文檔高數(shù)第七章

PAGEPAGE1習(xí)題7.11．求點(diǎn)與原點(diǎn)及各坐標(biāo)面間的距離.解M與原點(diǎn)的距離M與x軸的距離M與y軸的距離M與z軸的距離2.求面上與已知三點(diǎn),和等距離的點(diǎn).解設(shè)所求點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，y，z).則即化簡得所以,故所求點(diǎn)為（0，1，－2）.已知平面過點(diǎn)和.試求該平面.解設(shè)平面方程為。則即故故所求平面方程為4.試?yán)L出以下柱面的圖形（圖形略）:(1)準(zhǔn)線:母線平行于軸;(2)準(zhǔn)線：母線平行于軸;(3)準(zhǔn)線：母線平行于軸5.已知準(zhǔn)線為母線平行于軸，試求此柱面方程，并繪出其圖形.解準(zhǔn)線方程可寫為 它表示一個(gè)橢圓.故所求柱面為橢圓柱面，其方程為（圖形略）.解（1）曲線方程為即它表示平面上的一條雙曲線。（2）曲線方程為即它表示平面上的一個(gè)橢圓。（3）曲線方程為即它表示平面上的一對直線10.求球面與平面的交線在坐標(biāo)面上的投影的方程.解由得，代入得即將之與聯(lián)立，便得到所求投影曲線的方程它表示坐標(biāo)面上的一個(gè)橢圓.習(xí)題7.2利用向量的線性運(yùn)算性質(zhì)證明：三角形兩邊中點(diǎn)的連線平行于第三邊，且其長等于第三邊長度的一半.證設(shè)ABC的兩邊AB、AC的中點(diǎn)分別為D、E（如圖7.4所示）。ADBEADBEC則圖7.4圖7.4故且.已知，，求及解直接計(jì)算得已知兩點(diǎn)及,求向量的模,方向余弦和方向角.解的模為由于故的方向余弦分別為方向角分別為已知兩個(gè)力,作用于同一點(diǎn)，問要用怎樣的力才能與它們平衡？并求平衡力的大小和方向.解因?yàn)樗云浯笮榉较蛴嘞曳謩e為求平行于向量的單位向量.解設(shè),,,求向量在軸上的投影及在軸上的投影向量.解因?yàn)閤yz圖7.5所以，m在xyz圖7.5試證明向徑可寫成其投影向量之和，即，其中和如圖7.5所示.證直接計(jì)算得與向量在坐標(biāo)軸上的投影類似.可定義向量在任意軸上的投影.已知空間中一點(diǎn)及一根軸，過點(diǎn)作垂直于軸的平面，則平面與軸的交點(diǎn)稱為點(diǎn)在軸上的投影.設(shè)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)在軸上的投影分別為和，則當(dāng)與軸同向時(shí)，向量在軸上的投影定義為；當(dāng)與軸反向時(shí)，向量在軸上的投影定義為.記為(參見圖7.6)，則，其中，表示向量和軸的正向之間的夾角.試根據(jù)圖7.7說明下式成立.D\D\EECBACBA圖7.7圖圖7.7圖7.6解如圖7.8所示，。習(xí)題7.3證明下面三個(gè)向量相互垂直.，，.解因?yàn)椋?，，所以設(shè)，，求及.解設(shè)，，計(jì)算及，并求與的夾角的余弦和正弦值.解判斷向量是否與向量和平行.，，.解因?yàn)?所以a，b不平行.又，故a,c不平行.已知，，，求與，同時(shí)垂直的單位向量.解易知設(shè)所求向量為。則即又因?yàn)槭菃挝幌蛄?，即故進(jìn)而有，因此，所求向量為設(shè)重量為100公斤的物體從點(diǎn)沿直線移動(dòng)到點(diǎn)，計(jì)算重力所作的功(長度單位為米).解重力,重力所作的功=600g/(J).解根據(jù)向量積的概念，判斷下列向量是否共面.，，;，，.解（1）因?yàn)樗圆还裁?（2）因?yàn)樗怨裁?求由，，為棱的四面體的體積.解由能否導(dǎo)出結(jié)論?答因?yàn)樗怨视捎诠蚀嬖冢沟玫沁@并不能導(dǎo)出.實(shí)際上，如果取則但習(xí)題7.4求通過點(diǎn)且與向量垂直的平面方程.解由平面的點(diǎn)法式方程得平面方程，即。求通過點(diǎn)且與平面平行的平面方程.解由平面的點(diǎn)法式方程得平面方程為，即。求過點(diǎn)且與向量平行的平面方程.解由題意知所以平面π的方程為即求過點(diǎn)且垂直于從原點(diǎn)到的向量的平面方程.解由題意知所求平面的法向量可取為。故由點(diǎn)法式方程得平面方程為即求過三點(diǎn)，和的平面方程.解因?yàn)樗詎故平面方程為即求過點(diǎn)，和的平面方程.解由截距式方程得所求平面方程求由下列條件所確定的平面的一般方程.(1)通過軸和點(diǎn)的平面；(2)通過點(diǎn)和且平行于軸的平面；(3)經(jīng)過點(diǎn)，且平行于向量的平面.解（1）平面平行于向量及故.由點(diǎn)法式方程，故得平面方程（2）因?yàn)樗詎=故所求平面方程為即（3）因?yàn)樗詎=故所求平面方程為即求點(diǎn)到平面的距離.解求三個(gè)平面的交點(diǎn).解交點(diǎn)滿足方程組消元求解：故交點(diǎn)為習(xí)題7.5求滿足下列條件的直線方程.(1)過點(diǎn)且與兩平面和的交線平行的直線方程；經(jīng)過點(diǎn)和的直線方程.解（1）兩個(gè)平面的法向量分別為n1=(1,0,-4),n2=(2,-1,-5).故所求直線的方向向量由直線的對稱式方程，得直線方程或等價(jià)地 （2）直線的方向向量可取為，因此，所求直線方程為或等價(jià)地用對稱方程及參數(shù)方程表示直線解將兩個(gè)方程相減，消去變量y，得同樣，消去x,得y-5z=6,即故得對稱式方程進(jìn)而得參數(shù)方程求過點(diǎn)且與直線垂直相交的直線方程.解設(shè)兩條相交直線的交點(diǎn)為（x0,y0,z0），則根據(jù)第一個(gè)方程，可令x0=2t+1,y0=3t+1,z0=-5t,代入第二個(gè)方程得.所以，故所求直線方程為即求直線與的夾角的余弦.解兩條直線的方向向量分別為故所求夾角的余弦值為求過點(diǎn)且通過直線的平面方程.解平行于的方向向量.平面與向量平行。則所求平面的法向量可取為因此，所求平面方程為，即.求經(jīng)過直線且平行于直線的平面方程.解由題設(shè)，所求平面的法方向由于通過所求平面，故過點(diǎn)。故所求平面方程為，即.求分別由下列條件所確定的直線方程：(1)經(jīng)過點(diǎn)且與兩平面和平行.(2)過點(diǎn)且與平面垂直.解（1）由題設(shè)，所求直線的方向向量故該直線方程為即（2）由題設(shè)，所求直線的方向向量 2,故該直線方程為求直線與平面的交點(diǎn).解聯(lián)立求解方程組解得交點(diǎn)求直線與平面的夾角.解直線的方向向量為而平面法向?yàn)楣仕鼈冎g的夾角即直線與平面的夾角為0。求點(diǎn)到直線的距離.解令z=0，代入直線方程得直線上一點(diǎn)A0(1,-2,0)，直線的方向向量故得直線方程化成參數(shù)式方程：過點(diǎn)P且垂直于已知直線的平面的方程為即由于點(diǎn)到直線的垂足在已知直線和平面上，即為它們的交點(diǎn)。將直線參數(shù)式方程代入上面平面方程，得故，再代回已知直線的參數(shù)式方程，得點(diǎn)的坐標(biāo)。因此，已知點(diǎn)P到直線的距離即為P與之間的距離：在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和透視畫法中，需要把空間中目視的物體表示成二維平面的圖像.如圖所示，假定視點(diǎn)在點(diǎn)，而需將點(diǎn)投影成坐標(biāo)面上的一點(diǎn).具體做法是從點(diǎn)引一條射線把投影到坐標(biāo)面上的點(diǎn)(見圖7.8).試確定點(diǎn)的坐標(biāo)；研究從（1）中得到的在或的特性，并且觀察當(dāng)時(shí)和的變化情況，得到的結(jié)果是什么？圖7.圖7.8解（1）點(diǎn)落在過兩點(diǎn)的直線上。的方程為，即令得點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)值。故點(diǎn)的坐標(biāo)為。（2）當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)與重合；當(dāng)時(shí)，此時(shí)視線平行于坐標(biāo)面，一般情況下在坐標(biāo)面上沒有投影點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)與相應(yīng)坐標(biāo)會(huì)越來越近似.2a2ab-a2baa-ba+bba-b作圖驗(yàn)證下列等式成立：(1)；(2)；(3).解參看圖7.9。圖7.9設(shè)，求證由于，因此，AABC證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊.證如圖7.10所示，只需證明。上式兩邊平方：圖7.10圖7.10或等價(jià)地。由于，故成立，故得證。作的三個(gè)邊的中點(diǎn)，試證明.AFBEAFBECD圖7.5圖7.5圖7.11圖7.11求與向量平行且滿足的向量.解由題意設(shè)。則，即。因此，。將坐標(biāo)面上的雙曲線分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.解雙曲線分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程分別為，，即，.求直線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.解直線的參數(shù)方程為。將作為參數(shù)，得根據(jù)旋轉(zhuǎn)面的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)面的參數(shù)方程為其中為參數(shù)。故得旋轉(zhuǎn)面的一般方程為。求曲線在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線的方程.解方程組中消去得曲線所經(jīng)過的母線平行于軸的柱面（即曲線關(guān)于坐標(biāo)平面的投影柱面）方程。因此，曲線在坐標(biāo)平面上的投影曲線的方程是同理，將方程組中兩個(gè)方程相加，得。由此得，代入曲線方程中的第一個(gè)方程，消去，得到曲線關(guān)于坐標(biāo)平面上的投影柱面的方程：。故曲線在坐標(biāo)平面上的投影曲線的方程是由對稱性，在坐標(biāo)平面上的投影曲線的方程是求螺旋線在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線的方程.解方程組中消去得曲線關(guān)于坐標(biāo)平面的投影柱面方程。因此曲線在坐標(biāo)平面上的投影曲線的方程為同理，消去得到在坐標(biāo)平面上的投影曲線的方程：消去，得到在坐標(biāo)平面上的投影曲線的方程：求由上半球面，柱面及平面所圍成的立體在坐標(biāo)面和坐標(biāo)面上的投影（見圖7.12）.解半球面和柱面的交線方程為消去得投影柱面方程。因此，曲線在坐標(biāo)面的投影方程為它是所圍成的立體在坐標(biāo)面的投影的邊界。因此，立體在圖7.12坐標(biāo)面上的投影為圖7.12同理，在半球面和柱面的交線方程中消去得柱面方程。它在坐標(biāo)面的投影方程為它圍成的區(qū)域在坐標(biāo)面的上半部分，即就是立體在坐標(biāo)面的投影。求通過點(diǎn)且與直線垂直的平面方程.解所求平面的法向量可取為。根據(jù)點(diǎn)法式方程，所求平面的方程為，即。設(shè)直線通過點(diǎn)，且和兩直線s相交.試求此直線的方程.ss1M1解如圖7.13所示，設(shè)所求直線的方向向量。s1M1L1在上取一點(diǎn)，向量與L1M及的方向向量共面，M圖7.13s2M2L2即成立圖7.13s2M2L2在上取一點(diǎn)，向量與及的方向向量共面，即成立。因此，方向向量滿足即成立因此，所求直線方程為，或?qū)懗蓞?shù)形式（影線問題）把視線置于點(diǎn)，觀察一塊頂點(diǎn)為，和的三角形板.從點(diǎn)到的線段穿過這塊板，在視線中線段的什么部分被板隱藏？（提示：問題可歸結(jié)為三角板所在平面與線段所在直線的交點(diǎn)問題）解先求過點(diǎn)和的直線的方程：，即其中當(dāng)時(shí)對應(yīng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)對應(yīng)點(diǎn)。直線與三角板所在平面的交點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)滿足，故得（對應(yīng)的交點(diǎn)為）。因此，當(dāng)參數(shù)時(shí)，線段上的點(diǎn)被隱藏.求直線在平面上的投影直線的方程（提示：在過直線的所有平面（這些平面構(gòu)成一個(gè)平面束，滿足方程，其中為參數(shù)，參見閱讀材料1）中找一個(gè)與平面垂直的平面，該平面與平面的交線即為所求.）.解過已知直線的平面束方程為即由于投影平面與已知平面的法向垂直，所以.解得代入平面束方程得投影直線所經(jīng)過的平面故所求投影直線為設(shè)直線及平面.如果一束光線沿直線投射到平面上，求其反射線所在的直線方程（提示：類似上題，在過直線的平面束中尋找所求直線）.解過的平面束方程為即設(shè)反射線在直線上，在平面束中包含的平面與已知平面垂直，即，。解之得故得平面的方程：與