2022-2023學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)期中考試仿真模擬試卷及答案解析

-2023學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)期中考試仿真模擬試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若純虛數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的值為（）A B. C. D.2．在中，，，，則此三角形（）A.無(wú)解 B.一解C.兩解 D.解的個(gè)數(shù)不確定3．已知邊長(zhǎng)為2的正三角形采用斜二測(cè)畫法作出其直觀圖，則其直觀圖的面積為（）A. B. C. D.4．平面中兩個(gè)向量，滿足，，則在方向上的投影向量為（）A.2 B. C. D.-25．圣·索菲亞教堂（英語(yǔ)：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中國(guó)黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑．1996年經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)，被列為第四批全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單位，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點(diǎn)其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對(duì)稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美．小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點(diǎn)（三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂，教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在樓頂處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t小明估算索菲亞教堂的高度為（）A. B. C. D.6．在銳角△ABC中，∠C為最大角，且，則實(shí)數(shù)k的取值范圍（）A. B. C. D.7．已知三棱錐的高為1，底面為等邊三角形，，且P，A，B，C都在體積為的球O的表面上，則該三棱錐的底面的邊長(zhǎng)為（）A. B. C.3 D.8．已知分別為的邊上的點(diǎn)，線段和線段相交于點(diǎn)，若，且，，其中，則的最小值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．歐拉公式（其中為虛數(shù)單位，）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位.被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的“天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.為純虛數(shù)C.的共軛復(fù)數(shù)為D.已知復(fù)數(shù)，，則復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱10．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，以下說(shuō)法中正確的是（）A.若，則B.若，則為鈍角三角形C.若，則符合條件的三角形不存在D.若，則一定是等腰三角形11．在正方體中，如圖M，N分別是正方形，的中心．則下列結(jié)論正確的是（）A.平面與棱的交點(diǎn)是的三等分點(diǎn)B.平面與棱的交點(diǎn)是的中點(diǎn)C.平面與棱的交點(diǎn)是的三等分點(diǎn)D.平面將正方體分成前后兩部分的體積比為12．已知向量，，滿足，，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.C.，有D.若，，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．如圖，在平行四邊形中，和分別是邊和的中點(diǎn)，若，其中，則________.14.如圖，地平面上有一根旗桿，為了測(cè)得它高度，在地面上取一基線，，在處測(cè)得點(diǎn)的仰角，在處測(cè)得點(diǎn)的仰角，又測(cè)得，則旗桿的高度是________.15.復(fù)數(shù)、滿足，，若，則的取值范圍是______.16．如圖正四棱柱中，，，以為球心，為半徑的球與側(cè)面的交線為，點(diǎn)為交線上一動(dòng)點(diǎn)，則從運(yùn)動(dòng)到時(shí)，所形成的曲面面積為____________.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．已知，，的夾角是60°，計(jì)算（1）計(jì)算，；（2）求和的夾角的余弦值.18．已知復(fù)數(shù)滿足，的虛部為2，在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限．（1）求；（2）若，在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，求．19．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的邊長(zhǎng)均為，E，F(xiàn)分別是線段AC1和BB1的中點(diǎn)．（1）求證：EF平面ABC；（2）求三棱錐C﹣ABE體積．20．在直角梯形中，已知，對(duì)角線交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．（1）求的值；（2）若為線段上任意一點(diǎn)，求的取值范圍．21．江都種植花木，歷史悠久，相傳始于唐代，盛于清代，素有“花木之鄉(xiāng)”之稱，在國(guó)內(nèi)外有較高的知名度．某種植園準(zhǔn)備將如圖扇形空地分隔成三部分建成花卉觀賞區(qū)，分別種植玫瑰花、郁金香和菊花；已知扇形的半徑為米，圓心角為，動(dòng)點(diǎn)在扇形的弧上，點(diǎn)在上，且．（1）當(dāng)米時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）綜合考慮到成本和美觀原因，要使郁金香種植區(qū)的面積盡可能的大；設(shè)，求面積的最大值．22．從①②，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答（注：若選擇多個(gè)條件，按第一個(gè)解答計(jì)分）.在中，分別是角的對(duì)邊，若__________.（1）求角的大?。海?）若是的中點(diǎn)，，求面積的最大值.（3）若為的外接圓圓心，且，求實(shí)數(shù)的值.答案解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若純虛數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的值為（）A B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，，則，解得，故選：D.2．在中，，，，則此三角形（）A.無(wú)解 B.一解C.兩解 D.解的個(gè)數(shù)不確定【答案】C【解析】在中，，，，由正弦定理得，而為銳角，且，則或，所以有兩解．故選：C3．已知邊長(zhǎng)為2的正三角形采用斜二測(cè)畫法作出其直觀圖，則其直觀圖的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，是邊長(zhǎng)為2的正的直觀圖，則，，則高，故的面積.故選：C.4．平面中兩個(gè)向量，滿足，，則在方向上的投影向量為（）A.2 B. C. D.-2【答案】B【解析】由題意得：，故在方向上的投影向量為，故選：B5．圣·索菲亞教堂（英語(yǔ)：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中國(guó)黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑．1996年經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)，被列為第四批全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單位，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點(diǎn)其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對(duì)稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美．小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點(diǎn)（三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂，教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在樓頂處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t小明估算索菲亞教堂的高度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知：，所以在中，，在中，由正弦定理得所以，在中，故選：D6．在銳角△ABC中，∠C為最大角，且，則實(shí)數(shù)k的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，所以由正弦定理可得，因?yàn)椤螩為最大角，所以為最大邊，所以有，因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，且∠C為最大角，所以，因此，故選：A7．已知三棱錐的高為1，底面為等邊三角形，，且P，A，B，C都在體積為的球O的表面上，則該三棱錐的底面的邊長(zhǎng)為（）A. B. C.3 D.【答案】C【解析】設(shè)球的半徑為，由球的體積為可得，，解得．因?yàn)槿忮F的高為1，所以球心在三棱錐外．如圖，設(shè)點(diǎn)為的外心，則平面．在△中，由，且，得．因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，所以．故選：．8．已知分別為的邊上的點(diǎn)，線段和線段相交于點(diǎn)，若，且，，其中，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，又，所以，，所以，，又，，三點(diǎn)共線，所以，化簡(jiǎn)得到，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．歐拉公式（其中為虛數(shù)單位，）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位.被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的“天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.為純虛數(shù)C.的共軛復(fù)數(shù)為D.已知復(fù)數(shù)，，則復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)：，故A正確；B選項(xiàng)：，為純虛數(shù)，故B正確；C選項(xiàng)：，的共軛復(fù)數(shù)為，故C正確．D選項(xiàng)：，，所以與實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)，故復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)部對(duì)稱，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．10．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，以下說(shuō)法中正確的是（）A.若，則B.若，則為鈍角三角形C.若，則符合條件的三角形不存在D.若，則一定是等腰三角形【答案】AC【解析】若，則，所以由正弦定理可得，故A正確；若，，，則，即，所以角為銳角，即為銳角三角形，故B錯(cuò)誤；若，，，根據(jù)正弦定理可得所以符合條件的三角形不存在，即C正確；若，則，即,因?yàn)?所以或，即或，所以為等腰或直角三角形，故D錯(cuò)誤.故選：AC11．在正方體中，如圖M，N分別是正方形，的中心．則下列結(jié)論正確的是（）A.平面與棱的交點(diǎn)是的三等分點(diǎn)B.平面與棱的交點(diǎn)是的中點(diǎn)C.平面與棱的交點(diǎn)是的三等分點(diǎn)D.平面將正方體分成前后兩部分的體積比為【答案】ACD【解析】如圖，取的中點(diǎn)，延長(zhǎng)，并交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，設(shè)，，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，則四邊形就是平面與正方體的截面，是平面的中心，是中點(diǎn)，，則，可得點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，由對(duì)稱性知點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，故A正確，B錯(cuò)誤，C正確；作出線段的另一個(gè)三等分點(diǎn)，作出線段靠近的三等分點(diǎn)，連接，，，，可知．，從而平面將正方體分成兩部分的體積比為，故D正確．故選：ACD．12．已知向量，，滿足，，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.C.，有D.若，，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以又，則由得，解得，故D正確，故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．如圖，在平行四邊形中，和分別是邊和的中點(diǎn)，若，其中，則________.【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)楹头謩e是邊和的中點(diǎn)，可得,又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?故答案為：.14.如圖，地平面上有一根旗桿，為了測(cè)得它高度，在地面上取一基線，，在處測(cè)得點(diǎn)的仰角，在處測(cè)得點(diǎn)的仰角，又測(cè)得，則旗桿的高度是________.【答案】【解析】在中，；在中，；在中，由余弦定理得：，即，，即旗桿的高度是.故答案為：.15.復(fù)數(shù)、滿足，，若，則的取值范圍是______.【答案】【解析】因?yàn)?，則，所以，，，故.故答案為：.16．如圖正四棱柱中，，，以為球心，為半徑的球與側(cè)面的交線為，點(diǎn)為交線上一動(dòng)點(diǎn)，則從運(yùn)動(dòng)到時(shí)，所形成的曲面面積為____________.【答案】【解析】由題意可知，以為球心，為半徑的球與側(cè)面的交線為，那么交線是一段圓弧，即平面截球所得的截面圓上的一段弧，由于平面,該截面圓的圓心是點(diǎn)C，截面圓的半徑等于，故從運(yùn)動(dòng)到時(shí)，所形成的曲面是繞DC旋轉(zhuǎn)形成的圓錐的側(cè)面的一部分，該圓錐的母線長(zhǎng)等于，由于,,,所以,而,故是正三角形，則,所以所形成的曲面面積為，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．已知，，的夾角是60°，計(jì)算（1）計(jì)算，；（2）求和的夾角的余弦值.【答案】（1），（2）【解析】（1）由題可得，，所以；（2），設(shè)和的夾角為，所以.18．已知復(fù)數(shù)滿足，的虛部為2，在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限．（1）求；（2）若，在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，求．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，設(shè)，則，有，因的虛部為2，即，解得，，所以.（2）由(1)知，，，，則點(diǎn)，，，因此，，所以.19．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的邊長(zhǎng)均為，E，F(xiàn)分別是線段AC1和BB1的中點(diǎn)．（1）求證：EF平面ABC；（2）求三棱錐C﹣ABE體積．【答案】（1）證明見解析；（2）3.【解析】（1）證明：取AC的中點(diǎn)為G，連結(jié)GE，GB，在△ACC1中，EG為中位線，所以EGCC1，，又因?yàn)镃C1BB1，CC1＝BB1，F(xiàn)為BB1中點(diǎn)，所以EGBF，EG＝BF，所以四邊形EFBG為平行四邊形，所以EFGB，又EF平面ABC，GB平面ABC，所以EF平面ABC．（2）因?yàn)镋為AC1的中點(diǎn)，所以E到底面ABC的距離是C1到底面ABC的距離的一半，即三棱錐E﹣ABC的高h(yuǎn)＝CC1＝，又△ABC的面積為，所以．20．在直角梯形中，已知，對(duì)角線交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．（1）求的值；（2）若為線段上任意一點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）（1）因?yàn)?，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系如下圖：因?yàn)椋裕忠驗(yàn)閷?duì)角線交于點(diǎn)，所以由得，即，因此，而，所以，解得，因此．又因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以設(shè)，因此，而，所以，解得，即，因此，而，所以，即的值為；（2）因?yàn)榫€段上任意一點(diǎn)，所以由（1）知：可設(shè)（包括端點(diǎn)），因此，所以．因?yàn)楹瘮?shù)的圖象開口上，對(duì)稱軸為，而，所以函數(shù)的值域?yàn)?，即的取值范圍是?/p>