初中數(shù)學 教學設(shè)計：平面圖形的認識

課題：小結(jié)與思考一、本章的知識框圖二、重點、難點突破重點：（一）平行線的條件與性質(zhì)1、平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。2、直線平行的條件：同位角相等，兩直線平行。內(nèi)錯角相等，兩直線平行。同旁內(nèi)角相等，兩直線平行。平行線的性質(zhì)：（1）兩直線平行，同位角相等。（2）兩直線平行，內(nèi)錯角相等。（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。（二）平移1、平移的現(xiàn)象在日常生活中，我們經(jīng)?？吹交┻\動員在平坦雪地上滑翔、大樓的電梯上上下下地運送來客、火車在筆直的鐵路上飛馳、鋁合金窗葉左右移動、升降機上下運東西、這些現(xiàn)象都是平移現(xiàn)象．2、平移的概念在一個平面內(nèi)，將一個基本的圖形沿一定的方向移動了一定的距離，這種圖形平行移動稱為平移．3、平移的特征由平移后的圖形與原圖形比較，可得出，平移后的圖形與原圖形的對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等，圖形的形狀與大小都沒有發(fā)生變化，在平移過程中，對應(yīng)線段有時平行，有時還可能在同一直線上，對應(yīng)點所連的線段平行且相等，有時對應(yīng)點的連線也可能會在同一直線上．4平移作圖（1）已知原圖和一對應(yīng)點作出平移后的圖形．（2）已知原圖和一對應(yīng)角作出平移后的圖形．（3）已知原圖平移距離作出平移后的圖形．（三）三角形1、三邊關(guān)系三角形中任意兩邊之和大于第三邊是由“兩點之間的所有線段中，線段最短”這個結(jié)論得到的，要注意知識之間的前后聯(lián)系。2、按角分類在按角對三角形分類時，要明確分類的標準，注意分類時要做到“不重不漏”，同時注意到三角形三條邊、三個角之間的關(guān)系與三角形的具體形狀無本質(zhì)關(guān)系，特殊三角形的特殊性質(zhì)與其具體形狀有關(guān)，如“直角三角形的兩個銳角互余”。3、三線三角形中的高、角平分線、中線是三角形的幾條重要線段。三角形中的三條高、三條角平分線、三條中線必交于一點，其中角平分線和中線的交點都在三角形內(nèi)，而三條高的交點則要分類討論。三角形的高線的畫法實質(zhì)的對直線外一點作已知直線的垂線，這是畫出高線的關(guān)鍵，也是高線的本質(zhì)，從易到難是分散難點和突破難點的具體措施和方法。4、三角形內(nèi)角和理解三角形內(nèi)角和為180°時，要結(jié)合學習過的有關(guān)平行線特征和識別的知識。5、多邊形多邊形（n邊形）：由n條不在同一直線上的線段首尾順次連接組成的平面圖形。凸多邊形：如果沿著多邊形任何一條邊作直線，多邊形均在直線的同側(cè)。

凹多邊型：多邊形存在若干這樣的邊，如果沿著這條邊作直線，多邊形在直線的兩側(cè)。正多邊形：多邊形的各邊都相等且各角都相等。對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段。n邊形的內(nèi)角和=(n-2)·180°任意多邊形的外角和都為360°（外角和是指：每個頂點取且只取一個外角）。

注意：(1)多邊形的內(nèi)角和僅與邊數(shù)有關(guān)，與多邊形的大小、形狀無關(guān)；

(2)凸多邊形的內(nèi)角α的范圍：0°＜α＜180°6、任意多邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°（這里n表示邊數(shù)），外角和是360°，需指出的是多邊形內(nèi)角和隨邊數(shù)的變化而變化，而外角和是一個定值，它不隨邊數(shù)的變化而變化，此類題目類型大致可分為：

（1）已知邊數(shù)，求內(nèi)角和。其方法是直接將邊數(shù)代入公式即可。

（2）已知角度求邊數(shù)。

若已知內(nèi)角和，則直接用內(nèi)角和公式列方程可求邊數(shù)；

若已知一個內(nèi)角的度數(shù)，則列出這個角度乘以n等于(n-2)·180°的方程，求邊數(shù)；

若已知一個外角的度數(shù)，則只需用外角和除以已知角的度數(shù)，即求出邊數(shù)；

若已知內(nèi)、外角和的度數(shù)之比，則利用等于已知比，可求邊數(shù)。難點：1、找同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角。2、能夠運用平移的基礎(chǔ)知識分析復(fù)雜圖的形成過程。3、理解平移的性質(zhì)．4、三邊關(guān)系的理解，5、多邊形內(nèi)角和的運用整合拓展創(chuàng)新類型之一、平行線的條件和性質(zhì)例1如圖7-1，已知∠BED＝∠B+∠D，則AB(A)先向下移動1格，再向左移動1格(B)先向下移動1格，再向左移動2格(C)先向下移動2格，再向左移動1格(D)先向下移動2格，再向左移動2格7-7【思路分析】把圖（1）中的M視為靜止不動的圖形，而運動的圖形是N，它可以先左右平移，后上下平移；也可以先上下平移后左右平移?？梢园l(fā)現(xiàn)應(yīng)選D2、將方格紙中的圖形向右平行移動4格，再向下平移動3格，畫出平移后的圖形。7-8【思路分析】按照題意平移而得如圖所示圖形。7-9類型之三認識三角形例5、長為2，3，5的線段，分別延伸相同長度的線段后，能否組成三角形？【思路分析】設(shè)出各條線段伸長的長度，然后再用兩個較短邊的和與最長邊進行比較，若和大于最長邊，則可以組成，若小于，則不可以。解：可以，設(shè)延伸部分為，則長為，，的三條線段中，最長，因為所以，只要，長為，，的三條線段可以組成三角形?！军c評】看三條線段能否構(gòu)成一個三角形，就是看，兩條較短線段的和是否大于最長線段，若和大于最長線段則可以組成，若小于，則不可以。變式題1、某同學用長分別為5、7、9、13（單位：厘米）的四根木棒擺三角形，用其中的三根首尾順次相接，每擺好一個后，拆開再擺，這樣最多可擺出不同的三角形的個數(shù)為（

）A.1個

B.2個

C.3個

D.4個【思路分析】進行分類討論，共有如下情況：5、7、9；5、7、13；5、9、13；7、9、13；根據(jù)三邊關(guān)系，可取到5，7，9或5，9，13或7，9，13三種情況。解：選C。2、正在修建的中山北路有一形狀如圖7-10所示的三角形空地要綠化，擬將分成面積相等的4個三角形，以便種上四種不同的花草。請你幫助畫出規(guī)劃方案（至少兩種）。圖7-10【思路分析】可有以下分法：

根據(jù)中線性質(zhì)，等底同高的三角形面積相等。7-11類型之四三角形內(nèi)角和例8、如圖7-12,D是△ABC的BC邊上一點，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC＝70°求：(1)∠B的度數(shù)；(2)∠C的度數(shù).7-12【思路分析】(1)由于∠ADC＝80°，∠B＝∠BAD，而∠ADC＝∠B＋∠BAD，于是∠B的度數(shù)可求。(2)由內(nèi)角和可求得。解(1)因為∠ADC是△ABD的外角所以∠ADC＝∠B＋∠BAD＝80°又因為∠B＝∠BAD所以∠B＝80°÷2＝40°；(2)在△ABC中，因為∠B＋∠BAC＋∠C＝180°所以∠C=180°－∠B－∠BAC=180°－40°－70°=70°.【點評】適時運用內(nèi)角和及“外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和”，是三角形中求角和度數(shù)的有效方法。變式題1、如圖7-13，已知F是△ABC的連BC延長線上的一點，DF⊥AB，且∠A=56°，∠F=31°，求∠ACF的度數(shù).7-13【思路分析】直角三角形兩銳角互余；三角形內(nèi)角和180°；三角形的一個外角等于和它不相鄰兩內(nèi)角和.求角度，聯(lián)系各角，這一題不難解出，注意到：∠B+∠F=90°則有∠B=59°，∠ACF=∠A+∠B=115°.解析：因為FD⊥AB，所以∠B+∠F=90°.因為∠ACF=∠A+∠B，所以∠ACF=∠A+90°-∠F=50°+90°-31°=115°2、已知，如圖7-14,△ABC中，三條高AD、BE、CF相交于點O．若∠BAC＝60°，求∠BOC的度數(shù)．7-14答案：120°；類型之五、多邊形內(nèi)角和與外角和例9、如果多邊形的每個內(nèi)角都比它相鄰的外角的4倍還多30°，求這個多邊形的內(nèi)角和及對角線的總條數(shù)．【思路分析】由已知條件設(shè)出外角的度數(shù)，則與之相鄰的內(nèi)角的度數(shù)為4x+30°，而它們是互為鄰補角，于是，可以構(gòu)造方程。解：設(shè)外角為x度，則內(nèi)角為（4x+30°）因為每一個內(nèi)角與它的外角互為鄰補角所以：x+(4x+30°)=180°x=30°因為多邊形的外角和為360°所以多邊形的邊數(shù)為360°÷30°=12這個多邊形的內(nèi)角和為（12-2）×180°=1800°因為12邊形從任意頂點出發(fā)均可以畫出9條對角線。所以對角線的總條數(shù)為：×9×12=54這個多邊形的對角線的總條數(shù)為×12×（12-3）=54【點評】方程思想是解決此類問題的貫用方法。變式題1、已知多邊形的邊數(shù)恰好是從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線條數(shù)的2倍，求此多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和?！舅悸贩治觥吭O(shè)出這個多邊形的邊數(shù)是n，則由于從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線共有n-3條，可得方程。解：設(shè)此多邊形的邊數(shù)是n，則從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線共有n-3條，根據(jù)題意，得方程2（n－3）=n解得n=6經(jīng)計算故此多邊形是六邊形，其內(nèi)角和是720°。2、過多邊形一個頂點的所有對角線把這個多邊形分成5個三角形，則此多邊形是___________邊形。【思路分析】設(shè)此多邊形的邊數(shù)是n，則從n邊形的一個頂點可引n-3條對角線，這n-3條對角線把n邊形分成了（n－2）個三角形根據(jù)題意，得n－2=5解得n=7所以此多邊形是七邊形。3、已知一個多邊形的外角和等于內(nèi)角和的三分之一，求這個多邊形的邊數(shù)?！舅悸贩治觥吭O(shè)多邊形的邊數(shù)為n，則這個多邊形的內(nèi)角和是（n-2）×180，而外角和是1080°由題意，得（n-2）×180°=1080°解之，得n=8答：這個多邊形的邊數(shù)是8。例10、如圖7-15，在六邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和．六邊形的外角和等于多少？7-15【思路分析】可把問題轉(zhuǎn)化為：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分別為六邊形ABCDEF的外角．求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．關(guān)于外角問題我們馬上就會聯(lián)想到平角，這樣我們就得到六邊形的6個外角加上它相鄰的內(nèi)角的總和為6×180°．由于六邊形的內(nèi)角和為（6—2）×180°=720°．這樣就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．解：∵六邊形的任何一個外角加上它相鄰的內(nèi)角和為180°．∴六邊形的六個外角加上各自相鄰內(nèi)角的總和為6×180°．由于六邊形的內(nèi)角和為（6—2）×180°=720°∴它的外角和為6×180°一720°=360°【點評】解決內(nèi)外角的問題，可以用平角來幫忙。變式題1、四邊形的內(nèi)角∠A、∠B、∠C、∠D的度數(shù)之比為1：1：：1，求它的四個內(nèi)角的度數(shù)?！舅悸贩治觥繌娬{(diào)已知中的比怎么用！解：∵∠A、∠B、∠C、∠D的度數(shù)之比為1：1：：1∴可設(shè)∠A=x，則∠B=∠D=x，∠C=x又∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°∴x+x++x=360°∴x=100∴∠A=∠B=∠D=100°∠C=100×=60°2、在四邊形ABCD中，已知∠A與∠C互補，∠B比∠D大15°求∠B、∠D的度數(shù)?！舅悸贩治觥坑盟倪呅蔚乃膫€內(nèi)角和為360°。解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A+∠C=180°∴∠B+∠D=180°①又∵∠B－∠D=15°②由①、②得∠B=°，∠D=°類型之五、綜合運用例11、一個六邊形如圖7-16.已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，求∠A＋∠C＋∠E的度數(shù)。7-16【思路分析】先觀察圖形，發(fā)現(xiàn)六邊形的內(nèi)角之間可能存在什么關(guān)系，設(shè)法用推理的方法予以說明；再結(jié)合已知平行線的性質(zhì)并通過嘗試添加輔助線(連結(jié)對角線)，找到解題的途徑。解：連結(jié)AD，如圖7-16因為AB∥DE，CD∥AF所以∠1＝∠2，∠3＝∠4所以∠1+∠3＝∠2+∠4即∠FAB＝∠CDE，同理∠B＝∠E，∠C＝∠F因為∠FAB＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F=（6－2）×180°=720°所以∠FAB＋∠C＋∠E=1／2×720°=360°【點評】借助于平行線，把多邊形的問題轉(zhuǎn)化為四邊形的問題，是本題解題的有效途徑。變式：引導(dǎo)學生一題多解，把多邊形的問題轉(zhuǎn)化到三角形中去解決。可向兩個方向分別延長AB，CD，EF三條邊，構(gòu)成△PQR。7-17因為CD∥AF，所以∠1=∠R,同理∠2=∠R所以∠1＝∠2，所以∠AFE=∠DCB同理∠FAB＝∠CDE，∠ABC=∠DEF因為∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE＋∠DEF＋∠AFE=（6-2）×180°=720°所以∠FAB＋∠BCD＋∠DEF=1／2×720°=360°例12、如圖7-18，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=124°,∠E=80°,試求∠F的度數(shù).7-18【思路分析】本題的思路與例11相仿。主要也是通過作輔助線，把六邊形的問題轉(zhuǎn)化為四邊形的問題。解：連接AD在四邊形ABCD中∠DAB+∠B+∠C+∠CDA=360°因為AB⊥BC，所以∠B=90°又因為∠C=124°所以∠DAB+90°+124°+∠CDA=360°∠DAB+∠CDA=146°因為CD∥AF所以∠CDA=∠DAF（1）又因為∠CDE=∠BAF所以∠BAD=∠EDA(2)由（1）,(2)得∠DAF+∠EDA=∠CDA+∠BAD=146°（3）在四邊形ADEF中∠DAF+∠EDA+∠F+∠E=360°（4）將(3)代入（4）得∠F+∠E=214°又因為∠E=80°所以∠F=134°【點評】借助于平行線，把六邊形的問題轉(zhuǎn)化為四邊形的問題，是本題解題的有效途徑。本題是例11的延伸。變式題已知：四邊形ABCD中(如圖7-19)，∠A與∠B互補，∠C=90°，DE⊥AB，E為垂足．若∠EDC=60°，求∠B、∠A及∠ADE的度數(shù)．7-19【思路分析】