電信復(fù)變函數(shù)與積分變換

電信復(fù)變函數(shù)與積分變換1第1頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一一、冪級數(shù)的概念1.復(fù)變函數(shù)項級數(shù)定義其中各項在區(qū)域

D內(nèi)有定義.表達(dá)式稱為復(fù)變函數(shù)項級數(shù),記作

2第2頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一稱為這級數(shù)的部分和.

級數(shù)最前面n項的和和函數(shù)3第3頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一稱為該級數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).如果級數(shù)在D內(nèi)處處收斂,那末它的和一定4第4頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一2.冪級數(shù)當(dāng)或函數(shù)項級數(shù)的特殊情形或這種級數(shù)稱為冪級數(shù).5第5頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一二、冪級數(shù)的斂散性1.收斂定理(阿貝爾Abel定理)如果級數(shù)在收斂,那末對的級數(shù)必絕對收斂,如果在級數(shù)發(fā)散,那末對滿足的級數(shù)必發(fā)散.滿足阿貝爾介紹6第6頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一證由收斂的必要條件,有因而存在正數(shù)M,使對所有的n,7第7頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一而由正項級數(shù)的比較判別法知:收斂.另一部分的證明請課后完成.[證畢]8第8頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一2.收斂圓與收斂半徑對于一個冪級數(shù),其收斂半徑的情況有三種:(1)對所有的正實數(shù)都收斂.由阿貝爾定理知:級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對收斂.9第9頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一例如,級數(shù)對任意固定的z,從某個n開始,總有于是有故該級數(shù)對任意的z均收斂.10第10頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一(2)對所有的正實數(shù)除z=0外都發(fā)散.此時,級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點外處處發(fā)散.(3)既存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù),也存在使級數(shù)收斂的正實數(shù).例如,級數(shù)通項不趨于零,如圖:故級數(shù)發(fā)散.11第11頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一..收斂圓收斂半徑冪級數(shù)的收斂范圍是以原點為中心的圓域.12第12頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一答案:

冪級數(shù)的收斂范圍是何區(qū)域?問題1:

在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能作出一般的結(jié)論,要對具體級數(shù)進(jìn)行具體分析.注意問題2:冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?13第13頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一例如,級數(shù):收斂圓周上無收斂點;在收斂圓周上處處收斂.14第14頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一3.收斂半徑的求法方法1:比值法(定理二):那末收斂半徑證由于收斂.15第15頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一據(jù)阿貝爾定理,根據(jù)上節(jié)定理三,16第16頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一所以收斂半徑為[證畢]即假設(shè)不成立.17第17頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一如果:即注意:存在且不為零.定理中極限(極限不存在),即18第18頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一答案課堂練習(xí)試求冪級數(shù)的收斂半徑.19第19頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一方法2:根值法(定理三)那末收斂半徑說明:(與比值法相同)如果20第20頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一三、冪級數(shù)的運算和性質(zhì)1.冪級數(shù)的有理運算21第21頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一2.冪級數(shù)的代換(復(fù)合)運算如果當(dāng)時,又設(shè)在內(nèi)解析且滿足那末當(dāng)時,說明:此代換運算常應(yīng)用于將函數(shù)展開成冪級數(shù).22第22頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一定理四設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為那末(2)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級數(shù)逐項求導(dǎo)得到,是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)

.(1)3.復(fù)變冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)23第23頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一(3)在收斂圓內(nèi)可以逐項積分,簡言之:在收斂圓內(nèi),冪級數(shù)的和函數(shù)解析;冪級數(shù)可逐項求導(dǎo),逐項積分.(常用于求和函數(shù))即24第24頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一四、典型例題例1

求冪級數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解級數(shù)的部分和為25第25頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散.且有收斂范圍為一單位圓域由阿貝爾定理知:在此圓域內(nèi),級數(shù)絕對收斂,收斂半徑為1,26第26頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一例2求下列冪級數(shù)的收斂半徑:(1)(并討論在收斂圓周上的情形)(2)(并討論時的情形)或解(1)因為27第27頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一所以收斂半徑即原級數(shù)在圓內(nèi)收斂,在圓外發(fā)散,收斂的級數(shù)所以原級數(shù)在收斂圓上是處處收斂的.在圓周上,級數(shù)28第28頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一說明：在收斂圓周上既有級數(shù)的收斂點,也有級數(shù)的發(fā)散點.原級數(shù)成為交錯級數(shù),收斂.發(fā)散.原級數(shù)成為調(diào)和級數(shù)，(2)29第29頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一故收斂半徑例3求冪級數(shù)的收斂半徑:解30第30頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一解所以例4求的收斂半徑.31第31頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一例5把函數(shù)表成形如的冪級數(shù),其中是不相等的復(fù)常數(shù).解把函數(shù)寫成如下的形式:代數(shù)變形,使其分母中出現(xiàn)湊出32第32頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一級數(shù)收斂,且其和為33第33頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一例6求級數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解利用逐項積分,得:所以34第34頁，共37頁，2023年，2月20日，星期一例7求級數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解35第35頁，共37頁，2023