剛體定軸轉(zhuǎn)動教材

剛體定軸轉(zhuǎn)動(RotationofRigidBodyaboutaFixedAxis)§1剛體的運(yùn)動一、剛體(rigidbody)1.剛體·剛體是受力時形狀和體積不改變的物體---理想化模型?！傮w是特殊的質(zhì)點(diǎn)系，其上各質(zhì)點(diǎn)間的相對位置保持不變。2.剛體的運(yùn)動形式·平動(translation)：可用質(zhì)心的運(yùn)動代表·轉(zhuǎn)動(rotation)：分定軸轉(zhuǎn)動(本章討論)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(如陀螺的運(yùn)動)·平面運(yùn)動(如車輪的運(yùn)動)·一般運(yùn)動：可分解為兩種運(yùn)動隨質(zhì)心的平動繞通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動·pr·pro轉(zhuǎn)動平面1.物理量·轉(zhuǎn)動平面：過剛體上某點(diǎn)p垂直于轉(zhuǎn)軸的平面?！まD(zhuǎn)動中心：轉(zhuǎn)動平面與軸的交點(diǎn)o·p在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)繞o作圓周運(yùn)動可用圓周運(yùn)動的角量描述剛體的運(yùn)動。(1)角位置：(2)角位移：=ddt(3)角速度：=ddt大?。悍较颍貉剌S(指向由右手確定)(4)角加速度：(矢量)=ddt=ddtd2dt2=方向：沿軸(加速轉(zhuǎn)動)；(減速轉(zhuǎn)動)2.角量和線量的關(guān)系(1)p點(diǎn)的線速度=rr：p點(diǎn)的矢徑(由轉(zhuǎn)動中心o引出)(2)p點(diǎn)的線加速度=a=a=ddtd(r)dt==ddtr+drdta=r+切向加速度：at=r法向加速度：an=3.典型定軸轉(zhuǎn)動(1)勻速轉(zhuǎn)動：=0=const.-0=t1212=const.=0+t-0=0t+t22-02=2(-0)M軸zoM軸zorFro轉(zhuǎn)動平面x·p一、力矩1.力對軸的矩設(shè)力F在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，作用點(diǎn)在pM軸=rF方向：沿軸(由右手定)；r是op思考：如F不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，M軸方向如何確定?2.力對固定點(diǎn)的矩M點(diǎn)=rFr是op(o是某定點(diǎn))·可以證明：M軸是M點(diǎn)沿z軸的投影·以下把M軸記作M二、轉(zhuǎn)動定律1.推導(dǎo)·剛體看作是由很多質(zhì)元組成·質(zhì)元i：質(zhì)量mizFiFjmzFiFjmimjrirjfifjo外力Fi內(nèi)力fi·由牛頓定律，對質(zhì)元mi有Fi+fi=miai，(ai=ain+ait)·以ri對等式作叉積(從左側(cè))riFi+rifi=miri(ain+ait)·riain=0(為什么?)riait=ri(ri)=ri2[利用了a(bc)=(ac)b-(ab)c]于是有riFi+rifi=miri2·對所有質(zhì)元求和有(riFi)+(rifi)=(miri2)·各項(xiàng)意義(riFi)：各質(zhì)元所受的外力矩之和,即剛體所受的外力矩(rifi)：各質(zhì)元所受的內(nèi)力矩之和可證(rifi)=0(見下)(miri2)：稱剛體的轉(zhuǎn)動慣量(見下)，寫作J=(miri2)★證明(rifi)=0每一對內(nèi)力的內(nèi)力矩之和都為零對質(zhì)元i和j，其內(nèi)力矩之和為rifi+rjfj=rifi+rj(-fi)=(ri-rj)fi=0[因(ri-rj)||fi]可知所有內(nèi)力矩之和為零。·可得轉(zhuǎn)動定律M=JmmirifiiioFi·在剛體上任取一質(zhì)元i：質(zhì)量mi矢徑ri(由轉(zhuǎn)動中心o引出)外力Fi；內(nèi)力fi(設(shè)均在轉(zhuǎn)動平面內(nèi))·由牛頓定律，對質(zhì)元mi有Fi+fi=miai·其切向分量式為Fisini+fisini=miait=miri·等式兩端同乘以ri有Firisini+firisini=miri2(式中Firisini為外力Fi對軸的力矩；firisini為內(nèi)力fi對軸的力矩)對每一個質(zhì)元都可以列出相應(yīng)的式子·對所有質(zhì)元的式子相加有iFirisini+ifirisini=i(miri2)·上式中iFirisini為剛體所受的各外力對軸的力矩之和，即剛體所受的合外力矩(對軸)，記作M；·因?yàn)閮?nèi)力成對出現(xiàn)，每一對內(nèi)力的力矩之和應(yīng)為零，故上式中ifirisini=0?！(miri2)是剛體的轉(zhuǎn)動慣量J，故有轉(zhuǎn)動定律M=J2.意義：剛體所受的合外力矩等于轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積。如M一定，則J三、轉(zhuǎn)動慣量(momentofinertia)1.定義J=(miri2)如剛體為連續(xù)體，則為J=r2dm2.意義：反映剛體轉(zhuǎn)動慣性的大小J大轉(zhuǎn)動慣性大J和下列因素有關(guān)：剛體的質(zhì)量剛體的質(zhì)量分布m1m1=m2誰的J大?輪(斷面)軸123棒J1、J2、J3誰大?RmRm[例1]求小球m的轉(zhuǎn)動慣量。解：m看作質(zhì)點(diǎn)J=mR2[例2]質(zhì)量為m的細(xì)圓環(huán)，求J。dmRdmR多個質(zhì)量為dm的小段，對每個dm有dJ=R2dm對整個環(huán)有J=R2dm=mR2drdmdSrdrdmdSrRm，半徑R)，求J。解：把盤分成無限多個環(huán)。取其中一個環(huán)(半徑r，寬dr，質(zhì)量dm)，其轉(zhuǎn)動慣量dJ=r2dmdmdm=()2rdrmR2J=J=0r2dm=mR2R12★轉(zhuǎn)動慣量表(見教材)ozozmicdrcirioJ=Jc+md2J—對oo軸的轉(zhuǎn)動慣量Jc—對通過質(zhì)心C的軸的轉(zhuǎn)動慣量d—兩平行軸間的距離證明：J=miri2=miriri=mi(rci+d)(rci+d)=mirci2+mid2+2(drci)mi=Jc+md2+2d(mirci)

第3項(xiàng)中mirci=0(為什么?)oRoRmoc·[例]求環(huán)對oo軸的轉(zhuǎn)動慣量。解:J=Jc+mR2=2mR2

四、轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用MRmm2m1aRmm2m1a各量已知。求繩中張力及物體加速度(設(shè)m2>m1)。T2m2mT2m2m1T1T2T1m2m1m··列動力學(xué)方程對對m1：T1-m1g=m1對m2：m2g-T2=m2a對m：T2R-T1R=mR2(3)12a=R(4)·聯(lián)立各方程可得a=a=(m2-m1)gm1+m2+m12112T1=m1g(2m2m1+m2+m12112T2=m2g(2m1+m1+m2+m12lomg注意：T1T2(m=0時，有T1=lomg[例2]質(zhì)量為m、長為l的棒可繞軸o轉(zhuǎn)動。棒由水平自靜止釋放。求：(1)棒擺至角時的、；(2)棒在豎直位置時所受的軸力。解：(1)求：棒在位置時所受的力矩M=M=mg()coslmg(l/2)cos2==mglcos2J由轉(zhuǎn)動定律可得(2)求=ddtddddt)()=(dd=d=d=(mglcos2J)d0d=0cosdmgl2Jmglmgl2Jsin2=12=[=[3gsinl]1/2ml2ml2J=13其中用了(3)求棒在豎直位置時所受的軸力。NxNyomgcyx·設(shè)軸對棒的力為NNxNyomgcyx·質(zhì)心運(yùn)動定理y向Ny-mg=macnx向Nx=mact·=/2時，=0，l2l2act==0acnacn=2l2=3255mg2Ny=·drrddrrdoxF一、力矩的功外力F的元功dW=Fdr=Fcosdr=Fcosrd=MdW=初MdW=初Md末反映力矩的空間積累作用效果。二、轉(zhuǎn)動動能整個剛體的動能應(yīng)等于各質(zhì)元的動能之和。1212Ek=(mii2)12=(miri2)212Ek=J2三、定軸轉(zhuǎn)動的動能定理M=M=J=Jddtddtdd=J初Md=初Jd末末12末初Md=J2末-J2初12W外=Ek末-Ek初合外力矩的功等于動能的增量思考：在第四章的“質(zhì)點(diǎn)系的動能定理”的左端，除有W外一項(xiàng)外，還有一項(xiàng)W內(nèi)。而在上面的動能定理式中為何沒有W內(nèi)一項(xiàng)了?micyoxhihcm1.剛體的重力勢能在重力場中的剛體質(zhì)量為m·重力勢能Ep=mighi=g(mihi)hc=hc=mihim有Ep=mghc·機(jī)械能1212E=J2+mghc2.功能原理·對于包括有剛體的系統(tǒng)，功能原理形式仍為W外+W非保內(nèi)=E末-E初·若系統(tǒng)內(nèi)只有保守內(nèi)力作功，其機(jī)械能亦守恒。練習(xí)：用機(jī)械能守恒再解棒下擺問題，并對比兩種解法。§4剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律討論：力矩對時間的積累效應(yīng)一、剛體對軸的角動量p(mp(mi)ririiLzo轉(zhuǎn)動平面ox·質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)的角動量定義是L=rm質(zhì)點(diǎn)系對某固定點(diǎn)的角動量為系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)對該固定點(diǎn)的角動量的矢量和?！と鐖D剛體對固定點(diǎn)o的角動量為L點(diǎn)=rimii2.剛體對軸的角動量---剛體上各質(zhì)元對各自轉(zhuǎn)動中心的角動量的矢量和L軸=ri(mii)=ri(ri)mi，[利用a(bc)]=(miri2)L軸=J可以證明：L軸是L點(diǎn)沿z軸的分量。(以下L軸記作L)二、剛體對軸的角動量定理1.微分形式M=JM=J=JddtMM=d(J)dtJ不隨t變，MM=dLdt有剛體所受的(對軸的)外力矩等于剛體(對軸的)角動量的時間變化率或?qū)懽鱉dt=dL2.積分形式對于一段時間過程有初初Mdt=L末-L初末二、(對固定軸的)角動量守恒定律1.如合外力矩等于零則L=J=const.即轉(zhuǎn)動過程中角動量(大小、方向)保持不變或L末=L初J末末=J初初角動量守恒定律比轉(zhuǎn)動定律適用范圍更廣泛，這里可以有J末J初2.轉(zhuǎn)動系統(tǒng)由多個物體(剛體或質(zhì)點(diǎn))組成·同樣可得角動量守恒定律·但系統(tǒng)內(nèi)各物體的角動量必須是對同一固定軸而言的。演示：·茹可夫斯基凳·回轉(zhuǎn)儀錄像：“角動量守恒”h/2lo·Mgh/2lo·Mgch(m+M)gm0·速度0撞擊質(zhì)量M長l上端懸掛的棒，碰后兩者粘在一起轉(zhuǎn)動。求棒端升起的最大高度h。解：兩過程題·過程1：m—M非彈性碰撞系統(tǒng)：m—M條件：外力—軸力、重力系統(tǒng)動量不守恒外力矩為零系統(tǒng)角動量守恒mml0=ml(l)+Ml2(1)13·過程2：m—M上擺系統(tǒng)：m—M---地球條件：外力---軸力，但W外=0內(nèi)力---重力(保守內(nèi)力)