中考第一輪復(fù)習(xí)-代數(shù)式

年級初三學(xué)科數(shù)學(xué)版本人教新課標(biāo)版內(nèi)容標(biāo)題中考第一輪復(fù)習(xí)——代數(shù)式編稿老師銘士教育教學(xué)研究小組【本講教育信息】一、教學(xué)內(nèi)容：復(fù)習(xí)二：代數(shù)式整式、分式、二次根式.二、知識要點(diǎn)：1.代數(shù)式（1）定義：用運(yùn)算符號（加、減、乘、除、乘方、開方等）把數(shù)與字母連接而成的式子叫做代數(shù)式.（2）分類：（3）有理式：只含有加、減、乘、除、乘方（包括數(shù)字開方運(yùn)算）的代數(shù)式，叫做有理式.（4）無理式：含有關(guān)于字母開方運(yùn)算的代數(shù)式，叫做無理式.（5）整式：沒有除法運(yùn)算或雖有除法運(yùn)算但除式里不含字母的有理式叫做整式.即單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.（6）分式：用A、B表示兩個(gè)整式，A÷B就可以表示成eq\f(A,B)的形式，如果B中含有字母，式子eq\f(A,B)就叫做分式，分式中的字母取值必須使分母的值不為零，否則無意義.（7）形如eq\r(,a)（a≥0）的代數(shù)式叫二次根式.2.整式（1）有關(guān)概念：①單項(xiàng)式：數(shù)與字母的積所表示的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式.②多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式.③同類項(xiàng)：所含的字母相同并且相同字母的指數(shù)也分別相同的單項(xiàng)式叫做同類項(xiàng).把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng).（2）運(yùn)算：①去括號與添括號去括號法則：括號前是“＋”號，去掉括號和它前面的“＋”號，括號里各項(xiàng)都不改變符號；括號前是“－”號，去掉括號和它前面的“－”號，括號里各項(xiàng)都改變符號.添括號法則：括號前是“＋”號，括到括號里的各項(xiàng)都不變符號；括號前是“－”號，括到括號里的各項(xiàng)都改變符號.②加減：整式的加減法實(shí)際上就是合并同類項(xiàng).③冪的運(yùn)算：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.④整式的乘法：單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式，只有一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)分配律用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.⑤整式的除法：單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，把系數(shù)、同底數(shù)冪相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，然后把所得的商相加.⑥乘法公式：a.平方差公式；b.完全平方公式.⑦零指數(shù)和負(fù)整數(shù)指數(shù)：規(guī)定a0＝1，a－p＝eq\f(1,ap)（a≠0，p為正整數(shù)）.3.因式分解（1）定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種恒等變形叫做因式分解（又叫分解因式）.（2）基本方法：提取公因式；運(yùn)用公式、分組分解.4.分式（1）基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變.（2）符號法則：－eq\f(－a,－b)＝－eq\f(a,b)＝eq\f(－a,b)＝eq\f(a,－b).（3）分式的加減：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減；異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜阜质剑缓笙嗉訙p.（4）分式的乘除法：分式乘分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘；分式的乘方是把分子、分母各自乘方.5.二次根式（1）最簡二次根式應(yīng)滿足：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.（2）二次根式的主要性質(zhì)：①（eq\r(,a)）2＝a（a≥0）；②eq\r(,a2)＝︱a︱＝eq\b\lc\{(\a\al\vs3(a(a>0),0(a＝0),－a(a<0)))；③eq\r(,ab)＝eq\r(,a)·eq\r(,b)（a≥0，b≥0）；④eq\r(,\f(b,a))＝eq\f(\r(,b),\r(,a))（b≥0，a＞0）.（3）因式的外移和內(nèi)移、把分母中的根號化去.（4）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式，再合并同類二次根式.（5）二次根式的乘除法：把被開方數(shù)相乘（除），所得的積（商）仍作積（商）的被開方數(shù)，并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡二次根式.三、重、難點(diǎn)：1.會列代數(shù)式，并會求代數(shù)式的值；2.掌握整式運(yùn)算、因式分解的方法；3.分式的運(yùn)算性質(zhì)，會熟練約分、通分；4.二次根式的性質(zhì).四、考點(diǎn)分析：本部分中考命題的熱點(diǎn)是對二次根式性質(zhì)的化簡，求值與分類討論等數(shù)學(xué)思想方法的考查，在中考中整式運(yùn)算、分式運(yùn)算，根式運(yùn)算，冪的運(yùn)算及分解因式等內(nèi)容，幾乎為每年必考內(nèi)容，對這部分內(nèi)容考查的題型多以填空題、選擇題等題型為主，所以在復(fù)習(xí)中要注意透徹理解基本概念和定義，熟悉運(yùn)算法則、公式及使用條件，并能迅速而準(zhǔn)確地進(jìn)行基本運(yùn)算.【典型例題】例1.完成下列各題：（1）下列各式計(jì)算正確的是（）A.a2＋a2＝a4B.（3x）2＝6x2C.（x2）3＝x6D.（x＋y）2＝x2＋y2解析：合并同類項(xiàng)是系數(shù)相加，字母及字母的指數(shù)不變；同底數(shù)冪相乘（除），底數(shù)不變，指數(shù)相加（減）；積的乘方是各因式乘方的積.A選項(xiàng)a2＋a2＝2a2，B選項(xiàng)（3x）2＝9x2，D選項(xiàng)是完全平方公式.正確答案是C.（2）計(jì)算eq\r(,12)（eq\r(,75)＋3eq\r(,\f(1,3))－eq\r(,48)）的結(jié)果是（）A.6B.4eq\r(,3)C.2eq\r(,3)＋6D.12解析：明確運(yùn)算法則和運(yùn)算順序，二次根式的化簡應(yīng)貫穿在整個(gè)運(yùn)算過程中.選D.（3）分式eq\f(x2＋2x－3,︱x︱－1)的值為0，則x的取值為（）A.x＝－3B.x＝3C.x＝－3或x＝1D.x＝3或x＝－1解析：分式的值為零的條件是：分子x2＋2x－3＝0，而分母︱x︱－1≠0，∴x＝－3，故選A.（4）若2amb2m＋3n與a2n－3b8的和仍是單項(xiàng)式，則m與n的值分別是（）A.1，2B.2，1C.1，1D.1，3解析：由題意可知eq\b\lc\{(\a\al\vs3(m＝2n－3,2m＋3n＝8))，解之得eq\b\lc\{(\a\al\vs3(m＝1,n＝2)).選A例2.運(yùn)用乘法公式計(jì)算：（1）（eq\f(x,4)＋eq\f(2,3)y）（eq\f(x,4)－eq\f(2,3)y）；（2）（x－a）（x＋a）（x2－a2）.分析：第（1）題直接運(yùn)用平方差公式計(jì)算；第（2）題先用平方差公式，再用完全平方公式計(jì)算.解：（1）（eq\f(x,4)＋eq\f(2,3)y）（eq\f(x,4)－eq\f(2,3)y）＝（eq\f(x,4)）2－（eq\f(2,3)y）2＝eq\f(x2,16)－（2）（x－a）（x＋a）（x2－a2）＝（x2－a2）（x2－a2）＝（x2－a2）2＝x4－2a2x2＋a4例3.已知x2－4＝0，求代數(shù)式x（x＋1）2－x（x2＋x）－x－7的值.解：原式＝x3＋2x2＋x－x3－x2－x－7＝x2－7，當(dāng)x2＝4時(shí)，原式＝－3.評析：解這類求值題目，除了直接代入外，還可以通過巧妙變形，整體代入求代數(shù)式的值.如a2＋a－1＝0，則a3＋2a2＋2009＝a（a2＋a）＋a2＋2009＝2010.例4.填空：（1）若eq\r(,1－3a)和︱8b－3︱互為相反數(shù)，則（eq\f(1,ab)）2－27＝__________.解析：由二次根式和絕對值的非負(fù)性可求出a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(3,8)，進(jìn)而代入求值即可.結(jié)果為37.（2）分解因式：3ax2－3ay2＝__________.解析：先提取公因式3a，再利用平方差公式.3ax2－3ay2＝3a（x＋y）（x－y）.在進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：①如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么要先提出這個(gè)公因式，再進(jìn)一步分解因式；②分解因式時(shí)，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止；③因式分解過程的每一步必須都是恒等變形.例5.已知x2－6x+1＝0，求eq\f(x2,x4＋x2＋1)的值.解：∵x2－6x＋1＝0，∴x2＋1＝6x，且x≠0，∴x＋eq\f(1,x)＝6.∴eq\f(x2,x4＋x2＋1)＝eq\f(1,x2＋1＋\f(1,x2))＝eq\f(1,（x＋\f(1,x)）2－1)＝eq\f(1,62－1)＝eq\f(1,35).評析：由x2－6x＋1＝0，得x≠0，且x2＋1＝6x，∴x＋eq\f(1,x)＝6，把分式化成含x＋eq\f(1,x)的分式，代入求值.例6.化簡求值：eq\f(2x,x2－y2)－eq\f(1,x－y)，其中x＝3eq\r(,5)－1，y＝－2eq\r(,5)＋1.分析：先由x2－y2與x－y找到最簡公分母為（x＋y）（x－y），通分作分式減法.解：原式＝eq\f(2x,（x＋y）（x－y）)－eq\f(x＋y,（x＋y）（x－y）)＝eq\f(2x－（x＋y）,（x＋y）（x－y）)＝eq\f(x－y,（x＋y）（x－y）)＝eq\f(1,x＋y).當(dāng)x＝3eq\r(,5)－1，y＝－2eq\r(,5)＋1時(shí)，原式＝eq\f(1,3\r(,5)－1＋（－2\r(,5)＋1）)＝eq\f(1,\r(,5))＝eq\f(\r(,5),5).評析：最后結(jié)果中如果分母含有被開方數(shù)，要用公式eq\f(1,\r(,a))＝eq\f(\r(,a),（\r(,a)）2)＝eq\f(\r(,a),a)將分母化為有理數(shù)（式）.【方法總結(jié)】復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)對基本概念的理解，如整式、同類項(xiàng)等概念.熟練掌握運(yùn)算法則，提高計(jì)算能力，掌握公式的特征.有關(guān)分式的運(yùn)算是中考命題的重點(diǎn)，在二次根式化簡中要注意分類討論的思想.【預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案】（復(fù)習(xí)三：方程和不等式）一、預(yù)習(xí)前知1.我們學(xué)習(xí)過三種類型的方程，它們是__________、__________、__________.2.說一說等式、不等式的基本性質(zhì).二、預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)1.解一元一次方程的一般步驟是：①__________；②__________；③__________；④__________；⑤__________.2.一元二次方程的一般形式是__________.3.一元二次方程的四種解法是：__________.4.如何確定不等式組的解集？反思：（1）等式、不等式、方程、代數(shù)式有何區(qū)別？（2）比較一元一次不等式和一元一次方程解法的相同點(diǎn)與不同點(diǎn).【模擬試題】（答題時(shí)間：50分鐘）一、選擇題1.下列運(yùn)算正確的是（）A.a2＋a3＝a5B.a2·a3＝a5C.（a3）2＝a5D.a10÷a2＝a62.化簡（－3x2）·2x3的結(jié)果是（）A.－6x5B.－3x5C.2x5D.6x53.如圖所示，陰影部分的面積是（）A.eq\f(11,2)xyB.eq\f(13,2)xyC.6xyD.3xy4.下列因式分解中，結(jié)果正確的是（）A.x2－4＝（x＋2）（x－2）B.1－（x＋2）2＝（x＋1）（x＋3）C.2m2n－8n3＝2n（m2－4n2）D.x2－x＋eq\f(1,4)＝x2（1－eq\f(1,x)＋eq\f(1,4x2)）5.二次根式eq\r(,（－3）2)的值是（）A.－3B.3或－3C.3D.96.下列說法中，正確的是（）A.如果eq\f(a＋b,b)＝eq\f(c＋d,d)，那么eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)B.eq\r(,9)的算術(shù)平方根等于3C.當(dāng)x＜1時(shí)，eq\r(,x－1)有意義D.方程x2＋x－2＝0的根是x1＝－1，x2＝2*7.下列運(yùn)算中正確的是（）A.x5＋x5＝2x10B.－（－x）3·（－x）5＝－x8C.（－2x2y）3·4x－3＝－24x3y3D.（eq\f(1,2)x－3y）·（－eq\f(1,2)x＋3y）＝eq\f(1,4)x2－9y2*8.已知兩個(gè)分式：A＝eq\f(4,x2－4)，B＝eq\f(1,x＋2)＋eq\f(1,2－x)，其中x≠±2，則A與B的關(guān)系是（）A.相等B.互為倒數(shù)C.互為相反數(shù)D.A大于B**9.現(xiàn)規(guī)定一種運(yùn)算：a⊕b＝ab＋a－b，其中a、b為實(shí)數(shù)，則a⊕b＋（b－a）⊕b等于（）A.a2－bB.b2－bC.b2D.b2－a**10.若x2－x－2＝0，則eq\f(x2－x＋2\r(,3),（x2－x）2－1＋\r(,3))的值等于（）A.eq\f(2,3)eq\r(,3)B.eq\f(\r(,3),3)C.eq\r(,3)D.eq\r(,3)或eq\f(\r(,3),3)二、填空題1.分解因式：x3－4x2＋4x＝__________.2.計(jì)算（a2b）2÷a＝__________.3.計(jì)算（3a）2·a5＝__________.4.若分式eq\f(x2－x－2,x2＋2x＋1)的值為0，則x的值等于__________.*5.若實(shí)數(shù)x、y滿足eq\r(,x＋2)＋（y－eq\r(,3)）2＝0，則xy的值是__________.*6.如圖所示是一個(gè)數(shù)表，現(xiàn)用一個(gè)矩形在數(shù)表中任意框出4個(gè)數(shù)eq\b\lc\(\a\al\vs3(ab,cd))，則：（1）a、c的關(guān)系是__________；（2）當(dāng)a＋b＋c＋d＝32時(shí)，a＝__________.**7.若實(shí)數(shù)x、y滿足xy≠0，則m＝eq\f(x,︱x︱)＋eq\f(︱y︱,y)的最大值是__________.**8.如圖所示，依次連接第一個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)正方形，再依次連接第二個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)得到第三個(gè)正方形，按此方法繼續(xù)下去，若第一個(gè)正方形的邊長為1，則第n個(gè)正方形的面積是__________.三、解答題1.化簡求值：（1）（2a＋1）2－2（2a＋1）＋3，其中a＝eq\r(,2)；（2）（1－eq\f(3,x＋2)）÷eq\f(x2－2x＋1,x＋2)，其中x＝1＋eq\r(,2).2.已知實(shí)數(shù)a滿足a2＋2a－8＝0，求eq\f(1,a＋1)－eq\f(a＋3,a2－1)×eq\f(a2－2a＋1,a2＋4a＋3)的值.**3.某同學(xué)作業(yè)本上做了這么一道題：“當(dāng)a＝▓時(shí)，試求a＋eq\r(,a2－2a＋1)的值”，其中▓SHAPE是被墨水弄污的，該同學(xué)所求得的答案為eq\f(1,2)，請你判斷該同學(xué)答案是否正確，說出你的道理.**4.閱讀下面的解題過程，判斷是否正確，若正確，在題后的橫線上打?qū)?；若不正確，說出錯(cuò)在哪一步，寫出正確的步驟，并寫上最后的正確答案.已知：a＜0，ab＜0，化簡eq\r(,（a－b－4\r(,3)）2)－eq\r(,（b－a＋\r(,3)）2).解：eq\r(,（a－b－4\r(,3)）2)－eq\r(,（b－a＋\r(,3)）2)＝︱a－b－4eq\r(,3)︱－︱b－a＋eq\r(,3)︱＝（a－b－4eq\r(,3)）＋（b－a＋eq\r(,3)）＝a－b－4eq\r(,3)＋b－a＋eq\r(,3)＝－3eq\r(,3).【試題答案】一、選擇題1.B2.A3.A【圖中陰影部分的面積為2y·3x－0.5x·（2y－y）＝6xy－eq\f(1,2)xy＝eq\f(11,2)xy】4.A5.C6.A【選項(xiàng)A中eq\f(a＋b,b)＝eq\f(c＋d,d)可化為eq\f(a,b)＋1＝eq\f(c,d)＋1，即eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)；eq\r(,9)的算術(shù)平方根等于eq\r(,3)；當(dāng)x≥1時(shí)，eq\r(,x－1)才有意義；方程x2＋x－2＝0的根為1或－2，故選A】7.B【x5＋x5＝2x5；（－2x2y）3·4x－3＝－32x3y3；（eq\f(1,2)x－3y）·（－eq\f(1,2)x＋3y）＝－（eq\f(1,2)x－3y）2＝－eq\f(1,4)x2＋3xy－9y2，B正確】8.C【B＝eq\f(1,x＋2)＋eq\f(1,2－x)＝eq\f(－4,x2－4)，所以A＋B＝eq\f(4,x2－4)＋eq\f(－4,x2－4)＝0，所以A與B互為相反數(shù)】9.B【a⊕b＋（b－a）⊕b＝ab＋a－b＋（b－a）×b＋（b－a）－b＝ab＋a－b＋b2－ab＋b－a－b＝b2－b】10.A【由x2－x－2＝0得x2－x＝2，∴eq\f(x2－x＋2\r(,3),（x2－x）2－1＋\r(,3))＝eq\f(2＋2\r(,3),22－1＋\r(,3))＝eq\f(2＋2\r(,3),3＋\r(,3))＝eq\f(2,3)eq\r(,3)】二、填空題1.x（x－2）22.a3b23.9a74.2【由題意得x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1.當(dāng)x＝－1時(shí)x2＋2x＋1＝0，不符合題意舍去.】5.－2eq\r(,3)【由題意知x＋2＝0，y－eq\r(,3)＝0，即x＝－2，y＝eq\r(,3)，∴xy＝－2eq\r(,3)】6.（1）c＝a＋5（2）5【（1）從表中可以看出這四個(gè)數(shù)之間的關(guān)系是b＝a＋1，c＝a＋5，d＝a＋6，所以a、c的關(guān)系是c＝a＋5（2）當(dāng)a＋b＋c＋d＝32時(shí)，即a＋（a＋1）＋（a＋5）＋（a＋6）＝32，解得a＝5】7.2【∵xy≠0，∴x≠0，y≠0.當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)，m