1)f(x2)

(4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，則f(x)的周期T=4a；

1f(x1)f(x2)

(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),則f(x)的周期T=5a；(6)f(xa)f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=6a.

或f(xa)30.分數(shù)指數(shù)冪

(1)a

mn

a0,m,nN，且n1）.

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(2)a

mn

1a

nmn

（a0,m,nN，且n1）.

31．根式的性質(zhì)（1

）a.

（2）當(dāng)n

a；當(dāng)n

|a|32．有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1)aaa

rsr

rsrr

r

s

rs

a,a0

.

a,a0

(a0,r,sQ).

(2)(a)a(a0,r,sQ).

(3)(ab)ab(a0,b0,rQ).

p

注：若a＞0，p是一個無理數(shù)，則a表示一個確定的實數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.

33.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式

logaNbabN(a0,a1,N0).

34.對數(shù)的換底公式

logmN

(a0,且a1,m0,且m1,N0).

logma

nn

推論logamblogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).

mlogaN

35．對數(shù)的四則運算法則

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則(1)loga(MN)logaMlogaN;

M

logaMlogaN;Nn

(3)logaMnlogaM(nR).

(2)loga

2

36.設(shè)函數(shù)f(x)logm(axbxc)(a0),記b4ac.若f(x)的定義域為R,則a0，且0;

2

若f(x)的值域為R,則a0，且0.對于a0的情形,需要單獨檢驗.37.對數(shù)換底不等式及其推廣

1

,則函數(shù)ylogax(bx)a11

(1)當(dāng)ab時,在(0,)和(,)上ylogax(bx)為增函數(shù).

aa11

(為減函數(shù))和上ylog.，(2)當(dāng)ab時,在(0)(,)axbx

aa

若a0,b0,x0,x

推論:設(shè)nm1，p0，a0，且a1，則（1）logmp(np)logmn.（2）logamloganloga38.平均增長率的問題

2

mn

.2

x

假使原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為p，則對于時間x的總產(chǎn)值y，有yN(1p).39.數(shù)列的同項公式與前n項的和的關(guān)系

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n1s1,

an(數(shù)列{an}的前n項的和為sna1a2an).

snsn1,n2

40.等差數(shù)列的通項公式

ana1(n1)ddna1d(nN*)；

其前n項和公式為

n(a1an)n(n1)

na1d22d1

n2(a1d)n.22sn

41.等比數(shù)列的通項公式

ana1qn1

a1n

q(nN*)；q

其前n項的和公式為

a1(1qn)

,q1

sn1q

na,q11

a1anq

,q1

或sn1q.

na,q11

42.等比差數(shù)列an:an1qand,a1b(q0)的通項公式為

b(n1)d,q1

anbqn(db)qn1d；

,q1q1

其前n項和公式為

nbn(n1)d,(q1)

sn.d1qnd

(b)n,(q1)111q

43.分期付款(按揭貸款)

ab(1b)n

每次還款x元(貸款a元,n次還清,每期利率為b).n

(1b)1

44．常見三角不等式（1）若x(0,(2)若x

(0,

2

)，則sinxxtanx.

2

(3)|sinx||cosx|1.

)，則1sinxcosx45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

sin2cos21，tan=

sin

，tancot1.cos

46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式（奇變偶不變，符號看象限）

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n

n(1)2sin,sin()n1

2(1)2cos,

n

n(1)2cos,

cos()n1

2(1)2sin,

47.和角與差角公式sin()

sincoscos;s

cos()coscossin;s

tantan

.tan()

1tantan

sin()sin()sin2sin2(平方正弦公式);cos()cos()cos2sin2.

的象限決定,tanasin

bcos)(輔助角所在象限由點(a,b)

b

).a

48.二倍角公式

.ssin2sinco

cos2c2os2sin

2tan

.tan22

1tan49.三倍角公式

22cos1

.122sin

sin3cos3

3sin

3

4cos

3

4sin

4ssin().sin(

3

3

))

.

3cos

4ccos()cos(

3

3

n(

3

3tant3an

tan3tan2

13tan

50.三角函數(shù)的周期公式

tan.(

3

)

函數(shù)ysinx∈R及函數(shù)ycosx∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期T(x，)(x，)函數(shù)ytan(x)，xk

51.正弦定理

2

；

2

,kZ(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期T

.

abc

2R.sinAsinBsinC

52.余弦定理

a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.

53.面積定理

111

ahabhbchc（ha、hb、hc分別表示a、b、c邊上的高）.222111

（2）SabsinCbcsinAcasinB.

222

（1）S

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(3)SOAB

54.三角形內(nèi)角和定理

在△ABC中，有ABCC(AB)

CAB

2C22(AB).

222

k

55.簡單的三角方程的通解

sinxaxk(1)arcsina(kZ,|a|1).cosxax2karccosa(kZ,|a|1).tanxaxkarctana(kZ,aR).特別地,有

sinsink(1)k(kZ).coscos2k(kZ).

tantank(kZ).

56.最簡單的三角不等式及其解集

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.cosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZ.

cosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.

tanxa(aR)x(karctana,k

2

),kZ.

tanxa(aR)x(k

2

,karctana),kZ.

57.實數(shù)與向量的積的運算律設(shè)λ、μ為實數(shù)，那么

(1)結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分派律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)其次分派律：λ(a+b)=λa+λb.58.向量的數(shù)量積的運算律：(1)ab=ba（交換律）;(2)（a）b=（ab）=ab=a（b）;(3)（a+b）c=ac+bc.59.平面向量基本定理假使e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．60．向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，則ab(b0)x1y2x2y10.53.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)ab=|a||b|cosθ．61.ab的幾何意義

數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．62.平面向量的坐標(biāo)運算

(1)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a+b=(x1x2,y1y2).

(3)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),則ABOBOA(x2x1,y2y1).

(4)設(shè)a=(x,y),R，則a=(x,y).

(2)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a-b=(x1x2,y1y2).

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(5)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則ab=(x1x2y1y2).63.兩向量的夾角公式

cos

(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

64.平面兩點間的距離公式

d

A,B=|AB|(x1,y1)，B(x2,y2)).

65.向量的平行與垂直

設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，則A||bb=λax1y2x2y10.ab(a0)ab=0x1x2y1y20.66.線段的定比分公式

PP2，則設(shè)P112的分點,是實數(shù)，且PP1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是線段PP

x1x2xOP11OP2

OP

yy12y1

1

1

(1t)OP（）.tOPtOP12

1

67.三角形的重心坐標(biāo)公式

△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),則△ABC的重心的坐標(biāo)是

G(

x1x2x3y1y2y3

,).33

68.點的平移公式

'''xxhxxh'

OPOPPP.''

yykyyk

'

注:圖形F上的任意一點P(x，y)在平移后圖形F上的對應(yīng)點為P(x,y)，且PP的坐標(biāo)為(h,k).

'

'

'

'

69.“按向量平移〞的幾個結(jié)論

（1）點P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到點P(xh,yk).

(2)函數(shù)yf(x)的圖象C按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,則C的函數(shù)解析式為yf(xh)k.(3)圖象C按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,若C的解析式y(tǒng)f(x),則C的函數(shù)解析式為

'

'

'

'

'

yf(xh)k.

(4)曲線C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,則C的方程為f(xh,yk)0.(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量依舊為m=(x,y).70.三角形五“心〞向量形式的充要條件

設(shè)O為ABC所在平面上一點，角A,B,C所對邊長分別為a,b,c，則

'

'

222

（1）O為ABC的外心OAOBOC.

（2）O為ABC的重心OAOBOC0.

（3）O為ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.

（4）O為ABC的內(nèi)心aOAbOBcOC0.

（5）O為ABC的A的旁心aOAbOBcOC.

71.常用不等式：

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（1）a,bRa2b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“=〞號)．

ab

當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“=〞號)．2

333

（3）abc3abc(a0,b0,c0).

（2）a,b

R

（4）柯西不等式

(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.

（5）ababab.72.極值定理

已知x,y都是正數(shù)，則有

（1）若積xy是定值p，則當(dāng)xy時和xy有最小值2p；（2）若和xy是定值s，則當(dāng)xy時積xy有最大值推廣已知x,yR，則有(xy)(xy)2xy（1）若積xy是定值,則當(dāng)|xy|最大時,|xy|最大；當(dāng)|xy|最小時,|xy|最小.

（2）若和|xy|是定值,則當(dāng)|xy|最大時,|xy|最?。划?dāng)|xy|最小時,|xy|最大.

73.一元二次不等式axbxc0(或0)(a0,b4ac0)，假使a與axbxc同號，則其解集在兩根之外；假使a與axbxc異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.

x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)；

2

2

2

12s.4

22

2

xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).

74.含有絕對值的不等式當(dāng)a0時，有

xax2aaxa.

2

xax2a2xa或xa.

75.無理不等式（1

f(x)0

g(x)0.

f(x)g(x)

f(x)0

f(x)0

g(x)g(x)0或.

f(x)[g(x)]2g(x)0f(x)0

g(x)g(x)0.

f(x)[g(x)]2

（2

（3

76.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式(1)當(dāng)a1時,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0

logaf(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)

2023年高考數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

(2)當(dāng)0a1時,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0

logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)

77.斜率公式

k

y2y1

（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.

x2x1

78.直線的五種方程

（1）點斜式y(tǒng)y1k(xx1)(直線l過點P1(x1,y1)，且斜率為k)．（2）斜截式y(tǒng)kxb(b為直線l在y軸上的截距).

yy1xx1

(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2)).

y2y1x2x1xy

(4)截距式1(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、b0)

ab

（5）一般式AxByC0(其中A、B不同時為0).

（3）兩點式

79.兩條直線的平行和垂直

(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2①l1||l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21.

(2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不為零,

A1B1C1

；

A2B2C2

②l1l2A1A2B1B20；

①l1||l280.夾角公式

k2k1

|.

1k2k1

(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

ABA2B1

|.(2)tan|12

A1A2B1B2

(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).

(1)tan|

直線l1l2時，直線l1與l2的夾角是81.l1到l2的角公式

.2

k2k1

.

1k2k1

(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

ABA2B1

(2)tan12.

A1A2B1B2

(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).

(1)tan

直線l1l2時，直線l1到l2的角是

.2

2023年高考數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

82．四種常用直線系方程(1)定點直線系方程：經(jīng)過定點P0(x0,y0)的直線系方程為yy0k(xx0)(除直線xx0),其中k是待定的系數(shù);經(jīng)過定點P0(x0,y0)的直線系方程為A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待定的系數(shù)．

(2)共點直線系方程：經(jīng)過兩直線l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交點的直線系方程為

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(除l2)，其中λ是待定的系數(shù)．

(3)平行直線系方程：直線ykxb中當(dāng)斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程．與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBy0(0)，λ是參變量．

(4)垂直直線系方程：與直線AxByC0(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是BxAy0,λ

是參變量．

83.點到直線的距離

84.AxByC0或0所表示的平面區(qū)域

設(shè)直線l:AxByC0，則AxByC0或0所表示的平面區(qū)域是：

若B0，當(dāng)B與AxByC同號時，表示直線l的上方的區(qū)域；當(dāng)B與AxByC異號時，表示直線l

的下方的區(qū)域.簡言之,同號在上,異號在下.

若B0，當(dāng)A與AxByC同號時，表示直線l的右方的區(qū)域；當(dāng)A與AxByC異號時，表示直線l的左方的區(qū)域.簡言之,同號在右,異號在左.

85.(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面區(qū)域

設(shè)曲線C:(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0（A1A2B1B20），則

d

(點P(x0,y0),直線l：AxByC0).

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面區(qū)域是：(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面區(qū)域上下兩部分；(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面區(qū)域上下兩部分.

86.圓的四種方程

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)(yb)r.

22

（2）圓的一般方程xyDxEyF0(DE4F＞0).

2

22

2

2

（3）圓的參數(shù)方程

xarcos

.

ybrsin

（4）圓的直徑式方程(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圓的直徑的端點是A(x1,y1)、B(x2,y2)).87.圓系方程

(1)過點A(x1,y1),B(x2,y2)的圓系方程是

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1x2)]0

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)(axbyc)0,其中axbyc0是直線AB的方程,λ是待定的

系數(shù)．

(2)過直線l:AxByC0與圓C:xyDxEyF0的交點的圓系方程是

2

2

x2y2DxEyF(AxByC)0,λ是待定的系數(shù)．

2222

(3)過圓C1:xyD1xE1yF10與圓C2:xyD2xE2yF20的交點的圓系方程是x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0,λ是待定的系數(shù)．

88.點與圓的位置關(guān)系

點P(x0,y0)與圓(xa)(yb)r的位置關(guān)系有三種

若d

2

2

2

dr點P在圓外;dr點P在圓上;dr點P在圓內(nèi).

2023年高考數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

89.直線與圓的位置關(guān)系

直線AxByC0與圓(xa)(yb)r的位置關(guān)系有三種:

2

2

2

dr相離0;dr相切0;dr相交0.

其中d

AaBbCAB

2

2

.

90.兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，O1O2d

dr1r2外離4條公切線;dr1r2外切3條公切線;

r1r2dr1r2相交2條公切線;dr1r2內(nèi)切1條公切線;0dr1r2內(nèi)含無公切線.

91.圓的切線方程

(1)已知圓xyDxEyF0．

①若已知切點(x0,y0)在圓上，則切線只有一條，其方程是

2

2

D(x0x)E(y0y)

F0.22

D(x0x)E(y0y)

當(dāng)(x0,y0)圓外時,x0xy0yF0表示過兩個切點的切點弦方程．

22

②過圓外一點的切線方程可設(shè)為yy0k(xx0)，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不

x0xy0y

要漏掉平行于y軸的切線．

③斜率為k的切線方程可設(shè)為ykxb，再利用相切條件求b，必有兩條切線．

(2)已知圓xyr．

①過圓上的P0(x0,y0)點的切線方程為x0xy0yr;②斜率為k

的圓的切線方程為ykx222

2

xacosx2y2

92.橢圓221(ab0)的參數(shù)方程是.

abybsin

x2y2

93.橢圓221(ab0)焦半徑公式

ab

a2a2

PF1e(x)，PF2e(x).

cc

94．橢圓的的內(nèi)外部

x2y2

（1）點P(x0,y0)在橢圓221(ab0)的內(nèi)部

abx2y2

（2）點P(x0,y0)在橢圓221(ab0)的外部

ab

95.橢圓的切線方程

22

x0y0

1.a2b222x0y0

21.2ab

xxyyx2y2

(1)橢圓221(ab0)上一點P(x0,y0)處的切線方程是02021.

abab

2023年高考數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

x2y2

（2）過橢圓221(ab0)外一點P(x0,y0)所引兩條切線的切點弦方程是

ab

x0xy0y

21.2ab

x2y222222

（3）橢圓221(ab0)與直線AxByC0相切的條件是AaBbc.

abx2y2

96.雙曲線221(a0,b0)的焦半徑公式

aba2a2

PF1|e(x)|，PF2|e(x)|.

cc

97.雙曲線的內(nèi)外部

x2y2

(1)點P(x0,y0)在雙曲線221(a0,b0)的內(nèi)部

abx2y2

(2)點P(x0,y0)在雙曲線221(a0,b0)的外部

ab

98.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系

22

x0y0

21.2ab22x0y0

21.2ab

x2y2x2y2b

(1）若雙曲線方程為221漸近線方程：220yx.

ababa

22xyxyb

(2)若漸近線方程為yx0雙曲線可設(shè)為22.

ababa

x2y2x2y2

(3)若雙曲線與221有公共漸近線，可設(shè)為22（0，焦點在x軸上，0，焦點在

abab

y軸上）.

99.雙曲線的切線方程

xxyyx2y2

(1)雙曲線221(a0,b0)上一點P(x0,y0)處的切線方程是02021.

ababx2y2

（2）過雙曲線221(a0,b0)外一點P(x0,y0)所引兩條切線的切點弦方程是

ab

x0xy0y

21.2ab

x2y222222

（3）雙曲線221(a0,b0)與直線AxByC0相切的條件是AaBbc.

ab2

100.拋物線y2px的焦半徑公式

p2

拋物線y2px(p0)焦半徑CFx0.

2

pp

過焦點弦長CDx1x2x1x2p.

22

2y2

,y)或P(2pt2,2pt)或P(x,y)，其中y22px.101.拋物線y2px上的動點可設(shè)為P(2pb24acb2

102.二次函數(shù)yaxbxca(x)（1）頂點坐標(biāo)為(a0)的圖象是拋物線：

2a4a

b4acb2b4acb214acb21(,)；,)；（2）焦點的坐標(biāo)為(（3）準(zhǔn)線方程是y.2a4a2a4a4a

2

103.拋物線的內(nèi)外部

2023年高考數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

(1)點P(x0,y0)在拋物線y2px(p0)的內(nèi)部y2px(p0).點P(x0,y0)在拋物線y2px(p0)的外部y2px(p0).(2)點P(x0,y0)在拋物線y2px(p0)的內(nèi)部y2px(p0).點P(x0,y0)在拋物線y2px(p0)的外部y2px(p0).(3)點P(x0,y0)在拋物線x2py(p0)的內(nèi)部x2py(p0).點P(x0,y0)在拋物線x2py(p0)的外部x2py(p0).(4)點P(x0,y0)在拋物線x2py(p0)的內(nèi)部x2py(p0).點P(x0,y0)在拋物線x2py(p0)的外部x2py(p0).104.拋物線的切線方程

(1)拋物線y2px上一點P(x0,y0)處的切線方程是y0yp(xx0).

（2）過拋物線y2px外一點P(x0,y0)所引兩條切線的切點弦方程是y0yp(xx0).（3）拋物線y2px(p0)與直線AxByC0相切的條件是pB2AC.

105.兩個常見的曲線系方程

(1)過曲線f1(x,y)0,f2(x,y)0的交點的曲線系方程是

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

f1(x,y)f2(x,y)0(為參數(shù)).

x2y2

21,其中kmax{a2,b2}.當(dāng)kmin{a2,b2}時,表示橢(2)共焦點的有心圓錐曲線系方程2

akbk

2222

圓;當(dāng)min{a,b}kmax{a,b}時,表示雙曲線.

106.直線與圓錐曲線相交的弦長公式

AB

AB|x1x2||y1y2A(x1,y1),B(x2,y2)，由

方程

ykxb2

消去y得到axbxc0，0,為直線AB的傾斜角，k為直線的斜率）.

F(x,y)0

107.圓錐曲線的兩類對稱問題

（1）曲線F(x,y)0關(guān)于點P(x0,y0)成中心對稱的曲線是F(2x0-x,2y0y)0.（2）曲線F(x,y)0關(guān)于直線AxByC0成軸對稱的曲線是

F(x

2A(AxByC)2B(AxByC)

,y)0.

A2B2A2B2

2

2

108.“四線〞一方程

對于一般的二次曲線AxBxyCyDxEyF0，用x0x代x，用y0y代y，用用

2

2

x0yxy0

代xy，2

x0xyy

代x，用0代y即得方程22

xyxy0xxyy

Ax0xB0Cy0yD0E0F0，曲線的切線，切點弦，中點弦，弦中點方程均是

222

此方程得到.

109．證明直線與直線的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點；

（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.

110．證明直線與平面的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點；

2023年高考數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.

111．證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點；（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.

112．證明直線與直線的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；

（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.113．證明直線與平面垂直的思考途徑

（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面；（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.114．證明平面與平面的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.

115.空間向量的加法與數(shù)乘向量運算的運算律(1)加法交換律：a＋b=b＋a．

(2)加法結(jié)合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)數(shù)乘分派律：λ(a＋b)=λa＋λb．

116.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣

始點一致且不在同一個平面內(nèi)的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量.

117.共線向量定理

對空間任意兩個向量a、b(b≠0)，a∥b存在實數(shù)λ使a=λb．

P、A、B三點共線AP||ABAPtABOP(1t)OAtOB.

AB||CDAB、CD共線且AB、CD不共線ABtCD且AB、CD不共線.

推論空間一點P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對x,y,使MPxMAyMB，

或?qū)臻g任一定點O，有序?qū)崝?shù)對x,y，使OPOMxMAyMB.

119.對空間任一點O和不共線的三點A、B、C，滿足OPxOAyOBzOC（xyzk），則當(dāng)k1時，對于空間任一點O，總有P、A、B、C四點共面；當(dāng)k1時，若O平面ABC，則P、A、B、C四點共面；若O平面ABC，則P、A、B、C四點不共面．

A、B、C、D四點共面AD與AB、AC共面ADxAByAC

OD(1xy)OAxOByOC（O平面ABC）.

120.空間向量基本定理

假使三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．

推論設(shè)O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x，y，z，使

118.共面向量定理

向量p與兩個不共線的向量a、b共面的存在實數(shù)對x,y,使paxby．OPxOAyOBzOC.

121.射影公式

''

已知向量AB=a和軸l，e是l上與l同方向的單位向量.作A點在l上的射影A，作B點在l上的射影B，

則

2023年高考數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

''

AB|AB|cos〈a，e〉=ae

122.向量的直角坐標(biāo)運算

設(shè)a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)則(1)a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；(2)a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；(3)λa＝(a1,a2,a3)(λ∈R)；(4)ab＝a1b1a2b2a3b3；123.設(shè)A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則124．空間的線線平行或垂直

ABOBOA=(x2x1,y2y1,z2z1).

rr

設(shè)a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2)，則

x1x2

rrrrrr

aPbab(b0)y1y2；

zz

21

rrrr

abab0x1x2y1y2z1z20.

125.夾角公式

設(shè)a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，則cos〈a，b〉

2

2

2

.

2

2

2

推論(a1b1a2b2a3b3)(a1a2a3)(b1b2b3)，此即三維柯西不等式.126.周邊體的對棱所成的角

周邊體ABCD中,AC與BD所成的角為,則

2

|(AB2CD2)(BC2DA2)|

cos.

2ACBD

rr

cos|cosa,b|

rr

|ab|

=

|a||b|rroo

（其中（090）為異面直線a,b所成角，a,b分別表示異面直線a,b的方向向量）

128.直線AB與平面所成角

ABm

(m為平面的法向量).arcsin|AB||m|

129.若ABC所在平面若與過若AB的平面成的角,另兩邊AC,BC與平面成的角分別是1、2,A、B為ABC的兩個內(nèi)角，則

sin21sin22(sin2Asin2B)sin2.

特別地,當(dāng)ACB90時,有

127．異面直線所成角

sin21sin22sin2.

130.若ABC所在平面若與過若AB的平面成的角,另兩邊AC,BC與平面成的角分別是1、

2023年高考數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

2,A'、B'為ABO的兩個內(nèi)角，則

tan21tan22(sin2A'sin2B')tan2.

特別地,當(dāng)AOB90時,有

sin21sin22sin2.131.二面角l的平面角

mnmn

arccos或arccos（m，n為平面，的法向量）.|m||n||m||n|

132.三余弦定理

設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為1，AB與AC所成的角為2，AO與AC所成的角為．則coscos1cos2.

133.三射線定理

若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是1,2,與二面角的棱所成的角是θ，則有sinsinsin1sin22sin1sin2cos;

2

2

2

2

|12|180(12)(當(dāng)且僅當(dāng)90時等號成立).

134.空間兩點間的距離公式

若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則135.點Q到直線l距離

d

A,B=|AB|h點P在直線l上，直線l的方向向量a=PA，向量b=PQ).

136.異面直線間的距離

|CDn|

d(l1,l2是兩異面直線，其公垂向量為n，C、D分別是l1,l2上任一點，d為l1,l2間的距離).|n|

137.點B到平面的距離

|ABn|d（n為平面的法向量，AB是經(jīng)過面的一條斜線，A）.|n|

138.異面直線上兩點距離公式

d

.

ddEAA'F）.

(兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段AA的長度為h.在直線a、b上分別取兩點E、F，

'

A'Em,AFn,EFd).

139.三個向量和的平方公式

2222(abc)abc2ab2bc2ca

222abc2|a||b|cosa,b2|b||c|cosb,c2|c||a|cosc,a

140.長度為l的線段在三條兩兩相互垂直的直線上的射影長分別為l1、l2、l3，夾角分別為1、2、3,則

有

l2l12l22l32cos21cos22cos231sin21sin22sin232.

（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.

141.面積射影定理

2023年高考數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

S'

.S

cos

(平面多邊形及其射影的面積分別是S、S，它們所在平面所成銳二面角的為).142.斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的側(cè)棱長是l,側(cè)面積和體積分別是S斜棱柱側(cè)和V斜棱柱,它的直截面的周長和面積分別是c1和S1,則

①S斜棱柱側(cè)c1l.②V斜棱柱S1l.

143．作截面的依據(jù)

三個平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點或相互平行.144．棱錐的平行截面的性質(zhì)

假使棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相像，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比（對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例的多邊形是相像多邊形，相像多邊形面積的比等于對應(yīng)邊的比的平方）；相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比．

145.歐拉定理(歐拉公式)

VFE2(簡單多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).

（1）E=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個面的邊數(shù)為n的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：

'

E

1

nF；2

（2）若每個頂點引出的棱數(shù)為m，則頂點數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：E146.球的半徑是R，則

1

mV.2

43R,3

2

其表面積S4R．

其體積V

147.球的組合體

(1)球與長方體的組合體:

長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.(2)球與正方體的組合體:

正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長,正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.(3)球與正周邊體的組合體:

棱長為a

的正周邊體的內(nèi)切球的半徑為148．柱體、錐體的體積

a,

外接球的半徑為a.124

1

V柱體Sh（S是柱體的底面積、h是柱體的高）.

31

V錐體Sh（S是錐體的底面積、h是錐體的高）.

3

149.分類計數(shù)原理（加法原理）Nm1m2mn.150.分步計數(shù)原理（乘法原理）Nm1m2mn.151.排列數(shù)公式

mAn=n(n1)(nm1)=

n！*

.(n，m∈N，且mn)．

(nm)！

注:規(guī)定0!1.

2023年高考數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

152.排列恒等式(1）An(nm1)An

m

（2）An

m

m1

;

nm

An1;nmmm1

（3）AnnAn1;

（4）nAnAn1An;（5）An1AnmAn