狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測(cè)器

狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測(cè)器2023/4/121第1頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第一節(jié)狀態(tài)反饋及極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋與輸出反饋狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置條件和算法狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性2023/4/122第2頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日將系統(tǒng)每一個(gè)狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)饋送到輸入端與參考輸人相加，其和作為受控系統(tǒng)的控制輸入。一、狀態(tài)反饋反饋的兩種基本形式：狀態(tài)反饋（1種）、輸出反饋（2種）原受控系統(tǒng)：線性反饋規(guī)律：2023/4/123第3頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)：反饋增益矩陣：狀態(tài)反饋閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為：

一般D=0，可化簡(jiǎn)為：狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)表示：狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征方程為：2023/4/124第4頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日原受控系統(tǒng)：二、輸出到參考輸入的反饋（又稱為輸出反饋）將系統(tǒng)輸出量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)饋送到參考輸人，其和作為受控系統(tǒng)的控制輸入。（同古典控制，不作過(guò)多說(shuō)明）輸出反饋控制規(guī)律：輸出反饋系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為：2023/4/125第5頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日輸出反饋增益矩陣：閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為：結(jié)論3：由于反饋引自系統(tǒng)輸出，所以輸出反饋不影響系統(tǒng)的可觀測(cè)性。結(jié)論1：當(dāng)HC＝K時(shí)，輸出到參考輸入的反饋與狀態(tài)反饋等價(jià)。即對(duì)于任意的輸出反饋系統(tǒng)，總可以找到一個(gè)等價(jià)的狀態(tài)反饋，即K＝HC。故輸出反饋不改變系統(tǒng)的能控性。結(jié)論2：對(duì)于狀態(tài)反饋，從K＝HC中，給定K值，不一定能夠解出H。所以，輸出反饋是部分狀態(tài)反饋，輸出信息所包含的不一定是系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量，適合工程應(yīng)用，性能較狀態(tài)反饋差。2023/4/126第6頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日原受控系統(tǒng)：三、輸出到狀態(tài)微分的反饋將系統(tǒng)的輸出量乘以相應(yīng)的負(fù)反饋系數(shù)，饋送到狀態(tài)微分處。這種反饋在狀態(tài)觀測(cè)器中應(yīng)用廣泛，結(jié)構(gòu)和觀測(cè)器很相似。輸出反饋系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為：2023/4/127第7頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日極點(diǎn)配置：通過(guò)反饋增益矩陣K的設(shè)計(jì)，將加入狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在S平面期望的位置上。四、狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置條件和算法1、極點(diǎn)配置算法(1)判斷系統(tǒng)能控性。如果狀態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。1）直接法求反饋矩陣K（維數(shù)較小時(shí)，n≤3）定理：(極點(diǎn)配置定理)對(duì)線性定常系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)反饋，反饋后的系統(tǒng)其全部極點(diǎn)得到任意配置的充要條件是：狀態(tài)完全能控。注意：矩陣的特征值就是所期望的閉環(huán)極點(diǎn)。對(duì)不能控的狀態(tài)，狀態(tài)反饋不能改變其特征值。2023/4/128第8頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(2)求狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式：(3)根據(jù)給定（或求得）的期望閉環(huán)極點(diǎn)，寫出期望特征多項(xiàng)式。(4)由確定反饋矩陣K：[解]：（1）先判斷該系統(tǒng)的能控性[例1]考慮線性定常系統(tǒng)其中：試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣K，使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)為-2±j4和-10。2023/4/129第9頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，通過(guò)狀態(tài)反饋，可任意進(jìn)行極點(diǎn)配置。（2）計(jì)算閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式設(shè)狀態(tài)反饋增益矩陣為：（3）計(jì)算期望的特征多項(xiàng)式2023/4/1210第10頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日由得（4）確定K陣求得：所以狀態(tài)反饋矩陣K為：[例2]對(duì)如下的線性定常系統(tǒng)，討論狀態(tài)反饋對(duì)系統(tǒng)極點(diǎn)的影響[解]：（1）先判斷該系統(tǒng)的能控性由對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型判據(jù)可知，特征值為－1的狀態(tài)不能控。(2)假如加入狀態(tài)反饋陣K，得到反饋后的特征多項(xiàng)式為：2023/4/1211第11頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日從中可以看出，對(duì)于－1的極點(diǎn)，狀態(tài)反饋不起作用，狀態(tài)反饋只能通過(guò)k2去影響2這個(gè)極點(diǎn)。即狀態(tài)反饋對(duì)不能控部分狀態(tài)，不能任意配置其極點(diǎn)。求將相等繁瑣，所以引入第二能控標(biāo)準(zhǔn)型法。2）第二能控標(biāo)準(zhǔn)型法求反饋矩陣（維數(shù)較大時(shí)，n>3）1、首先將原系統(tǒng)化為第二能控標(biāo)準(zhǔn)型2、求出在第二能控標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)下的狀態(tài)反饋矩陣3、求出在原系統(tǒng)的狀態(tài)下的狀態(tài)反饋矩陣2023/4/1212第12頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日證明：原系統(tǒng)：第二能控標(biāo)準(zhǔn)型：其中：式（1）和式（2）比較，得：2023/4/1213第13頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第二能控標(biāo)準(zhǔn)型：此時(shí)的系統(tǒng)不變量和原系統(tǒng)相同。能控標(biāo)準(zhǔn)型下，加入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)矩陣為：[第二能控標(biāo)準(zhǔn)型下，狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式及]2023/4/1214第14頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第二能控標(biāo)準(zhǔn)型下，狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為：根據(jù)期望閉環(huán)極點(diǎn)，寫出期望特征多項(xiàng)式：由，可以確定第二能控標(biāo)準(zhǔn)型下的反饋矩陣為：2023/4/1215第15頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(1)判斷系統(tǒng)能控性。如果狀態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。(2)確定將原系統(tǒng)化為第二能控標(biāo)準(zhǔn)型的變換陣若給定狀態(tài)方程已是第二能控標(biāo)準(zhǔn)型，那么，無(wú)需轉(zhuǎn)換第二能控標(biāo)準(zhǔn)型法，求反饋增益矩陣K的步驟：系統(tǒng)不變量：2023/4/1216第16頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(3)根據(jù)給定或求得的期望閉環(huán)極點(diǎn)，寫出期望的特征多項(xiàng)式：(4)直接寫出在第二能控標(biāo)準(zhǔn)型下的反饋增益矩陣：(5)求未變換前原系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣：還可以由期望閉環(huán)傳遞函數(shù)得到：第二能控標(biāo)準(zhǔn)型法，非常適合于計(jì)算機(jī)matlab求解期望的閉環(huán)極點(diǎn)有時(shí)直接給定；有時(shí)給定某些性能指標(biāo)：如超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間等）2023/4/1217第17頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日[例]用第二能控標(biāo)準(zhǔn)型法，重新求解前面例1：（2）計(jì)算原系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式：[解]：（1）可知，系統(tǒng)已經(jīng)是第二能控標(biāo)準(zhǔn)型了，故系統(tǒng)能控，此時(shí)變換陣（3）計(jì)算期望的特征多項(xiàng)式（4）確定K陣所以狀態(tài)反饋矩陣K為：第二能控標(biāo)準(zhǔn)型下的狀態(tài)反饋矩陣為：2023/4/1218第18頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3）愛克曼公式(Ackermann公式法)（維數(shù)較大時(shí)，n>3）為系統(tǒng)期望的特征多項(xiàng)式系數(shù)，由下式確定：其中是A滿足其自身的特征方程，為：推導(dǎo)過(guò)程：略此方法也非常適合于計(jì)算機(jī)matlab求解2023/4/1219第19頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日[例]用愛克曼公式，重新求解前面例1：[解]：（1）確定系統(tǒng)期望的特征多項(xiàng)式系數(shù)：所以：（2）確定2023/4/1220第20頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（3）所以狀態(tài)反饋矩陣K為：2023/4/1221第21頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日[例]已知線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋增益矩陣K，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為－1和－2，并畫出閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。解：先判斷系統(tǒng)的能控性。系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，可以通過(guò)狀態(tài)反饋任意配置其極點(diǎn)。令2023/4/1222第22頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日則狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為期望的特征多項(xiàng)式為由，求得

狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下：2023/4/1223第23頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日期望極點(diǎn)選取的原則：1）n維控制系統(tǒng)有n個(gè)期望極點(diǎn)；2）期望極點(diǎn)是物理上可實(shí)現(xiàn)的，為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)對(duì)；3）期望極點(diǎn)的位置的選取，需考慮它們對(duì)系統(tǒng)品質(zhì)的影響（離虛軸的位置），及與零點(diǎn)分布狀況的關(guān)系。4）離虛軸距離較近的主導(dǎo)極點(diǎn)收斂慢，對(duì)系統(tǒng)性能影響最大，遠(yuǎn)極點(diǎn)收斂快，對(duì)系統(tǒng)只有極小的影響。2、閉環(huán)系統(tǒng)期望極點(diǎn)的選取2023/4/1224第24頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日五、狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性定理：如果SI線性定常系統(tǒng)是能控的，則狀態(tài)反饋所構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)也是能控的。證明:2023/4/1225第25頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日結(jié)論：對(duì)SISO系統(tǒng)，引入狀態(tài)反饋后，不改變系統(tǒng)原有的閉環(huán)零點(diǎn)。所以經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的任意配置，可能會(huì)出現(xiàn)零極點(diǎn)相約，由于可控性不變，故可能破壞可觀測(cè)性。第二能控標(biāo)準(zhǔn)型，受控系統(tǒng)傳遞函數(shù)：狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)：2023/4/1226第26頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日[本節(jié)小結(jié)]：1、狀態(tài)反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu):狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)：狀態(tài)反饋閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為：狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征方程為：2、輸出反饋:閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程：閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為：系統(tǒng)的特征方程為：2023/4/1227第27頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3、輸出到狀態(tài)微分的反饋：閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程：閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為：系統(tǒng)的特征方程為：4、狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置條件和算法：極點(diǎn)任意配置條件：系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。極點(diǎn)配置算法：反饋陣k的求法2023/4/1228第28頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(4)由確定反饋矩陣K：(2)求狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式：(3)根據(jù)給定（或求得）的期望閉環(huán)極點(diǎn)，寫期望特征多項(xiàng)式。1）直接法求反饋矩陣K（維數(shù)較小時(shí)，n≤3時(shí)）(1)判斷系統(tǒng)能控性。如果狀態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。2023/4/1229第29頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(4)寫出第二能控標(biāo)準(zhǔn)型下的反饋增益矩陣：(5)求未變換前原系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣：2）第二能控標(biāo)準(zhǔn)型法求反饋矩陣（維數(shù)較大時(shí)，n>3時(shí)）(1)判斷系統(tǒng)能控性。如果狀態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。(3)寫出期望的特征多項(xiàng)式：(2)確定將原系統(tǒng)化為第二能控標(biāo)準(zhǔn)型的變換陣2023/4/1230第30頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日5、狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性可以保持原系統(tǒng)的能控性，但可能破壞原系統(tǒng)的能觀測(cè)性。3）愛克曼公式(Ackermann公式法)（維數(shù)較大時(shí)，n>3）其中是A滿足其自身的特征方程，為：為系統(tǒng)期望的特征多項(xiàng)式系數(shù)，由下式確定：2）和3）方法非常適合于計(jì)算機(jī)matlab求解2023/4/1231第31頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第二節(jié)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題系統(tǒng)鎮(zhèn)定的概念狀態(tài)反饋與系統(tǒng)的鎮(zhèn)定2023/4/1232第32頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日一、系統(tǒng)鎮(zhèn)定的概念鎮(zhèn)定：一個(gè)控制系統(tǒng)，如果通過(guò)反饋使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)漸近穩(wěn)定，即閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部，則稱該系統(tǒng)是能鎮(zhèn)定的。可以采用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)鎮(zhèn)定，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。定理：如果線性定常系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的，則它狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是：不能控子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。定理證明：二、狀態(tài)反饋與系統(tǒng)的鎮(zhèn)定原系統(tǒng)：2023/4/1233第33頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日將原系統(tǒng)按照能控性分解，得到系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)矩陣變?yōu)殚]環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為：能控部分，總可以通過(guò)狀態(tài)反饋使之鎮(zhèn)定要求漸近穩(wěn)定2023/4/1234第34頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日結(jié)論1：如果線性定常系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則不管其特征值是否都具有負(fù)實(shí)部，一定是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。（一定存在狀態(tài)反饋陣K，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)得到任意配置）

不穩(wěn)定但狀態(tài)完全能控的系統(tǒng)，可以通過(guò)狀態(tài)反饋使它鎮(zhèn)定結(jié)論2：可控系統(tǒng)是一定可鎮(zhèn)定的，可鎮(zhèn)定系統(tǒng)不一定是可控的2023/4/1235第35頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日[例]系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（2）由動(dòng)態(tài)方程知系統(tǒng)是不能控的，但不能控部分的特征值是-5，位于左半S平面，可知此部分是漸近穩(wěn)定的。因此該系統(tǒng)是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。[解]：（1）系統(tǒng)的特征值為1，2和－5。有兩個(gè)特征值在右半S平面，因此系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的。（1）該系統(tǒng)是否是漸近穩(wěn)定的？（2）該系統(tǒng)是否是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的？（3）設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋，使期望的閉環(huán)極點(diǎn)為2023/4/1236第36頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（3）不能控部分的極點(diǎn)為－5，與其中一個(gè)期望極點(diǎn)相同。此時(shí)，只能對(duì)能控部分進(jìn)行極點(diǎn)配置。設(shè)，對(duì)能控部分進(jìn)行極點(diǎn)配置。期望的特征多項(xiàng)式為：2023/4/1237第37頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日由得：解得：所以反饋陣為：2023/4/1238第38頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日[例]系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程如下[解]：（1）系統(tǒng)特征方程為：（1）討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（2）加狀態(tài)反饋可否使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定？特征值為，系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的。（2）系統(tǒng)能控，加入狀態(tài)反饋可以任意配置極點(diǎn)。設(shè)反饋陣為，加狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)矩陣為2023/4/1239第39頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為：通過(guò)k1和k2的調(diào)整可使系統(tǒng)的特征值都位于左半S平面，使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。2023/4/1240第40頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第三節(jié)狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)觀測(cè)器的原理和構(gòu)成狀態(tài)觀測(cè)器的存在條件狀態(tài)觀測(cè)器極點(diǎn)配置條件和算法構(gòu)成狀態(tài)觀測(cè)器的原則2023/4/1241第41頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日狀態(tài)重構(gòu)：不是所有的系統(tǒng)狀態(tài)物理上都能夠直接測(cè)量得到。需要從系統(tǒng)的可量測(cè)參量，如輸入u和輸出y來(lái)估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)。狀態(tài)觀測(cè)器：狀態(tài)觀測(cè)器基于可直接量測(cè)的輸出變量y和控制變量u來(lái)估計(jì)狀態(tài)變量，是一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的模擬動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。如果是狀態(tài)完全能觀測(cè)的，那么根據(jù)輸出y的測(cè)量，可以唯一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)，系統(tǒng)任意時(shí)刻的狀態(tài)：所以只要滿足一定的條件，可從可測(cè)量y和u中把x間接重構(gòu)出來(lái)。一、狀態(tài)觀測(cè)器的原理和構(gòu)成2023/4/1242第42頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日原受控系統(tǒng)：狀態(tài)觀測(cè)器：原系統(tǒng)和狀態(tài)觀測(cè)器之間狀態(tài)的誤差：有：，即：——原系統(tǒng)初始狀態(tài)——狀態(tài)觀測(cè)器的初始狀態(tài)如果，必有，即兩者完全等價(jià)，實(shí)際很難滿足。也就是說(shuō)原狀態(tài)和狀態(tài)觀測(cè)器的估計(jì)狀態(tài)之間必存在誤差，從而導(dǎo)致原系統(tǒng)和狀態(tài)觀測(cè)器的輸出也必存在誤差。漸近狀態(tài)觀測(cè)器。2023/4/1243第43頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日全維漸近狀態(tài)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)圖：維數(shù)2n。2023/4/1244第44頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日狀態(tài)觀測(cè)器的特征方程為：狀態(tài)觀測(cè)器方程：由此可以得到全維漸近狀態(tài)觀測(cè)器的等價(jià)結(jié)構(gòu)圖：維數(shù)2n。2023/4/1245第45頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日狀態(tài)觀測(cè)器能否起作用的關(guān)鍵：觀測(cè)器在任何初始條件下，都能夠無(wú)誤差地重構(gòu)原狀態(tài)。二、狀態(tài)觀測(cè)器的存在條件：

存在性定理：線性定常系統(tǒng)不能觀測(cè)的部分是漸近穩(wěn)定的。存在條件設(shè)狀態(tài)觀測(cè)器方程：證：將原系統(tǒng)按照能觀測(cè)性分解：2023/4/1246第46頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日令：則：得：2023/4/1247第47頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1、能觀測(cè)部分：齊次狀態(tài)方程的解：2、不能觀測(cè)部分：非齊次狀態(tài)方程的解2023/4/1248第48頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日要求A22的特征值均具有負(fù)實(shí)部，即不能觀部分是漸近穩(wěn)定的此時(shí)：2023/4/1249第49頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日前提：設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器，是狀態(tài)觀測(cè)器期望的特征值。則目的是確定觀測(cè)器增益矩陣，使得A-KeC具有期望的特征值?！韧跔顟B(tài)反饋系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。三、狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)和狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)的對(duì)偶問題：原系統(tǒng)為：則其對(duì)偶系統(tǒng)為：1、針對(duì)對(duì)偶系統(tǒng)來(lái)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋陣K：線性反饋規(guī)律仍然為：則希望取得一組期望的特征值，將特征值選擇為原系統(tǒng)的觀測(cè)器的期望特征值。2023/4/1250第50頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日觀察上式可以發(fā)現(xiàn)：與原系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)器的特征方程相比：則有：其中，K是其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣。結(jié)論：原系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器增益矩陣Ke的設(shè)計(jì)，等同于其對(duì)偶系統(tǒng)狀態(tài)反饋中反饋陣K的設(shè)計(jì)，兩者互為轉(zhuǎn)置。其中原系統(tǒng)的觀測(cè)器特征值等于其對(duì)偶系統(tǒng)狀態(tài)反饋的特征值。2023/4/1251第51頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日由狀態(tài)觀測(cè)器存在性定理，可以得到以下定理：定理：線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器極點(diǎn)任意配置，即具有任意逼近速度的充要條件是原系統(tǒng)為狀態(tài)完全能觀測(cè)。四、狀態(tài)觀測(cè)器極點(diǎn)配置條件和算法：證明：根據(jù)以上的對(duì)偶關(guān)系，要使原系統(tǒng)的觀測(cè)器極點(diǎn)能任意配置，則要求其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋系統(tǒng)極點(diǎn)能任意配置。所以，其對(duì)偶系統(tǒng)狀態(tài)能控。原系統(tǒng)為：則其對(duì)偶系統(tǒng)為：則要求：即：原系統(tǒng)狀態(tài)能觀2023/4/1252第52頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第二能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型下，狀態(tài)觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式：第二能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型：能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型下狀態(tài)觀測(cè)器的系統(tǒng)矩陣：2023/4/1253第53頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)步驟：(3)寫出狀態(tài)觀測(cè)器的期望特征多項(xiàng)式：1、直接法（維數(shù)較小時(shí)，n≤3）(2)求觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式：(4)由確定狀態(tài)觀測(cè)器的反饋矩陣：(1)判斷系統(tǒng)能觀測(cè)性。如果狀態(tài)完全能觀測(cè)，按下列步驟繼續(xù)。2023/4/1254第54頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2、第二能觀標(biāo)準(zhǔn)型法（維數(shù)較大時(shí)，n>3，適合計(jì)算機(jī)求解）(2)確定將原系統(tǒng)化為第二能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型的變換陣。若給定的狀態(tài)方程已是能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型，那么，無(wú)需轉(zhuǎn)換(1)判斷系統(tǒng)能觀測(cè)性。如果狀態(tài)完全能觀測(cè)，按下列步驟繼續(xù)。2023/4/1255第55頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(4)直接寫出在第二能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型下觀測(cè)器的反饋矩陣：(5)求未變換前系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)器的反饋矩陣：(3)指定的狀態(tài)觀測(cè)器的特征值，寫出期望的特征多項(xiàng)式：下面證明原系統(tǒng)和線性變換后系統(tǒng)間觀測(cè)器的狀態(tài)反饋增益矩陣的關(guān)系：2023/4/1256第56頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日證明：原系統(tǒng)：第二能觀標(biāo)準(zhǔn)型：其中：式（1）和式（2）比較，得：2023/4/1257第57頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日為系統(tǒng)期望的特征多項(xiàng)式系數(shù)，由下式確定：其中是A滿足其自身的特征方程，為：推導(dǎo)過(guò)程：用前面講述的對(duì)偶關(guān)系來(lái)推導(dǎo)。轉(zhuǎn)化為對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣K的設(shè)計(jì)。此方法也非常適合于計(jì)算機(jī)matlab求解3、愛克曼公式(Ackermann公式法)（維數(shù)較大時(shí)，n>3）2023/4/1258第58頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日[解]：

(1)傳遞函數(shù)無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消，系統(tǒng)能觀測(cè)可以寫為第二能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型：[例]系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下，試設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器，使觀測(cè)器的極點(diǎn)為－10，－10。(2)設(shè)觀測(cè)器的反饋增益陣為：1、直接法求解：2023/4/1259第59頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(5)由系數(shù)相等，得到觀測(cè)器的反饋矩陣為：(4)狀態(tài)觀測(cè)器期望的特征多項(xiàng)式為：(3)求觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式：則觀測(cè)器的系統(tǒng)矩陣為：2023/4/1260第60頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日原系統(tǒng)的對(duì)偶系統(tǒng)，其A、B陣如下：設(shè)對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣為2、用狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測(cè)器的對(duì)偶關(guān)系求解：將系統(tǒng)的特征值選擇為原系統(tǒng)觀測(cè)器的期望特征值。則期望的特征多項(xiàng)式為：則對(duì)偶系統(tǒng)的加入狀態(tài)反饋后的特征多項(xiàng)式為：由系數(shù)相等，得到對(duì)偶系統(tǒng)狀態(tài)反饋矩陣K為：所以，原系統(tǒng)觀測(cè)器的反饋矩陣為：2023/4/1261第61頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3、用愛克曼公式求解：（1）確定系統(tǒng)期望的特征多項(xiàng)式系數(shù)：所以：（2）確定2023/4/1262第62頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（3）所以觀測(cè)器增益Ke為：2023/4/1263第63頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日[例]已知線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器，使觀測(cè)器極點(diǎn)為－10和－10，并畫出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。解：先判斷系統(tǒng)的能觀測(cè)性。系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測(cè)，觀測(cè)器存在，且其極點(diǎn)可以任意配置。令2023/4/1264第64頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日則觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式為觀測(cè)器期望的特征多項(xiàng)式為由，求得

觀測(cè)器方程為：或：2023/4/1265第65頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日觀測(cè)器的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下：2023/4/1266第66頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日五、構(gòu)成狀態(tài)觀測(cè)器的原則：1）觀測(cè)器以原系統(tǒng)的輸入和輸出作為其輸入。2）的輸出狀態(tài)應(yīng)有足夠快的速度逼近x，這就要求有足夠?qū)挼念l帶，將導(dǎo)致觀測(cè)器的作用接近于一個(gè)微分器，從而使頻帶加寬，不能容忍地將高頻噪聲分量放大。3）有較高的抗干擾性，這就要求有較窄的頻帶，因而快速性和抗干擾性是互相矛盾的，應(yīng)綜合考慮。4）在結(jié)構(gòu)上應(yīng)盡可能地簡(jiǎn)單，即具有盡可能低的維數(shù)。5）觀測(cè)器的逼近速度選擇：只需使觀測(cè)器的期望極點(diǎn)比由此組成的閉環(huán)反饋系統(tǒng)的特征值稍大一些即可。一般地，選擇的期望特征值，應(yīng)使?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的響應(yīng)速度至少比所考慮的閉環(huán)系統(tǒng)快2~5倍。2023/4/1267第67頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日[本節(jié)小結(jié)]：一、全維狀態(tài)觀測(cè)器的原理、構(gòu)成與極點(diǎn)配置狀態(tài)觀測(cè)器方程：

存在性定理：線性定常系統(tǒng)不能觀測(cè)的部分是漸近穩(wěn)定的。狀態(tài)觀測(cè)器極點(diǎn)配置條件：狀態(tài)完全能觀測(cè)狀態(tài)觀測(cè)器極點(diǎn)配置算法：反饋陣Ke的設(shè)計(jì)（或用對(duì)偶原理，設(shè)計(jì)其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣K）2023/4/1268第68頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(3)寫出狀態(tài)觀測(cè)器的期望特征多項(xiàng)式：1、直接法（維數(shù)較小時(shí)，n≤3）(2)求觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式：(4)由確定狀態(tài)觀測(cè)器的反饋矩陣：(1)判斷系統(tǒng)能觀測(cè)性。如果狀態(tài)完全能觀測(cè)，按下列步驟繼續(xù)。2、第二能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型法（維數(shù)較大時(shí)，n>3）(1)判斷系統(tǒng)能觀測(cè)性。如果狀態(tài)完全能觀測(cè)，按下列步驟繼續(xù)。(2)確定將原系統(tǒng)化為第二能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型的變換陣。2023/4/1269第69頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(4)寫出在第二能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型下，觀測(cè)器的反饋矩陣：(5)求未變換前系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)器的反饋矩陣：(3)指定的狀態(tài)觀測(cè)器的特征值，寫出期望的特征多項(xiàng)式：2023/4/1270第70頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日為系統(tǒng)期望的特征多項(xiàng)式系數(shù)，由下式確定：其中是A滿足其自身的特征方程，為：3、愛克曼公式(Ackermann公式法)（維數(shù)較大時(shí)，n>3）2023/4/1271第71頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第四節(jié)帶有觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)帶有觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的構(gòu)成帶有觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的輸入輸出特性2023/4/1272第72頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期日狀態(tài)觀測(cè)器的建立，為不能直接量測(cè)的狀態(tài)反饋提供了條件構(gòu)成：帶有狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)由觀測(cè)器和狀態(tài)反饋兩個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成。用觀測(cè)器的估計(jì)狀態(tài)實(shí)現(xiàn)反饋。

是x重構(gòu)狀態(tài)，階數(shù)小于等于x階數(shù)。系統(tǒng)階數(shù)為與x階數(shù)和一、帶有觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的構(gòu)成全維狀態(tài)觀測(cè)器加入狀態(tài)反饋2023/4/1273第73頁(yè)，共81頁(yè)，20