電磁場數(shù)學方法復變函數(shù)論

電磁場數(shù)學方法復變函數(shù)論第1頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一聯(lián)系方式：E_mail：qkchen@

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80課時教材：梁昆淼，《數(shù)學物理方程》（第四版）成績構(gòu)成（暫定）：平時20%+半期考試20%+期末考試60%第2頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一第一篇復變函數(shù)論第一篇復變函數(shù)論第3頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一

復變函數(shù)論是數(shù)學中一個基本的分支學科研究對象：變量為復數(shù)的函數(shù)

主要任務(wù)：研究復變函數(shù)之間的相互依賴關(guān)系，具體地就是復數(shù)域上的微積分。應(yīng)用領(lǐng)域：求解物理學上復雜場分布問題復數(shù)：實數(shù)和虛數(shù)的總稱。課程意義第一篇復變函數(shù)論第4頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一

復數(shù)是十六世紀人們在解代數(shù)方程時引進的。為使負數(shù)開方有意義，需要再一次擴大數(shù)系，使實數(shù)域擴大到復數(shù)域。但在十八世紀以前，由于對復數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進行計算又得到一些矛盾，所以，在歷史上長時期人們把復數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)”。到十八世紀，J.D’Alembert(1717-1783)與L.Euler(1707-1783)等人逐步闡明了復數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清了復數(shù)的概念，并且應(yīng)用復數(shù)和復變函數(shù)研究了流體力學等方面的一些問題，復數(shù)才被人們廣泛承認接受，復變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。復變函數(shù)論發(fā)展歷程第一篇復變函數(shù)論第5頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一

復變函數(shù)的理論基礎(chǔ)是十九世紀奠定的。

A.L.Cauchy（1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分別應(yīng)用積分和級數(shù)研究復變函數(shù)，G.F.B.Riemann(1826-1866)研究復變函數(shù)的映射性質(zhì)。他們是這一時期的三位代表人物。經(jīng)過他們的巨大努力，復變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論，且滲透到了數(shù)學的許多分支，同時，它在熱力學、流體力學和電磁學等方面也得到了很多的應(yīng)用。二十世紀以來，復變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理論物理、彈性理論和天體力學等方面，與數(shù)學中其它分支的聯(lián)系也日益密切。復變函數(shù)論發(fā)展歷程第一篇復變函數(shù)論第6頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一復變函數(shù)的路徑積分方法課程核心第7頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一

復變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實變函數(shù)在復數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它們之間有許多相似之處，但又有不同之處。在學習中要善于比較、區(qū)別、特別要注意復數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)果。學習方法第8頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一1.2復變函數(shù)1.3復變函數(shù)的導數(shù)1.4解析函數(shù)§1.1復數(shù)與復數(shù)運算§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)第一章復變函數(shù)第一篇復變函數(shù)論第9頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一對于任意兩個實數(shù)x、y，稱為復數(shù)。其中：x稱為復數(shù)的實部，

y稱為復數(shù)的虛部，

,稱為虛單位。（一）復數(shù)的概念§1.1復數(shù)與復數(shù)運算1、復數(shù)定義

全體復數(shù)在引入復數(shù)運算法則后，構(gòu)成復數(shù)域。在復數(shù)域中，復數(shù)沒有大小的概念。注：第一章復變函數(shù)第10頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一2、復數(shù)的模與幅角復數(shù)的模:復數(shù)的輻角:復數(shù)幾何表示復數(shù)幾何意義：實部與虛部可與平面坐標點建立一一對應(yīng)關(guān)系。復數(shù)的三角表示：§1.1復數(shù)與復數(shù)運算（一）復數(shù)的概念第11頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一1）當z=0時，幅角無意義；其中，滿足注：關(guān)于幅角的幾點說明：2）根據(jù)三角函數(shù)周期性，一個復數(shù)有無限多個幅角或的幅角稱為主幅角，記做：§1.1復數(shù)與復數(shù)運算（一）復數(shù)的概念第12頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一3、復數(shù)的指數(shù)表示歐拉公式：則：指數(shù)表示3）2）4）§1.1復數(shù)與復數(shù)運算注：1）（一）復數(shù)的概念第13頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一共軛復數(shù)：4、復數(shù)的共軛§1.1復數(shù)與復數(shù)運算注：（一）復數(shù)的概念第14頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（二）復數(shù)的運算1、復數(shù)的加減法1）2）§1.1復數(shù)與復數(shù)運算注：第15頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一2、復數(shù)的乘法利用復數(shù)指數(shù)形式進行乘法運算比較簡單指數(shù)式：§1.1復數(shù)與復數(shù)運算（二）復數(shù)的運算注：第16頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一3、復數(shù)的除法指數(shù)式：注：利用復數(shù)指數(shù)形式進行除法運算比較簡單§1.1復數(shù)與復數(shù)運算（二）復數(shù)的運算第17頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一1）2）3）§1.1復數(shù)與復數(shù)運算（二）復數(shù)的運算注：4)復數(shù)的運算滿足交換律、結(jié)合律、分配律。第18頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一例：若，求w?！?.1復數(shù)與復數(shù)運算解：故的主幅角有n個，即對應(yīng)有n個值：它們在以坐標原點為中心，半徑為的圓周上均勻分布——多值函數(shù)。第19頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一例：討論式子在復平面上的意義解：為圓上各點令§1.1復數(shù)與復數(shù)運算第20頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一例：求方程sinz=2解：設(shè)§1.1復數(shù)與復數(shù)運算第21頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一或或（續(xù)上）§1.1復數(shù)與復數(shù)運算第22頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一復習實變函數(shù)中關(guān)于函數(shù)的定義：§1.2復變函數(shù)

設(shè)X、Y是兩個非空實數(shù)集合，f為X到Y(jié)的一個映射，則稱f為定義在數(shù)集X上的函數(shù)，記做：其中x稱為自變量，y稱為因變量，X稱為函數(shù)f的定義域。第23頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（一）區(qū)域的概念由確定的平面點集，稱為定點z0的—鄰域鄰域：內(nèi)點：若z0及其鄰域全含于點集E內(nèi)，稱z0為點集E的內(nèi)點外點：若z0及其鄰域不含于點集E內(nèi)，稱z0為點集E的外點1、幾個定義§1.2復變函數(shù)邊界點:若z0及其鄰域既有含于E內(nèi)，又有不含于E內(nèi)的點，稱z0為點集E的邊界點。第24頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一內(nèi)點邊界點外點（一）區(qū)域的概念§1.2復變函數(shù)第25頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一2、區(qū)域A）全由內(nèi)點組成B）具連通性：點集中任何兩點都可以用一條折線連接，且折線上的點屬于該點集。

復變函數(shù)的宗量z在復平面上的滿足下述條件的定義域（點集），稱為區(qū)域：閉區(qū)域：

區(qū)域B連同它的邊界稱為閉區(qū)域，表示為表示以原點為圓心半徑為1的閉區(qū)域（一）區(qū)域的概念§1.2復變函數(shù)如：第26頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一3、區(qū)域連通性的分類

設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復連通區(qū)域.復連通區(qū)域單連通區(qū)域DD（一）區(qū)域的概念§1.2復變函數(shù)第27頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一

若復數(shù)平面中存在的點集E，對于E的每一個點（復數(shù)），均按照某種規(guī)律，有一個或多個復數(shù)值與之對應(yīng)，則稱為的復變函數(shù)。§1.2復變函數(shù)（二）復變函數(shù)的定義z稱為w的宗量，E稱為函數(shù)定義域其中：記做：二元實函數(shù)第28頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（三）復變函數(shù)例幾個常見初等函數(shù)定義式：§1.2復變函數(shù)第29頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一復變函數(shù)的周期特性：可大于1。（三）復變函數(shù)例§1.2復變函數(shù)第30頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（一）復變函數(shù)的極限與連續(xù)性

設(shè)w=f(z)在z0點的某鄰域有定義，對于任意>0，若存在>0，使得時，有則稱w0為z→z0時極限，計為1)z在全平面，z→z0的方式是任意的（比實變函數(shù)要求更高）1、復變函數(shù)的極限2)w0是復數(shù).

3)

若f(z)在處有極限,其極限是唯一的注：§1.3復變函數(shù)的導數(shù)第31頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一若在處連續(xù)，則有（一）復變函數(shù)的極限與連續(xù)性若時，有

，稱f(z)在z0點連續(xù)2、復變函數(shù)的連續(xù)性若f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處連續(xù)，則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)§1.3復變函數(shù)的導數(shù)第32頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（二）導數(shù)定義與求導設(shè)w=f(z)是在z點及其鄰域定義的單值函數(shù)，如果極限存在，并且與Δz→0的方式無關(guān)，則稱函數(shù)w=f(z)在點z處可導，該極限值稱為函數(shù)f(z)在點z處的導數(shù)，即1、定義§1.3復變函數(shù)的導數(shù)第33頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（二）導數(shù)定義與求導§1.3復變函數(shù)的導數(shù)實變函數(shù)中的求導公式和法則可應(yīng)用于復變函數(shù)。2、復變函數(shù)的求導法則第34頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（三）復變函數(shù)可導的充要條件§1.3復變函數(shù)的導數(shù)實變函數(shù)求導：Δx沿實數(shù)軸趨近0復變函數(shù)求導：Δz沿實平面任一曲線趨近0復變函數(shù)可導遠比實變函數(shù)可導要求嚴格。第35頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（三）復變函數(shù)可導的充要條件§1.3復變函數(shù)的導數(shù)1、柯西-黎曼條件（C-R條件）——必要條件

若函數(shù)f(z)在點z可導，則Δz沿實軸(x軸)和虛軸(y軸)趨近于0應(yīng)相等，即：==沿x軸：沿y軸：柯西-黎曼條件（C-R條件）第36頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（三）復變函數(shù)可導的充要條件§1.3復變函數(shù)的導數(shù)

柯西-黎曼條件不是復變函數(shù)可導的充分條件。例：證明在z=0處滿足C.R.條件，但在z=0處不可導。證：滿足C.R.條件而令，則隨而變，極限不存在。——在z=0處不可導第37頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（三）復變函數(shù)可導的充要條件§1.3復變函數(shù)的導數(shù)2、復變函數(shù)可導的充要條件

函數(shù)f(z)在點

z可導的充要條件是：

1）在點z處存在且連續(xù)；

2）滿足柯西-黎曼條件。證明：第38頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（三）復變函數(shù)可導的充要條件§1.3復變函數(shù)的導數(shù)2、復變函數(shù)可導的充要條件(續(xù)）由C-R條件

該極限為有限值且與Δz->0的方式無關(guān)——可導。第39頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（三）復變函數(shù)可導的充要條件§1.3復變函數(shù)的導數(shù)3、復變函數(shù)導數(shù)的計算公式第40頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一1）可導函數(shù)的實部與虛部有密切的聯(lián)系。當函數(shù)可導時，僅由其實部或虛部即可求得導數(shù)。（三）復變函數(shù)可導的充要條件§1.3復變函數(shù)的導數(shù)2）利用該條件可以判斷函數(shù)是否可導。注：3）復變函數(shù)導數(shù)求解步驟：I)判別u(x,y)，v(x,y)偏導數(shù)的連續(xù)性II)驗證C-R條件III)由實部或虛部求導數(shù)：3、復變函數(shù)導數(shù)的計算公式（續(xù)）第41頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（三）復變函數(shù)可導的充要條件§1.3復變函數(shù)的導數(shù)4、極坐標系中的柯西-黎曼條件

復數(shù)的極坐標表示應(yīng)用廣泛，極坐標系中的柯西-黎曼條件也有應(yīng)用價值。第42頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（三）復變函數(shù)可導的充要條件§1.3復變函數(shù)的導數(shù)3、極坐標系中的柯西-黎曼條件（續(xù)）第43頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一例：判定函數(shù)平面上何處可導？（三）復變函數(shù)可導的充要條件§1.3復變函數(shù)的導數(shù)解：由柯西-黎曼條件：

可知：在曲線上函數(shù)可導。第44頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（一）解析函數(shù)及其性質(zhì)§1.4解析函數(shù)1、解析函數(shù)的定義若w=f(z)在z0點及其鄰域上處處可導，稱f(z)在點z0解析若w=f(z)是在區(qū)域

B上任意點可導，稱f(z)在區(qū)域B

解析1）在某個區(qū)域上，函數(shù)可導與解析是等價的。注：2）函數(shù)f(z)在區(qū)域B內(nèi)解析的充要條件是：

a）在區(qū)域B內(nèi)可導且連續(xù)；

b）滿足柯西-黎曼條件。3）某區(qū)域內(nèi)解析函數(shù)在該區(qū)域必有任意階導數(shù)第45頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一例：判定函數(shù)在z平面上何處解析？（三）復變函數(shù)可導的充要條件§1.3復變函數(shù)的導數(shù)解：函數(shù)在曲線上可導。在z平面內(nèi)處處不解析。第46頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一例：證明：f(z)=ex(cosy+isiny)在復平面上解析，且f’(z)=f(z)。證：在復平面上均一階偏導連續(xù)且滿足C.R.條件——解析（一）解析函數(shù)及其性質(zhì)§1.4解析函數(shù)第47頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一定義1：在某區(qū)域上有連續(xù)二階偏導數(shù)，且滿足拉普拉斯方程的函數(shù)，稱為調(diào)和函數(shù)。（一）解析函數(shù)及其性質(zhì)§1.4解析函數(shù)2、解析函數(shù)的性質(zhì)由C.R.條件前一式對x

求導，后式對y

求導，相加同理共軛調(diào)和函數(shù)定義2：若兩調(diào)和函數(shù)分別為同一復變函數(shù)的實部和虛部，則稱為共軛調(diào)和函數(shù)。第48頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（一）解析函數(shù)及其性質(zhì)§1.4解析函數(shù)性質(zhì)一：若函數(shù)在區(qū)域B上解析，則為區(qū)域B上的共軛調(diào)和函數(shù)。2、解析函數(shù)的性質(zhì)（續(xù)）性質(zhì)二：若函數(shù)在區(qū)域B上解析，則是相互正交的兩組曲線.證：第49頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（二）解析函數(shù)的確定§1.4解析函數(shù)

若只給定一個二元調(diào)和函數(shù)u(x,y)或v(x,y)，可利用C.R.條件，求出其共軛調(diào)和函數(shù)v(x,y)或u(x,y)，確定解析函數(shù)具體方法：設(shè)已知u(x,y)，求v(x,y)全微分式第50頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（二）解析函數(shù)的確定§1.4解析函數(shù)求解方法：方法一、曲線積分法（全微分的積分與路經(jīng)無關(guān)）方法二、湊全微分顯式法方法三、不定積分法第51頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一例：已知解析函數(shù)實部u(x,y)=x2-y2，求v(x,y)。解：故u為調(diào)和函數(shù)（二）解析函數(shù)的確定§1.4解析函數(shù)方法一、曲線積分法第52頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一例：已知解析函數(shù)實部u(x,y)=x2-y2，求v(x,y)。解：（二）解析函數(shù)的確定§1.4解析函數(shù)方法二、湊全微分顯式法第53頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一例：已知解析函數(shù)實部u(x,y)=x2-y2，求v(x,y)。解：（二）解析函數(shù)的確定§1.4解析函數(shù)方法三、不定積分法對第二式對y積分，視x為參數(shù)，則有：第54頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一例：已知解析函數(shù)f(z)實部,求v(x,y)解：化為極坐標求解（二）解析函數(shù)的確定§1.4解析函數(shù)第55頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)單值函數(shù)：復數(shù)平面上點集E中的每一個點,均按照某種映射關(guān)系，與一個復數(shù)值對應(yīng)，單值復變函數(shù)。多值函數(shù)：復數(shù)平面上點集E中的每一個點,均按照某種映射關(guān)系，與多個復數(shù)值對應(yīng)，單值復變函數(shù)。第56頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)（一）初等單值函數(shù)1、冪函數(shù)

當n是正整數(shù)或0在復平面上解析。2、多項式函數(shù)在復平面上解析.3、有理函數(shù)在復平面上除使Q(z)=0的點外解析第57頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)（一）初等單值函數(shù)4、指數(shù)函數(shù)(ⅰ)ez≠0,因為|ez|=|ex·eiy|=ex>0.(ⅱ)對于實數(shù)z=x(y=0)來說,我們定義與通常實指數(shù)函數(shù)的定義是一致的.(ⅲ)ez1·ez2=ez1+z2.(ⅳ)w=ez在復平面上解析,且(ⅴ)第58頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一由歐拉公式:由此可得正弦函數(shù)、余弦函數(shù):（一）初等單值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)5、正、余弦函數(shù)有:第59頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（一）初等單值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)性質(zhì)1:在復平面上解析,且性質(zhì)2：sinz是奇函數(shù),cosz是偶函數(shù),它們遵從三角公式性質(zhì)3：sinz及cosz以為周期.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)：第60頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一性質(zhì)4：sinz=0必須且只須cosz=0必須且只須（一）初等單值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)（續(xù)）：性質(zhì)5：在復數(shù)范圍內(nèi)不再能斷定

通過sinz,cosz我們可以依照通常的關(guān)系定義正切、余切、正割、余割.第61頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（二）初等多值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)根式函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等均為多值函數(shù)。1、根式函數(shù)即：多值函數(shù)第62頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一造成根式函數(shù)多值的原因：（二）初等多值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)考察z的連續(xù)變化：(1)z從給定點z0

出發(fā)，對應(yīng)的值w從w0出發(fā)；z環(huán)繞原點(z=0)轉(zhuǎn)一圈回到原處，輻角變?yōu)棣?+2π，而w由w0變?yōu)閣1，即w從一個單值分支變到另一個單值分支；繼續(xù)沿逆時針方向繞z=0轉(zhuǎn)一圈，z再次回到原處，輻角變?yōu)棣?+4π，而w由w1

變?yōu)閣0。如路徑未包圍原點(z=0),則w始終在同一單值分支中變化，不會變化到另一分支z的輻角的多值性，即第63頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一2、單值分支

多值函數(shù)的每個值稱為單值分支。如的兩個單值分支分別為：2)所有分支值域合起來覆蓋整個w平面。（二）初等多值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)1)單值分支間值域互不交迭。注：第64頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（二）初等多值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)3、支點支點特性:

當z繞任一包圍它的路徑一周并回到原處時,函數(shù)值不復原，多值函數(shù)值由一個分支變到另一個分支，具有這種性質(zhì)的點稱為多值函數(shù)的支點。顯然：z=0，z=∞均為的支點。

若z繞支點n周后，函數(shù)值w復原，則稱該支點為n-1階支點。注：第65頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一例：的割縫：其支點為z=0，z=∞

（二）初等多值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)4、支割線

在兩個支點之間作割縫，并規(guī)定：z在連續(xù)變化的過程中不能跨越割縫，該割縫所在位置稱為割線。

從z=0出發(fā)，沿x軸正方向作一割縫至z=∞。此時，z無論在平面上怎樣變化都不可能繞z=0或z=∞轉(zhuǎn)一圈，則輻角的變化范圍在2π之內(nèi)，由此可知，w的值必在一個單值分支之內(nèi)。第66頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（二）初等多值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)5、黎曼面

中，z的第一圈和第二圈分別在“不同的”復數(shù)平面上運行，即將z平面分為兩葉平面。為了將各個分支作為整體來研究：

(1)第一頁的下岸與第二頁的上岸φ=2π粘合在一起;(2)第二頁的下岸與第一頁的上岸φ=0粘合在一起。形成的面稱為黎曼面。第67頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（二）初等多值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)6、幾個常見多值函數(shù)1）對數(shù)函數(shù)Lnz定義：若，則稱為的對數(shù)函數(shù)，記為注：時，未定義。令:第68頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（二）初等多值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)6、幾個常見多值函數(shù)2）一般冪函數(shù)定義：①：當時，為冪函數(shù)——單值解析函數(shù)②：當時，為③：其他情況時：時有意義。由于具有多值性，故函數(shù)也具有多值性。第69頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（二）初等多值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)6、幾個常見多值函數(shù)3）一般指數(shù)函數(shù)定義：由于具有多值性，故函數(shù)也具有多值性。第70頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（二）初等多值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)6、幾個常見多值函數(shù)例：求解：例：求解：第71頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一2.2柯西定理2.3不定積分§2.1復變函數(shù)的積分第二章復變函數(shù)的積分第一篇復變函數(shù)論2.4柯西公式第72頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一

設(shè)：(1)連續(xù)復變函數(shù)（一）復變函數(shù)積分定義§2.1復變函數(shù)的積分(2)C為區(qū)域D內(nèi)一條A→B的有向光滑路徑。(3)將C劃任意分成n個小段，端點為z0，z1，……,zn。(4)在每一小段[zk-1，zk]上，任取ζk，做乘積。(5)做和式。

若：無論如何分割C，極限存在，且與ζk選取無關(guān)，則稱此極限為沿C從A到B的路積分第73頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（二）復變函數(shù)積分的計算公式§2.1復變函數(shù)的積分

復變函數(shù)的路積分可以歸結(jié)為兩個實變函數(shù)的線積分。因此實變函數(shù)線積分的很多性質(zhì)可以應(yīng)用到復變函數(shù)中。

函數(shù)積分表示為：

由于，則第74頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一例：計算積分分別沿路徑(1)和(2),如圖解：路徑(1)由此可見，對于有些被積函數(shù)而言，積分與路徑有關(guān)路徑(2)(1)(2)§2.1復變函數(shù)的積分第75頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§2.2柯西定理

柯西定理揭示了復變函數(shù)的積分值與積分路徑的關(guān)系。（一）單通區(qū)域柯西定理

若函數(shù)在閉單連通區(qū)域上解析，為區(qū)域內(nèi)任意分段光滑閉合曲線（也可為邊界曲線），則有

格林公式：

由柯西-黎曼條件：單通區(qū)域柯西定理第76頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§2.2柯西定理（一）單通區(qū)域柯西定理

若函數(shù)在單連通區(qū)域上解析，在閉單通區(qū)域上連續(xù)，為區(qū)域內(nèi)任意分段光滑閉合曲線（也可為邊界曲線），則有單通區(qū)域柯西定理推論推論一：推論二：

單連通區(qū)域中解析函數(shù)f(z)的積分值與路徑無關(guān)。ABl2l1證明：第77頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一

若是閉復通區(qū)域上的單值函數(shù)，則§2.2柯西定理（二）復通區(qū)域柯西定理

將單連通區(qū)域中的奇點排除后，即形成復通區(qū)域。復通區(qū)域柯西定理式中：l為區(qū)域外境界線，li為區(qū)域內(nèi)境界線。境界線正方向的規(guī)定：觀察者正方向前進時，區(qū)域總在觀察者左邊。外境界線正向：逆時針，內(nèi)境界線正向：順時針ll1l2第78頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§2.2柯西定理（二）復通區(qū)域柯西定理（續(xù)）l2l1lABA’B’C’D’CD證明：

將復通區(qū)域做割線連接內(nèi)外境界線，則復通區(qū)域變單通區(qū)域。由單通區(qū)域柯西定理，得：

:逆時針方向積分第79頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一關(guān)于柯西定理的說明：1、閉單通區(qū)域上解析函數(shù)沿境界線積分為0；

2、閉復通區(qū)域上解析函數(shù)沿所有內(nèi)外境界線正方向積分之和為0；

3、閉復通區(qū)域解析函數(shù)沿外境界線逆時針方向積分,等于沿所有內(nèi)境界線逆時針方向積分之和。

4、在閉單通或閉復通區(qū)域上的解析函數(shù)，只要起點和終點固定，積分結(jié)果與積分路徑無關(guān)。§2.2柯西定理第80頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一

由柯西定理：單連通區(qū)域中，解析函數(shù)f(z)的路徑積分值與路經(jīng)無關(guān)，只與起點、終點有關(guān)。故：固定起點z0，則不定積分可以證明：§2.3不定積分定義了一單值函數(shù)，且F(z)

是f(z)

的原函數(shù)，即：（一）復變函數(shù)不定積分定義路積分的值等于原函數(shù)改變量。第81頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（重要例題）：計算積分lCR（n為整數(shù)）解：n<0時,z=為（z-)n的奇點。繞作小圓C,在C上

§2.3不定積分n0時，被積函數(shù)解析。由柯西定理，知由柯西定理

R為小圓半徑

第82頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（續(xù)上例）§2.3不定積分重要結(jié)論：第83頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§2.4柯西公式

若：f(z)

在閉單通區(qū)域上解析，l是閉區(qū)域的邊界線，是閉區(qū)域內(nèi)的任一點，則有柯西積分公式證明：由2.3節(jié)例題結(jié)論，有將上式代入柯西公式，則只需證明：（一）柯西積分公式第84頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一

由于是被積函數(shù)奇點。以為圓心，ε→0為半徑做小圓Cg，則由柯西定理§2.4柯西公式（一）柯西積分公式(續(xù))對上式右端估值，很明顯，ε→0時，f(z)→f()

，故有（得證）第85頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一z§2.4柯西公式柯西公式的意義：柯西公式可表示為：（一）柯西積分公式(續(xù))

一個解析函數(shù)f(z)在區(qū)域B內(nèi)的值由它在該區(qū)域邊界上的值f()確定。函數(shù)在邊界上的值一經(jīng)確定，其內(nèi)部任意點值也就確定。第86頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§2.4柯西公式

解析函數(shù)f(z)

在區(qū)域內(nèi)存在奇點時，則將奇點挖去后形成復通區(qū)域，在該復通區(qū)域內(nèi)，柯西積分公式仍然成立。注：zll1l2（一）柯西積分公式(續(xù))——復通區(qū)域內(nèi)柯西積分公式注意：內(nèi)境界線和外境界線上積分路徑方向均為正方向。第87頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§2.4柯西公式（二）柯西積分公式重要推論推論一：解析函數(shù)可求任意次導數(shù)，其導數(shù)為推論二：劉維爾定理：有界整函數(shù)必為常數(shù)。即：若f(z)在全平面上解析，且，則

（證明略！見教材）第88頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§2.4柯西公式（二）柯西積分公式重要推論推論三：平均值定理：設(shè)f(z)在整個平面上解析，則在空間某點z的值等于f(z)在以其為圓心的圓周上所有點的值的平均值。證明：由柯西公式

取l為以z為中心，半徑為r的圓周路徑，則在圓周上圓周上的平均值第89頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§2.4柯西公式（二）柯西積分公式重要推論推論四：模數(shù)定理：設(shè)f(z)在某個閉區(qū)域上解析，則其模只能在境界線上才能達到最大值。

（證明略！見教材）第90頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§2.4柯西公式

例：(1)求(2)

解：(1)(2)（三）柯西積分公式的應(yīng)用第91頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一例：計算：l為圓ixy解：奇點為z=0,z=i,z=-i,在l內(nèi)只有

z=i（三）柯西積分公式的應(yīng)用§2.4柯西公式第92頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一例：，C為圓周解：處處解析，求：（三）柯西積分公式的應(yīng)用§2.4柯西公式？第93頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一函數(shù)有精確表示和近似表示。精確表示（解析表示）：表示為初等函數(shù)通過四則運算近似表示：通過逼近，近似表示為初等函數(shù)通過四則運算級數(shù)表示：近似表示的一種，表示為一個函數(shù)級數(shù)第三章冪級數(shù)展開第94頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一第三章冪級數(shù)展開3.2冪級數(shù)3.3泰勒級數(shù)展開3.5洛朗級數(shù)展開§3.1復數(shù)項級數(shù)§3.6孤立奇點的分類第95頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一復數(shù)項無窮級數(shù)前n項之和若：則稱級數(shù)收斂于F，此時實部和虛部對應(yīng)的兩個級數(shù)也是收斂的?！?.1復數(shù)項級數(shù)（一）復數(shù)項級數(shù)的收斂與柯西判據(jù)實數(shù)項級數(shù)性質(zhì)可移用于復數(shù)項級數(shù)1、復數(shù)項級數(shù)的收斂的定義第96頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§3.1復數(shù)項級數(shù)（一）復數(shù)項級數(shù)的收斂與柯西判據(jù)2、柯西收斂判據(jù)復數(shù)項級數(shù)收斂的充要條件是：對于任一小的正數(shù)，必存在N

使得n>N

時有式中p

為任意正整數(shù)?！挛魇諗颗袚?jù)第97頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§3.1復數(shù)項級數(shù)（一）復數(shù)項級數(shù)的收斂與柯西判據(jù)3、絕對收斂若復數(shù)項級數(shù)各項的模組成的級數(shù)收斂，則稱級數(shù)絕對收斂。1）絕對收斂的復數(shù)項級數(shù)必然收斂。注：2）兩個絕對收斂級數(shù)的和或積仍絕對收斂。第98頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一復級數(shù)的每一項都是復數(shù)的函數(shù)，即為復變函數(shù)項級數(shù)：§3.1復數(shù)項級數(shù)（二）復變函數(shù)項級數(shù)由柯西判據(jù)，知復變項級數(shù)在區(qū)域B中收斂的充要條件：

對于任一小的正數(shù)，必存在N(z)

使得n>N(z)

時有式中p

為任意正整數(shù)。若N與z無關(guān)，則稱該復變函數(shù)項級數(shù)在B內(nèi)一致收斂。注：第99頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§3.1復數(shù)項級數(shù)（二）復變函數(shù)項級數(shù)復變函數(shù)項級數(shù)相關(guān)性質(zhì)：1、若復變函數(shù)項級數(shù)在區(qū)域B（或路徑l)上一致收斂，且每一項都在區(qū)域B(或路徑l）上連續(xù)，則級數(shù)和也是區(qū)域B(路徑l）內(nèi)連續(xù)函數(shù)。2、在區(qū)域B內(nèi)，若復變函數(shù)項級數(shù)的各項的模

而常數(shù)項級數(shù)收斂，則稱在區(qū)域B上絕對且一致收斂。第100頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§3.2冪級數(shù)（一）冪級數(shù)定義

冪級數(shù)是指各項都是冪函數(shù)的復變函數(shù)項級數(shù)。稱為以z0為中心的冪級數(shù)。其中，各系數(shù)項均為復常數(shù)。第101頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§3.2冪級數(shù)（二）冪級數(shù)的收斂性判別——達朗貝爾判別法1、達朗貝爾收斂判據(jù)（比值判別法）由正項級數(shù)的比值判定法可知，若模級數(shù)考察冪級數(shù)各項的模組成的級數(shù)則模級數(shù)收斂。由絕對收斂定義，知冪級數(shù)絕對收斂。第102頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§3.2冪級數(shù)2、收斂圓由前可知，冪級數(shù)絕對收斂條件為：引入，則冪級數(shù)絕對收斂條件變?yōu)椋菏諗繄A：以z0圓心，半徑為R的圓。R稱為收斂半徑。冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對收斂，而在圓上和圓外可能發(fā)散。圓外仍可能有區(qū)域是收斂的。（二）冪級數(shù)的達朗貝爾收斂性判據(jù)第103頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一若

，則冪級數(shù)發(fā)散；若

，則模級數(shù)收斂，冪級數(shù)絕對收斂；§3.2冪級數(shù)3、根值判別法：（三）冪級數(shù)的收斂性判別——根值判別法由此可得收斂半徑的另外一種定義：第104頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一例：求冪級數(shù)的收斂圓（t為復變量）。解：則收斂半徑:故，收斂圓為以t=0為圓心，半徑為1的圓。§3.2冪級數(shù)第105頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一例：求冪級數(shù)的收斂圓。解：則收斂半徑:故，收斂圓為以z=0為圓心，半徑為1的圓?！?.2冪級數(shù)另解：則收斂半徑:第106頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一例：求冪級數(shù)的收斂圓。解：則收斂半徑:故，收斂圓為以z=0為圓心，半徑為2的圓?！?.2冪級數(shù)第107頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§3.2冪級數(shù)（四）冪級數(shù)的積分表示將上式沿收斂圓取路徑積分，并利用柯西公式，可得：在收斂圓內(nèi)，冪級數(shù)的和可表示為連續(xù)函數(shù)的回路積分——在收斂圓內(nèi)冪級數(shù)和為解析函數(shù)。第108頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§3.3泰勒級數(shù)任意階導數(shù)都存在的實變函數(shù)可以展開為泰勒級數(shù)。問題：解析函數(shù)任意階導數(shù)都存在，是否可將解析函數(shù)展開為復變函數(shù)項的泰勒級數(shù)呢？可以！第109頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§3.3泰勒級數(shù)展開泰勒級數(shù)展開定理：

設(shè)在以為圓心的圓內(nèi)解析，則對圓內(nèi)任意點，可展開為其中即：泰勒級數(shù)第110頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§3.3泰勒級數(shù)展開證明：

設(shè)在收斂圓內(nèi)解析，則由柯西積分公式而由于ζ為積分路徑上點，而z為積分路徑內(nèi)點，故有等比數(shù)列第111頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§3.3泰勒級數(shù)展開證明(續(xù))：第112頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§3.3泰勒級數(shù)展開例（重要）：在z0=0的鄰域上將展開為泰勒級數(shù)。解：（展開時能直接求導就求導）第113頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§3.3泰勒級數(shù)展開例（重要）：在z0=0的鄰域上將展開。解：第114頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一bB§3.4解析延拓（一）解析延拓概念考察如下兩個函數(shù)在區(qū)域等同

對于某個區(qū)域b上的解析函數(shù)f(z)，如果能找到另一個函數(shù)F(z)，它在含有區(qū)域b的一個較大的區(qū)域B上解析，且在區(qū)域b上等同于f(z)

，則這個過程就叫解析延拓。解析延拓：解析延拓就是解析函數(shù)定義域擴大后的結(jié)果。第115頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§3.4解析延拓（二）解析延拓唯一性可以證明：函數(shù)F1(z)和F2(z)在區(qū)域B上解析，若在B的某子區(qū)域b上有

F1(z)≡F2(z)，則在整個區(qū)域B上必有

F1(z)≡F2(z)

。同一解析函數(shù)的解析延拓是唯一的。第116頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§3.5洛朗級數(shù)展開（一）雙邊冪級數(shù)

當所研究的圓域上存在函數(shù)的奇點時，就不再能將函數(shù)展為泰勒級數(shù)，而需考慮在除去奇點的環(huán)域上的展開洛朗級數(shù)展開?？疾祀p邊冪級數(shù)：收斂半徑為R1，在圓z-z0=R1內(nèi)收斂令收斂半徑記為1/R2，即在圓z-z0=R2外收斂。第117頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§3.5洛朗級數(shù)展開若R2<R1，則雙邊冪級數(shù)在環(huán)域R2<z-z0<R1內(nèi)絕對且一致收斂，其和為一解析函數(shù)，級數(shù)可逐項求導。環(huán)域R2<z-z0<R1稱為該雙邊冪級數(shù)的收斂環(huán)。（一）雙邊冪級數(shù)（續(xù)）第118頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§3.5洛朗級數(shù)展開（二）洛朗級數(shù)洛朗展開定理：

設(shè)f(z)在環(huán)域R2<|z-z0|<R1的內(nèi)部單值解析，則對環(huán)域內(nèi)任一點z，f(z)可展為冪級數(shù)

其中積分路徑C為位于環(huán)域內(nèi)按逆時針方向繞內(nèi)圓一周的任一閉合曲線。z0R1CR1R2C'R2CR1CR2C洛朗級數(shù)展開第119頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一證明：為避免討論圓周上函數(shù)的解析性和級數(shù)的收斂問題，將外圓稍微縮小為CR1、內(nèi)圓稍微擴大為CR2，利用復通區(qū)域上的柯西公式：§3.5洛朗級數(shù)展開z0R1CR1R2C'R2CR1CR2C第120頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§3.5洛朗級數(shù)展開注：因為不滿足柯西公式條件。第121頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一例：在以z=0為中心的0<|z|<+的圓環(huán)域內(nèi)把展開。

§3.5洛朗級數(shù)展開解:（直接法）第122頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一例：在以z=0為中心的0<|z|<+的圓環(huán)域內(nèi)把展開。

§3.5洛朗級數(shù)展開解:（間接法）第123頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一例：在z=1的鄰域上將函數(shù)展開為洛朗級數(shù)。

§3.5洛朗級數(shù)展開解:先將函數(shù)分解為奇點分別為z=1和z=-1，因此在環(huán)域內(nèi)解析，故有第124頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一例：在環(huán)域上將函數(shù)展開為洛朗級數(shù)。

§3.5洛朗級數(shù)展開解:先將函數(shù)分解為第125頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一例：在環(huán)域上將函數(shù)展開為洛朗級數(shù)。

§3.5洛朗級數(shù)展開解:第126頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一例：以z=0為中心將函數(shù)展開為洛朗級數(shù)。

§3.5洛朗級數(shù)展開解:先將函數(shù)分解為奇點分別為z=1和z=2，因此在z=0的鄰域上可在三個環(huán)狀區(qū)域內(nèi)進行級數(shù)展開。第127頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§3.5洛朗級數(shù)展開第128頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§3.6孤立奇點的分類（一）孤立奇點與非孤立奇點孤立奇點：

若函數(shù)f(z)在某z0點處不可導，而在其任意小鄰域內(nèi)除z0外處處可導，則稱z0為f(z)的孤立奇點。非孤立奇點：

若函數(shù)f(z)在某z0點處不可導，且在的任意小鄰域內(nèi)還可找到除z0外的不可導點，則稱z0為f(z)的非孤立奇點。例:1/z、exp(1/z)、f(z)=1/[sin(1/z)]在z0=0點的情況第129頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§3.6孤立奇點的分類（二）可去奇點、極點和本性奇點

洛朗級數(shù)的正冪項(含常數(shù)項)部分被稱作解析部分(或正則部分)；負冪項部分被稱為主要部分(或無限部分)。a-1具有特別重要的地位，特稱其為函數(shù)f(z)在奇點z0的留數(shù)。第130頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§3.6孤立奇點的分類（二）可去奇點、極點和本性奇點例:z0=0為

sinz/z可去奇點1、可去奇點若函數(shù)f(z)在其孤立奇點z0的去心鄰域0<|z-z0|<R上的洛朗級數(shù)中不含有(z-z0)的負冪項，則稱z0為f(z)的可去奇點。

可去奇點的主要特征（1）f(z)在奇點的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)中無主要部分；（2）即f(z)在z0點的去心鄰域內(nèi)有界。第131頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§3.6孤立奇點的分類（二）可去奇點、極點和本性奇點2、極點若函數(shù)f(z)在其孤立奇點z0的去心鄰域0<|z-z0|<R上的洛朗級數(shù)中含有有限個(z-z0)的負冪項，則稱z0為f(z)的極點。其中a-m0，m為有限數(shù)，則稱z0為f(z)的m階極點。特殊地，一階極點稱為單極點。

極點的主要特征：1.f(z)在z0的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)的主要部分為有限多項；2.。例:f(z)=(z-2)/[(z2+1)(z-1)3],討論z=1,z=i第132頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§3.6孤立奇點的分類（二）可去奇點、極點和本性奇點3、本性奇點若函數(shù)f(z)在其孤立奇點z0的去心鄰域0<|z-z0|<R上的洛朗級數(shù)中含有無限多(z-z0)的負冪項，則稱z0為f(z)的本性奇點。

對于本性奇點z0，當zz0時，f(z)的值并不固定，而是與z趨于z0的方式有關(guān)。

本性奇點的特征1.f(z)在本性奇點z0的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)的主要部分為無限多項；2.當zz0時，不存在。例：z0=0是f(z)=exp(1/z)的本性奇點第133頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一考察解析函數(shù)回路積分問題：第四章留數(shù)定理情況1：被積函數(shù)在積分回路所圍區(qū)域內(nèi)解析由柯西定理可知：情況2：被積函數(shù)在積分回路所圍區(qū)域內(nèi)存在奇點第134頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一第四章留數(shù)定理4.2應(yīng)用留數(shù)定理計算實變函數(shù)定積分§4.1留數(shù)定理第135頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（一）留數(shù)§4.1留數(shù)定理問題：若f(z)在l內(nèi)有奇點，情況1：l內(nèi)有一個孤立奇點z=z0z0ll0由復通區(qū)域柯西定理：l0為包圍z0的一個小回路。將f(z)在以z0為中心的環(huán)域上展為洛朗級數(shù)第136頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（一）留數(shù)§4.1留數(shù)定理留數(shù)定義：

設(shè)是的孤立奇點，是包圍在內(nèi)的閉曲線，且不包含的另外奇點，則在點的留數(shù)(Residue)定義為

函數(shù)在奇點的留數(shù)等于函數(shù)在該奇點處洛朗級數(shù)的項的系數(shù)第137頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（二）留數(shù)定理§4.1留數(shù)定理問題：若f(z)在l內(nèi)有奇點，情況2：l內(nèi)有n個孤立奇點由復通區(qū)域柯西定理：第138頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（二）留數(shù)定理§4.1留數(shù)定理留數(shù)定理：

設(shè)函數(shù)在回路l所圍區(qū)域B上除有限個孤立奇點外解析，在閉區(qū)域上除外連續(xù)，則

留數(shù)定理將回路積分歸結(jié)為被積函數(shù)在回路所圍各奇點留數(shù)之和。第139頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（三）留數(shù)的計算§4.1留數(shù)定理留數(shù)計算一般方法：

在以奇點為圓心的圓環(huán)域上將函數(shù)展開為洛朗級數(shù)，并取其負一次冪項系數(shù)即可。

若奇點為極點，可不作洛朗級數(shù)展開直接求解。第140頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（三）極點處留數(shù)的計算§4.1留數(shù)定理1、奇點為單極點(一階極點)時設(shè)z0

是

f(z)的一階極點，即有特殊地，若一階極點判斷依據(jù)第141頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（三）留數(shù)的計算§4.1留數(shù)定理2、奇點為m階極點時設(shè)z0

是

f(z)的m階極點，即有兩邊乘,得到：m階極點判據(jù)第142頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（三）留數(shù)的計算§4.1留數(shù)定理2、奇點為m階極點時為了求a-1,對上式求m-1階導數(shù)：即可得m階極點留數(shù)計算公式：第143頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（三）留數(shù)的計算§4.1留數(shù)定理例1：求在處的留數(shù)。另解m=?解：第144頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（三）留數(shù)的計算§4.1留數(shù)定理例2：求在其奇點的留數(shù)。

解：z=n為一價極點第145頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（三）留數(shù)的計算§4.1留數(shù)定理例3：求在其奇點的留數(shù)。解：故：z=2i為單極點,z=0為三階極點。第146頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（三）留數(shù)的計算§4.1留數(shù)定理例4：求積分解：第147頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一（三）留數(shù)的計算§4.1留數(shù)定理續(xù)前：第148頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§4.2應(yīng)用留數(shù)理論計算實變函數(shù)定積分實變函數(shù)積分復變函數(shù)的回路積分

將在區(qū)間l1=[a,b]的實變函數(shù)積分與復平面上的回路積分聯(lián)系起來?；舅枷?方法：

補充線段

l2,并且延拓函數(shù)到整個復平面，構(gòu)成回路積分：xyoabl1l2b1b3b2bmbkll=l1+

l2易于求解(一般為0）利用留數(shù)定理求解第149頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§4.2應(yīng)用留數(shù)理論計算實變函數(shù)定積分其中：（1）R(cosx,sinx)是sinx,cosx

的有理式；（2）積分區(qū)間是[0,2]；（3）在區(qū)間[0,2]內(nèi)，無奇點。（一）類型一：處理方法：則原積分變?yōu)椋憾x域由實數(shù)域拓展到復數(shù)域第150頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§4.2應(yīng)用留數(shù)理論計算實變函數(shù)定積分（一）類型一：例1:計算積分解：被積函數(shù)在[0,2]內(nèi)無奇點，滿足類型一要求。第151頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§4.2應(yīng)用留數(shù)理論計算實變函數(shù)定積分（一）類型一：例2:計算積分解：被積函數(shù)有單極點由留數(shù)定理：第152頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§4.2應(yīng)用留數(shù)理論計算實變函數(shù)定積分其中：(1)積分區(qū)間是(-,+);(2)復變函數(shù)f(z)

在實軸上無奇點，在上半平面除有限個奇點（b1,b2…bn)外解析；

(3)當z在上半平面和實軸上時，一致的|zf(z)|0；（二）類型二：特殊地：當f(x)是有理分式時：由條件(1)(2)(3)，要求積分式的分母

在實軸無零點，且分母

的次數(shù)高于分子

次數(shù)至少二次。第153頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§4.2應(yīng)用留數(shù)理論計算實變函數(shù)定積分（二）類型二：處理方法：其積分主值為：補充圍路如圖,作線積分-R?+RxyCR?bkoR(留數(shù)定理)第154頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§4.2應(yīng)用留數(shù)理論計算實變函數(shù)定積分（二）類型二：處理方法：證明：條件(3)第155頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§4.2應(yīng)用留數(shù)理論計算實變函數(shù)定積分（二）類型二：例題3求積分單極點，只需考慮上半平面極點+i解：滿足類型二條件要求。第156頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§4.2應(yīng)用留數(shù)理論計算實變函數(shù)定積分（二）類型二：例題4求積分解：被積函數(shù)滿足類型二條件要求。上半平面奇點為n階極點+i。第157頁，共180頁，2023年，2月20日，星期一§4.2應(yīng)用留數(shù)理論計算實變函數(shù)定積分（二）類型二：（續(xù)例題4）第158頁，共180頁，2023年，