初中數(shù)學(xué) 【導(dǎo)學(xué)案3】 解一元一次方程習(xí)題課

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1．會(huì)解含參數(shù)的一元一次方程；2．會(huì)根據(jù)一元一次方程解的情況求參數(shù)的范圍；3．會(huì)解含絕對值的一元一次方程；4．理解同解方程的概念，會(huì)求同解方程的解．二、知識(shí)回顧1．解一元一次方程的一般步驟是什么？解一元一次方程的一般步驟步驟具體做法根據(jù)注意事項(xiàng)去分母在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù)等式性質(zhì)21.不要漏乘不含分母的項(xiàng)2.分?jǐn)?shù)線當(dāng)括號(hào)用，去分母后，分子是多項(xiàng)式的，要加括號(hào)去括號(hào)先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)乘法分配律，去括號(hào)法則分配律要滿足分配到每一項(xiàng)，不要弄錯(cuò)符號(hào)移項(xiàng)把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的一邊，其他項(xiàng)移到另一邊等式性質(zhì)1移項(xiàng)要變號(hào)合并同類項(xiàng)把方程中含未知數(shù)的項(xiàng)合并后化為“ax=b（a≠0）”的形式合并同類項(xiàng)法則注意符號(hào)系數(shù)化為1方程兩邊同除以未知數(shù)系數(shù)a，得等式性質(zhì)2分子分母不要顛倒2．絕對值的代數(shù)意義和幾何意義？絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零．用字母表示為絕對值的幾何意義：表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離．因此任何數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)．三、新知講解1．含字母系數(shù)的一次方程（1）含字母系數(shù)的一次方程的概念當(dāng)方程中的系數(shù)用字母表示時(shí)，這樣的方程叫做含字母系數(shù)的方程，也叫含參數(shù)的方程．（2）含字母系數(shù)的一元一次方程的解法含字母系數(shù)的一元一次方程總可以化為的形式，方程的解由、的取值范圍確定．=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，，原方程有唯一解；②當(dāng)且時(shí)，解是任意數(shù)，即原方程有無數(shù)解；③)當(dāng)且時(shí)，原方程無解．2．含絕對值的一元一次方程的解法（1）解形如|x|=a（a≥0）的方程根據(jù)絕對值的意義，我們可以得到：．（2）解形如|mx–n|=a（m，n，a為已知數(shù)，且m≠0，a≥0）的方程可以利用換元法，把絕對值內(nèi)的式子看成一個(gè)整體，解法如下：①先解|y|=a（a≥0）；②再解mx–n=y，得mx–n=a或mx–n=–a，所以x=或x=．2．同解方程及方程的同解原理（1）同解方程如果方程①的解都是方程②的解，并且方程②的解都是方程①的解，那么這兩個(gè)方程是同解方程．（2）方程的同解原理方程同解原理1：方程兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得的方程與原方程是同解方程．方程同解原理2：方程兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為零的數(shù)，所得的方程與原方程是同解方程．四、典例探究1．解含參的一元一次方程【例1】（2014秋?西城區(qū)校級(jí)期中）解關(guān)于x的方程：a（2x﹣b）=4x﹣ab+4b2．總結(jié)：含字母系數(shù)的方程總能化成ax=b的形式，方程的解根據(jù)a,b的取值范圍分類討論.1．若a為數(shù)字，b為字母，無需分類討論，方程兩邊同除以a，求出方程的唯一解即可．2．若a為字母，b為數(shù)字，則需針對a是否等于0來進(jìn)行分類討論，但是如果有題目可明確得出a≠0，則無需分類討論．3．若a，b均含字母，則需分三種情況分類討論：（1）當(dāng)a≠0時(shí)，方程兩邊同除以a，求出方程的唯一解；（2）當(dāng)a=b=0時(shí)，無論未知數(shù)x取何值，方程永遠(yuǎn)都是0=0，恒成立，故原方程有無數(shù)解；（3）當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，無論未知數(shù)x取何值，方程永遠(yuǎn)都是0=b，恒不成立，故原方程無解．練1．（2012秋?藁城市校級(jí)期中）若a，b是已知數(shù)，則﹣5y+2a=﹣3y+2bA．a(chǎn)+bB．a(chǎn)﹣bC．b﹣aD．﹣a﹣b練2．（2014春?普陀區(qū)期末）關(guān)于x的方程（3a﹣2）x=2（3﹣x），當(dāng)a≠0時(shí)，該方程的解是2．根據(jù)一元一次方程的解的情況求參數(shù)【例2】已知：關(guān)于x的方程ax+3=2x-b有無數(shù)多個(gè)解，試求a,b的值.總結(jié)：根據(jù)一元一次方程的解的情況求參數(shù)有以下幾種情況：1．如果題設(shè)條件中直接給出了方程的解，將解代回原方程，然后解以參數(shù)為未知數(shù)的方程即可求得參數(shù)的值．2．如果題設(shè)條件只給出了含參方程解的個(gè)數(shù)（一個(gè)、無數(shù)個(gè)或無解），那么先把方程化成ax=b的形式，再逆用解含參方程的方法求解，即：（1）若方程有唯一解，則a≠0;（2）若方程有無數(shù)個(gè)解，則a=0，b=0；（3）如果方程無解，則a=0，b≠0.求3．如果求含參一元一次方程的整數(shù)解，那么先求出含參方程的解，再觀察解的分子何時(shí)被分母整除．練3．（2011秋?肥城市期末）關(guān)于x的方程2﹣3x=a（x﹣2）的解為x=﹣1，則a的值為（）A．5B．﹣1C．﹣5D．練4．已知關(guān)于x的一次方程（3a+8b）x+7=0無解，則abA．正數(shù)B．非正數(shù)C．負(fù)數(shù)D．非負(fù)數(shù)3．含絕對值符號(hào)的一元一次方程【例3】解絕對值方程：|x﹣1|=3．總結(jié)：解形如|x|=a（a≥0）的方程根據(jù)絕對值的意義，我們可以得到：．解形如|mx–n|=a（m，n，a為已知數(shù)，且m≠0，a≥0）的方程可以利用換元法，把絕對值內(nèi)的式子看成一個(gè)整體y，解法如下：①先解|y|=a（a≥0）；②再解mx–n=y，得mx–n=a或mx–n=–a，所以x=或x=．練5．方程|x|=5的解是，|x﹣2|=0的解是，3|x|=﹣6的解是，|x+2|=3的解是．4．同解方程【例4】若方程5（x﹣2）=2（3x﹣6）和方程mx﹣+m=+1的解相同，求m的值和方程的解．總結(jié)：1．在兩個(gè)同解方程中，如果只有一個(gè)方程中含有字母參數(shù)，一般先解不含字母參數(shù)的方程，求出未知數(shù)的值，再把未知數(shù)的值代入含有字母參數(shù)的方程中，求出字母的值；2．在兩個(gè)同解方程中，如果都含有相同的字母參數(shù)，一般分別解兩個(gè)方程，用這個(gè)字母分別表示兩個(gè)方程的解，根據(jù)解相同建立等式，形成關(guān)于這個(gè)字母參數(shù)的方程，解方程求出該字母的值．練6．（2014秋?新洲區(qū)期末）關(guān)于x的方程2x﹣4=3m和x+2=m有相同的解，則mA．10B．﹣8C．﹣10D．8練7．已知關(guān)于x的方程x+3a=﹣1與3x+12=0的解相同，求a五、課后小測一、選擇題1．關(guān)于未知數(shù)x的方程ax+b2=bx+a2（a≠b）的解是（）A．x=a+bB．C．x=a﹣bD．x可以是一切實(shí)數(shù)2．關(guān)于x的方程（a≠b）的解為（）A．x=a﹣bB．x=a+bC．x=2abD．x=b﹣a3．（2013秋?余姚市校級(jí)期中）適合關(guān)系式|x+|+|x﹣|=2的整數(shù)解x的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)4．（2012秋?昌江區(qū)校級(jí)期末）已知方程|x|=ax+1有一個(gè)負(fù)根而且沒有正根，那么a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞﹣1B．a(chǎn)=1C．a(chǎn)≥1D．非上述答案5．（2014?萬州區(qū)校級(jí)一模）若關(guān)于2k﹣3x=4的方程2k﹣3x=4與x﹣3=0的解相同，則k的值為（）A．﹣10B．10C．﹣11D．116．（2013秋?惠山區(qū)校級(jí)期末）已知方程4x=8與x﹣k=1的解相同，則4k2﹣1的值為（）A．1B．3C．8D．177.（2014秋?乳山市期末）小明解方程，去分母時(shí)，方程右邊的﹣2忘記乘6，求出的解是x=﹣，則a的值是（）A．﹣4B．C．1D．二、填空題8．當(dāng)m≠4時(shí)，方程mx﹣n=4x的解是．9．（2011秋?蕭山區(qū)校級(jí)期末）已知關(guān)于x的方程2mx﹣6=（m+2）x有正整數(shù)解，則整數(shù)m的值是．10．（2011秋?黃梅縣校級(jí)期中）若，則x=．11．適合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整數(shù)a的值有12．（2014秋?高新區(qū)校級(jí)期末）已知方程2x﹣3=+x的解滿足|x|﹣1=0，則m．三、解答題13．解關(guān)于x的方程：（a+b≠0）．14．解下列方程：（1）|x+1|=3；（2）|3x﹣5|+4=8；15．若關(guān)于x的方程5x﹣2（kx﹣1）=24的解與方程3（x﹣1）+8=2x+3的解相同，求k的值．例題詳解：【例1】（2014秋?西城區(qū)校級(jí)期中）解關(guān)于x的方程：a（2x﹣b）=4x﹣ab+4b2．分析：方程去括號(hào)，移項(xiàng)合并，分情況討論a與b的值，求出方程的解即可．解答：解：方程去括號(hào)得：2ax﹣ab=4x﹣ab+4b2，移項(xiàng)合并得：（2a﹣4）x=4b2當(dāng)a≠2時(shí)，x=；當(dāng)a=2且b=0時(shí)，任意解；當(dāng)a=2且b≠0時(shí)，無解．點(diǎn)評：此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把未知數(shù)系數(shù)化為1，求出解．【例2】已知：關(guān)于x的方程ax+3=2x-b有無數(shù)多個(gè)解，試求a,b的值.分析：先把方程轉(zhuǎn)化為ax=b的形式，再根據(jù)方程ax=b有無數(shù)解，則a=0,b=0求解參數(shù)的值.解答：解：ax+3=2x-b，則（a-2）x=-3-b.因?yàn)樵摲匠逃袩o數(shù)解，所以a-2=0，-3-b=0，解得a=2，b=-3.點(diǎn)評：本題逆向考查了含參一元一次方程的解，可以逆用解含參方程的方法求解.【例3】（2014秋?宣武區(qū)校級(jí)期中）解絕對值方程：|x﹣1|=3．分析：把x-1看成一個(gè)整體來解這個(gè)絕對值方程.因?yàn)榻^對值等于3的數(shù)有兩個(gè)，所以x-1=3或x-1=-3.解答：解：x-1=3或x-1=-3，解這兩個(gè)方程，得x=4或x=-2.點(diǎn)評：本題考查了含絕對值符號(hào)的一元一次方程，理解絕對值的意義是解題關(guān)鍵．【例4】若方程5（x﹣2）=2（3x﹣6）和方程mx﹣+m=+1的解相同，求m的值和方程的解．分析：先解一元一次方程5（x﹣2）=2（3x﹣6）得到x=2，根據(jù)同解方程的定義，把x=2代入方程mx﹣+m=+1得到關(guān)于m的一元一次方程，解此方程即可得到m的值．解答：解：5（x﹣2）=2（3x﹣6）5x﹣10=6x﹣12，5x﹣6x=﹣12+10，﹣x=﹣2，所以x=2，把x=2代入方程mx﹣+m=+1得2m﹣+m=+1，2m+m=+1+，3m=，所以m=，即m的值為，方程的解為x=2．點(diǎn)評：本題考查了同解方程：如果第一個(gè)方程的解都是第二個(gè)方程的解，并且第二個(gè)方程的解也都是第一個(gè)方程的解，那么這兩個(gè)方程叫做同解方程．練習(xí)答案：練1．（2012秋?藁城市校級(jí)期中）若a，b是已知數(shù)，則﹣5y+2a=﹣3y+2bA．a(chǎn)+bB．a(chǎn)﹣bC．b﹣aD．﹣a﹣b分析：先移項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)，最后化系數(shù)為1，從而得到方程的解．解答：解：﹣5y+2a=﹣3y+2b移項(xiàng)得：﹣5y+3y=﹣2a+2b合并同類項(xiàng)得：﹣2y=﹣2a+2b化系數(shù)為1得：y=﹣a+b．故選C．點(diǎn)評：本題考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步驟是：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、化系數(shù)為1．注意移項(xiàng)要變號(hào)．練2．（2014春?普陀區(qū)期末）關(guān)于x的方程（3a﹣2）x=2（3﹣x），當(dāng)a≠0時(shí)，該方程的解是分析：根據(jù)一元一次方程的解法，只要先去括號(hào)，再移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，化系數(shù)為1，從而得到方程的解．解答：解：去括號(hào)得，3ax﹣2x=6﹣2x，移項(xiàng)得，3ax﹣2x+2x=6，合并同類項(xiàng)得，3ax=6，∵a≠0，∴兩邊同除以3a得，x=．故答案為：x=．點(diǎn)評：本題主要考查了解一元一次方程，是基礎(chǔ)題，比較簡單，需要注意a≠0條件的利用．練3．（2011秋?肥城市期末）關(guān)于x的方程2﹣3x=a（x﹣2）的解為x=﹣1，則a的值為（）A．5B．﹣1C．﹣5D．分析：把x=﹣1代入方程2﹣3x=a（x﹣2）中，得到關(guān)于a的一元一次方程，解即可．解答：解：把x=﹣1代入原方程得：2﹣3×（﹣1）=a（﹣1﹣2），化簡得：﹣3a=5解得：a=．故選D．點(diǎn)評：本題考查了一元一次方程的解的概念以及解一元次方程的有關(guān)知識(shí)．練4．已知關(guān)于x的一次方程（3a+8b）x+7=0無解，則abA．正數(shù)B．非正數(shù)C．負(fù)數(shù)D．非負(fù)數(shù)分析：關(guān)于x的一次方程（3a+8b）x+7=0無解，當(dāng)且僅當(dāng)3a+8b=0，得a=，即ab=．解答：解：∵關(guān)于x的一次方程（3a+8b）x+7=0∴當(dāng)且僅當(dāng)3a+8b=0∴a=，∴ab=，∵b2≥0，∴≤0，故選B．點(diǎn)評：本題考查了解一元一次方程，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．練5．方程|x|=5的解是，|x﹣2|=0的解是，3|x|=﹣6的解是，|x+2|=3的解是．分析：上述各題分別先去掉絕對值后再進(jìn)行運(yùn)算即可得出答案．解答：解：（1）|x|=5，∴x=5或﹣x=5，解得：x=5或x=﹣5；（2）|x﹣2|=0，根據(jù)絕對值的非負(fù)性，故x﹣2=0，∴x=2；（3）3|x|=﹣6＜0，根據(jù)絕對值的非負(fù)性，故其解不存在；（4）|x+2|=3，∴x+2=3或x+2=﹣3，解得：x=1或x=﹣5；故答案為：x=±5，x=2，不存在，x=1或x=﹣5．點(diǎn)評：本題考查了含絕對值的一元一次方程，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是正確去掉絕對值符號(hào)．練6．（2014秋?新洲區(qū)期末）關(guān)于x的方程2x﹣4=3m和x+2=m有相同的解，則mA．10B．﹣8C．﹣10D．8分析：在題中，可分別求出x的值，當(dāng)然兩個(gè)x都是含有m的代數(shù)式，由于兩個(gè)x相等，可列方程，從而進(jìn)行解答．解答：解：由2x﹣4=3m得：x=；由x+2=m得：x=m﹣2，由題意知=m﹣2，解之得：m=﹣8．故選：B．點(diǎn)評：根據(jù)題目給出的條件，列出方程組，便可求出未知數(shù)．練7．已知關(guān)于x的方程x+|3a|=﹣1與3x+12=0的解相同，求a分析：求出第二個(gè)方程的解得到x的值，代入第一個(gè)方程計(jì)算即可求出a的值．解答：解：方程3x+12=0，解得：x=﹣4，把x=﹣4代入x+|3a|=﹣1得：﹣4+|3a|=﹣1，即|3解得：a=1或﹣1．點(diǎn)評：此題考查了同解方程，解決的關(guān)鍵是能夠求解關(guān)于x的方程，要正確理解方程解的含義．課后小測答案：1．關(guān)于未知數(shù)x的方程ax+b2=bx+a2（a≠b）的解是（）A．x=a+bB．C．x=a﹣bD．x可以是一切實(shí)數(shù)解：方程ax+b2=bx+a2（a≠b）可化為：ax﹣bx=a2﹣b2，合并同類項(xiàng)得：（a﹣b）x=a2﹣b2，因?yàn)閍≠b，則a﹣b≠0，系數(shù)化為1得：，整理得：x=a+b．故選A．2．關(guān)于x的方程（a≠b）的解為（）A．x=a﹣bB．x=a+bC．x=2abD．x=b﹣a解：去分母得：a（a+x）=b（x﹣b）+2ab去括號(hào)得：a2+ax=bx﹣b2+2ab移項(xiàng)，合并得：（a﹣b）x=﹣a2﹣b2+2ab方程兩邊都除以（a﹣b）得：x=b﹣a．故選D．3．（2013秋?余姚市校級(jí)期中）適合關(guān)系式|x+|+|x﹣|=2的整數(shù)解x的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)解：當(dāng)x＞時(shí)，原式可化為：x++x﹣=2，解得：x=，不適合題意舍去；當(dāng)x＜﹣時(shí)，原式可化為：﹣x﹣﹣x+=2，解得：x=﹣，不適合題意舍去；當(dāng)時(shí)，原式可化為：x+﹣x+=2，解得：2=2．說明當(dāng)時(shí)，關(guān)系式|x+|+|x﹣|=2恒成立，所以滿足條件的整數(shù)解x有：0和1．故選：C．4．（2012秋?昌江區(qū)校級(jí)期末）已知方程|x|=ax+1有一個(gè)負(fù)根而且沒有正根，那么a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞﹣1B．a(chǎn)=1C．a(chǎn)≥1D．非上述答案解：如果x＜0，|x|=﹣x，﹣x=ax+1，x=＜0，a+1＞0，a＞﹣1．故選A．5．（2014?萬州區(qū)校級(jí)一模）若關(guān)于2k﹣3x=4的方程2k﹣3x=4與x﹣3=0的解相同，則k的值為（）A．﹣10B．10C．﹣11D．11解：解x﹣3=0，得x=6，程2k﹣3x=4與x﹣3=0的解相同，把x=6代入程2k﹣3x=4，得2k﹣18=4k=11，故選：D．6．（2013秋?惠山區(qū)校級(jí)期末）已知方程4x=8與x﹣k=1的解相同，則4k2﹣1的值為（）A．1B．3C．8D．17解：解方程4x=8，得：x=2，把x=2代入x﹣k=1，得：k=1，∴4k2﹣1=3．故選B．7.（2014秋?乳山市期末）小明解方程，去分母時(shí)，方程右邊的﹣2忘記乘6，求出的解是x=，則a的值是（）A．﹣4B．C．1D．﹣分析：根據(jù)題意得到去分母結(jié)果，把x的值代入計(jì)算即可求出a的值．解答：解：根據(jù)題意得：6x﹣3=2x﹣2a﹣2把x=﹣代入得：﹣﹣3=﹣﹣2a﹣2，解得：a=1，故選C8．當(dāng)m≠4時(shí)，方程mx﹣n=4x的解是x=．解：移項(xiàng)得：mx﹣4x=n，合并同類項(xiàng)得：（m﹣4）x=n，化系數(shù)為1得：x=．故答案為：x=．9．（2011秋?蕭山區(qū)校級(jí)期末）已知關(guān)于x的方程2mx﹣6=（m+2）x有正整數(shù)解，則整數(shù)m的值是3，4，5，8．解：解關(guān)于x的方程2mx﹣6=（m+2）x，得：x=．∵x為正整數(shù)，∴為正整數(shù)，又∵m是整數(shù)，∴m﹣2是6的正約數(shù)，∴m﹣2=1，2，3，6，∴m