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第三章函數及其圖象

第一節(jié)平面直角坐標系與函數的概念

1指引方向

1.探索簡單實例中的數量關系和變化規(guī)律，了解常量、變量的意義.

2.結合實例，了解函數的概念和三種表示法，能舉出函數的實例.

3.能結合圖象對簡單實際問題中的函數關系進行分析.

4.能確定簡單實際問題中函數白變量的取值范圍，并會求出函數值.

5.能用適當的函數表示法刻畫簡單實際問題中變量之間的關系.

6.結合對函數關系的分析，能對變量的變化情況進行初步討論，

考點梳理

1.平面直角坐標系的相關內容：

(1)平面直角坐標系的有關概念：在平面內兩條互相垂直且有公共

原點的數軸組成了平面直角坐標系.水平的數軸稱為橫軸(或％軸)，

豎直的數軸稱為縱軸(或y軸).兩條數軸把平面分成四個部分，這

四個部分稱作四個象限

(2)點的坐標：在平面內，任意一個點都可以用一組有序實數對來

表示，如A(a,h).(a,力即為點4的坐標，其中a是點A的橫坐

標，8是點A的_縱坐標.

(3)點的坐標特征【設點尸(a,b)】：

①各象限點的特征：

第一象限(+,+)；第二象限(—>+)

第三象限(一，一);第四象限(+,一).

②特殊點的特征：

若點夕在乂軸上，則。=0；

若點尸在y軸上，則4=0；

若點P在一、三象限角平分線上，則丑

若點P在二、四象限角平分線上，則。+與0.

③對稱點的特征：

點P{a,b)關于％軸的對稱點P'(。，一b)

點P(a,?)關于y軸的對稱點P'(—a,b)

點、P(a,b)關于原點的對稱點P'(一"，一b).

(4)點的坐標延伸【設點尸(Q,3、點M(c,d)】：

①點P到戈軸的距離為|4,到y(tǒng)軸的距離為其.到原點的距離為

7a2+b2.

②1)將點尸沿水平方向平移砥相>o)個單位后坐標變化情況為：

點P沿水平向右方向平移機(6>0)個單位后坐標為(。+機，b)；

點P沿水平向左方向平移租(m>0)個單位后坐標為份；

2)將點尸沿豎直方向平移〃(〃>())個單位后坐標變化情況為：

點尸沿豎直方向向上平移〃(〃>0)個單位后坐標為(a,h+n)；

點P沿豎直方向向下平移〃(〃>0)個單位后坐標為(a,b—n).

③若直線尸M平行x軸，則Z?=d；若直線PM平行y軸，則a=c；

④點P到點M的距離：PM=7(a-c)2+(b-d)2

⑤線段尸M的中點坐標：(等，等)

2.函數的有關知識：

(1)常量與變量：在某一變化過程中，始終保持不變的量叫做常量，

數值發(fā)生變化的量叫做變量.

(2)函數的定義：一般的，在某個變化過程中如果有兩個變量％、y,

對于％的每一個取值，y都有唯一確定的值與之對應，那么％

是自變量，y是％的函數.

(3)函數的表示方法：①解析式法；②圖象法；③列表法.

(4)函數解析式(用來表示函數關系的數學式子叫做解析式)與變

自量的取值范圍：

函數解析式的形式自變量的取值也用

解析式為整式全悻實數

解析式為分式使分母不為9的實數

解析式偶次根式使被開方數大于或等于零的實數

為根式奇次根式全體實數

先求出各部分的取值葩圍，再

各種形式的組合

取其公共部分

牽涉實際問題使實際問題有意義

???…

考點一平面直角坐標系內點的坐標特征

【例1】(2016棗莊)已知點P(a+1,-@+1)關于原點的對稱點在

2

第四象限，則。的取值范圍在數軸上表示正確的是(。

B.

I).

解題點撥：首先根據題意判斷出P點在第二象限，再根據第二象限內

點的坐標符號(-,+)，得到不等式4+1<0,解出a的范圍即

可。本題也可以先求出P的對稱點坐標，再列不等式---K0

2

解出.

考點二幾何背景下的坐標變化

【例2】(2016安順)如圖，將APQR向右平移2個單位長度，再向下

平移3個單位長度，則頂點P平移后的坐標是(A)

B.(-2,4)C.(2,-3)

D.(-1,-3)

解題點撥：由題意可知，平面內任意一點(x,y)平移后的對應

坐標是(x+2,y-3),照此規(guī)律計算可知頂點P(-4,-1)平移后的

坐標是(-2,-4)o

考點三自變量的取值范圍

【例31⑴函數v=2x+l中的自變量x的取值范圍是x為一切實

(1)函數y一中的自變量x的取值范圍是』o

2x+l2~

⑶函數戶"^1中的自變量x的取值范圍是o

(4)函數y=無中的自變量x的取值范圍是xNOo

2x+l------

⑸函數y=中的自變量光的取值范圍是x>,。

J2x+12

(6)函數y+五工T中的自變量x的取值范圍是xN二且XH()o

x2-------

解題點撥：分別抓住分式、二次根式定義確定自變量X的取值范圍解

題即可。

考點四函數圖象的簡單應用

【例4】(2016咸寧)已知菱形OABC在平面直角坐標系的位置如圖

所示，頂點A(5,0),OB

=4行，點P是對角線OB上的一個動點，D(O,1),當CP+DP最短

時，點P的坐標為(D)

A.(0,0)B.(1,-)C.(-,-)D.(―,

2557

3)

7

解題點撥：關于最短路線問題：在直線L上的同側有兩個點A、B,

在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來

確定，即作出其中一點關于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線

與直線L的交點就是所要找的點(注：本題C,D位于OB的同側)。

點C關于OB的對稱點是點A.連接AD.交OB于點P,P即為所

解：如圖，連接AD,交OB于點P,P即為所求的使CP+DP最短的

點；連接CP、AC,AC交OB于點E,過E作EF_LOA,垂足為F。

,點C關于OB的對稱點是點A,

，CP=AP,

AD即為CP+DP最短；

,/四邊形OABC是菱形，OB=4后，

OE=g()B=2后,ACVOB,又，.抽⑸0),

在RAAEO中，AE=ylOA2-OE2=^52-(245)2=V5；

易知RtAOEF^RtAOAE

.OEEF.門OEAE2有x石。

OAAEOA5

/.OF=y]OE2-EF2=7(2^5)2-22=4°

E點坐標為E(4,2),

設直線0E的解析式為：y=kx,將E(4,2)代入，得y=g無，

設直線AD的解析式為：y=k'x+b,將A(5,0),D(O,1)代入，得

y=——x+1,

.5

1x=一10

.?.點P的坐標的方程組：，2，解得?7

y^--1x+i.5

15:7

???點p的坐標為*,*

課堂訓練、課堂檢測

1.(2016荊門)在平面直角坐標系中，若點A(.a,-b)在第一象

限內，則點B(a,b)所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

2.(2015巴中)在函數y=—二互中，自變量x的取值范圍是

x-2

(D)

A.xw-2B.x>2C.x<2D.xw2

【答案】D

3.(2016呼和浩特)已知平行四邊形ABCD的頂點A在第三象限,

對角線AC的中點在坐標原點，一邊AB與x軸平行且AB=2,若點A

的坐標為(a,b),則點D的坐標為o

【答案】(-2-a,-。)或(2-a,-b)

4.(2016賀州)如圖,將線段AB繞點O順時針旋轉90。得到線段

A'B',求A(-2,5)的對應點4的坐標是多少？

【答案】解：???線段AB繞點O順時針旋轉90。得到線段Ab,

/SABO=AA'B'O',ZAQ4'=90°,

/.AO=A'Oo

作ACLy軸于C,AU_L無軸于U,

r

ZACO^ZAC'O^9(fo

NCOC=90°,

ZAOA'-ZCOA'=ZCOC-ZCOA',

ZAOC=ZA'OC,

在MCO和A/VUO中，

ZACO=ZA'C'O

<ZAOC=ZA'OC'

[AO=A!O

：.AACO=^A'C'O(AAS),

AC=A'C,CO=CO,

A(-2,5),

AC=2,CO=5,

AC'=2,OC'=5,

4(5,2)。

中考達標模擬自測

A組基礎訓練

一、選擇題

1.（2016眉山）已知點M（l-2m,m-1）在第四象限，則m的取值

范圍在數軸上表示正確的是()

-?—1—?1L?aIA?

00.5100.5100.51

A.B.C.D.

【答案】B

2.（2016武漢）已知點A（a,1）與點A（5,8）關于坐標原點對稱,

則實數a、匕的值是（）

A.a=5,b=lB.a=—5,b=\C.a=5,b=—l

D.a=—5b=—i

【答案】D

3.（2016成都）平面直角坐標系中，點P（-2,3）關于x軸對稱的點的

坐標為().

A.(-2,-3)B.(2,-3)C.(-3,-2)D.(3,

-2)

【答案】A

4.(2016武漢)平面直角坐標系中，已知A(2,2)、B(4,0).若在

坐標軸上取點C,使AABC為等腰三角形，則滿足條件的點C的個

數是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

二、填空題

5.(2016金華)將一次函數y=-2x+6的圖象向左平移個單位

長度，所得圖象的函數表達式為y=-2x。

【答案】3

6.(2015慶陽)函數y=正互的自變量》的取值范圍

X

是O

【答案】且x#0

2

7.(2016荊州)若點M(k-bk+1)關于y軸的對稱點在第二象限內,

則一次函數y=("l)x+k的圖象不經過第象限。

【答案】四

三、解答題

8.(2016自貢)如圖，把RdABC放在直角坐標系內，其中NC4B=90°,

BC=5,點A、B的坐標分別為(1,0)、(4,0),將aABC沿x軸向右

平移，當點C落在直線y=2x-6上時，線段BC掃過的面積為多少平

【答案】解：如圖所示.

,點A、B的坐標分別為(1,0)、(4,0),

二AB=3.

VZC4B=90°,BC=5,

：.AC=4,

AC'=4,

二?點C'在直線y=2x-6上，

2x-6=4,解得x=5。

即0A=5,

二.CC=5-1=4,

2

/?SBCCB,=4X4=16(cm)。

即線段BC掃過的面積為16c*o

9.(2016臨沂)現(xiàn)代互聯(lián)網技術的廣泛應用，催生了快遞行業(yè)的高

速發(fā)展。小明計劃給朋友快遞一份物品，經了解有甲、乙兩家快遞公

司比較合適。甲公司表示：快遞物品不超過1千克的，按每千克22

元收費：超過1千克，超過的部分按每千克15元收費.乙公司表示:

按每千克16元收費，另加包裝費3元.設小明快遞物品x千克。

(1)請分別寫出甲、乙兩家快遞公司快遞該物品的費用y(元)與x(千

克)之間的函數關系式；

(2)小明選擇哪家快遞公司更省錢？

【答案】解：(1)由題意知：

當()<x《l時，ylv=22x;當x>l時，價=22+15(x—l)=15x+7;

%=16x+3;

’22x(0<x<l)

??y甲="，y7=16x+3;

15x+7(x>l)乙

⑵①當()<xKl時,

令y甲vy乙，即22x<16x+3,解得：0<;

令丁甲=y乙，乜口22X=16X+3,解得：x=g；

令即,y乙，即22x>16x+3,解得:^-<x<l

②當x>l時,

令小〈丫乙，即15x+7v16x+3,解得:x>4；

令即=丁乙，即15x+7=16x+3,由昆得：x=4,

令丁甲>y乙,艮［115x+7>16x+3,解得：1<x<4

綜上可知：

當lvxv4時，選乙快遞公司省錢；

當x=4或尸工時，選甲乙快遞公司一樣省錢；

2

當0<*<工或x>4時，選甲快遞公司省錢。

2

B組提高練習

10.（2016年重慶八中）2016年5月10日上午，小華同學接到通知,

她的作文通過了《我的中國夢》征文選拔，需盡快上交該作文的電子

文稿.接到通知后，小華立即在電腦上打字錄入這篇文稿，錄入一段

時間后因事暫停，過了一小會，小華繼續(xù)錄入并加快了錄入速度，

直至錄入完成.設從錄入文稿開始所經過的時間為x,錄入字數為y,

下面能反映y與x的函數關泵的大致圖象是（）

(提示：根據在電腦上打字錄入這篇文稿，錄入字數增加，因事暫停,

字數不變，繼續(xù)錄入并加快了錄入速度，字數增加，變化快，可得答

案。)

【答案】C

11.(2016咸寧)如圖1,在平面直角坐標系wy中，點A的坐標為(0,

1),取一點B(b,0),連接AB,作線段AB的垂直平分線過點B

第11題

(1)當人=3時-，在圖1中補全圖形(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖

痕跡)；

(2)小慧多次取不同數值或得出相應的點P,并把這些點用平滑的

曲線連接起來，發(fā)現(xiàn)：這些點P竟然在一條曲線L上!

①設點P的坐標為(x,y),試求y與x之間的關系式，并指出曲

線L是哪種曲線；

②設點P到x軸，)，軸的距離分別為4，d2,求4+4的范圍.當

4+4=8時,求點P的坐標。

【答案】

第11題答案圖

解：⑴如圖1所示：

⑵①當尤＞()時，如圖2,連接AP,過點P作軸于點E

???4垂直平分AB

PA=PB=y,

在RtAAPE中，EP=OB=X,AE=OE-OA=y-L

由勾股定理，得(k1)2+V=y2,

整理得，y--x2+-

220

當xWO時，點P(x,y)同樣滿足y=g/+g

...曲線L就是二次函數y=!/+J.的圖象，

22

即曲線L是一條拋物線。

②由題意可知，+4=國，

??d]+d2=^廠+耳+國o

當x=0時-，&+出有最小值;。

4+4的范圍是4+4z；，

當4+4=8時，則g/+；+W=8。

(I)當x?0時，原方程化為#+；+》=8,

解得玉=3,x2=-5(舍去).

(II)當x<()時，原方程化為:尤=8

解％=-3,x2=5(舍去).

將》=±3代入，y=^-x2+~,得y=5

...點P的坐標為(3,5)或(-3,5)o

第二節(jié)一次函數的圖象與性質

課標呈現(xiàn)指引方向

1.結合具體情境體會一次函數的意義，能根據已知條件確定一次函

數的表達式。

2.會利用待定系數法確定一次函數的表達式。

3.能面出一次函數的圖象，根據一次函數的圖象和表達式y(tǒng)=丘+匕

(心0)探索并理解%>0和左<0時，圖象的變化情況。

4.理解正比例函數。

5.體會一次函數與二元一次方程的關系。

考點梳理夯實基礎

1.一次函數的定義

(1)一次函數的一般形式是刀=依+》/人0_。正比例函數的一般形

式是y=kxCkH0^o

(2)正比例函數是特殊的一次函數，一次函數包含正比例函數。

2.一次函數的圖象及性質

(1)正比例函數y(心0)的圖象是經過點(0,0)和(1,「)的

一條直線；一次函數y=(ZHO)的圖象是經過(-2,0)和(0,

k

b)兩點的一條直線。

(2)-次函數y=(k/0)的圖象與性質

k,b的k>Q^<0

符號6>06<06=0z?o6<06=0

不%*

大致

圖像gi

A*A**-

經過第一一二第一，三四第一,二第一二，四第二，三四第二，四

象限象限象限象限象限象限象限

性質)?隨X增大而增大.)隨工增大而減少.

3.兩直線的位置關系(設兩直線必=3+4，y2=k2x+b2):

(1)兩直線平行：kx=k2(b尸4);

⑵兩直線垂直：人乜二一1。

4.用待定系數法求一次函數解析式:

(1)關鍵：確定一次函數y=(^0)中的字母々與人的值。

⑵步驟：①設一次函數表達式；

②根據已知條件將x,y的對應值代人表達式；

③解關于人,8的方程或方程組；

④確定表達式。

5.一次函數與一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程組的

關系

(1)-次函數與一元一次方程：

一次函數y=(女工0)的圖象與x軸交點的橫坐標是y=0時一元

一次方程的解，與y軸交點的縱坐標是二￡時一元一次方程的解。

(2)-次函數與一元一次不等式：

kx+b>0(%0)或自+)<0(%0)的解集即一次函數圖象位于x軸

上方或下方時相應的x取值范圍，反之也成立。

(3)-次函數與二元一次方程組：

兩條直線的交點坐標即為兩個一次函數解析式所組成的二元一次

方程組的解，反之根據以二元一次方程組的解為坐標的焦是對應兩直

線的交點。

考點精析專題突破

考點——次函數的圖象和性質

【例1】(2016荊州)若點M(k-1,k+1)關于)，軸的對稱點在第四象

限內，則一次函數y=(左-1比+人的圖象不經過第一象限。

解題點撥：首先根據平面直角坐標系內關于)軸對稱的點的坐標特

征確定點M所處的象限，然后確定人的符號，從而確定一次函數所經

過的象限，得到答案。

考點二一次函數解析式的確定

【例2】如圖，一次函數>=二％+2的圖象分別與％軸、y軸交于點A、

3

B,以線段AB為邊在第一象限內作等腰RrAABC,NBAC=90°.求過B、

C兩點直線的解析式.

解題點撥：此題為一次函數綜合題.作CDLx軸于點D.證明

\ABO=ACAD，得出AD=

OB=2,從而得出C點坐標，即可求出BC的解析式.

解：一次函數yEgx+2中，令x=0得：y=2；令y=0,解得x=3.

則B的坐標是(0,2),A的坐標是(3,0)

作CDlx軸于點D.

,/ZBAC=9^,

NQA8+NC4Q=90°,

又VZC4D+ZACD=90°,

ZACD=ZBAO

XVAB=AC,ZBOA=ZCAD=9C）,

：.\ABO三ACAD,

AD=OB=2,CD=OA=3,OD=OA+AD=5。

則C的坐標是（5,3）.

設BC的解析式是y=日+匕，

根據題意得：I"：；,

5k+b=3

,1

解得：仁二

b=2

則BC的解析式是：>=：x+2

考點三一次函數與方程（組）、不等式（組）的關系

【例31（2015灘坊）如圖，正比例函數y=皿（加>0）的圖象與反比

例函數>2,（4/0）的圖象交于點A（n,4）和點B,軸，垂

X

足為Mo

若AAMB的面積為8,則滿足M>y?的實數x的取值范圍是-2<x<0

或x>2o

解題點撥：由反比例函數圖象的對稱性可得：點A和點B關于原

點對稱，再根據AAMB的面積為8列出方程:x4〃x2=8,解方程求

出n的值，然后利用圖象可知滿足%的實數x的取值范圍。

考點四一次函數與幾何的綜合應用

【例4】(2015鹽城)如圖，在平面直角坐標系即，中，已知正比例函

數尸%與一次函數—的圖象交于點A.

(1)求點A的坐標；

(2)設x軸上有一點P(a,0),過點P作x軸的垂線(垂線位于點A

的右側)，分別交y和y=-x+7的圖象于點B、C,連接OC,若

4

7

BC=-OA,求AO3C的面積。

解題點撥：本題考查的是兩條直線相交或平行問題，根據題意作出

輔助線.構造出直角三角形是解答此題的關鍵。

解：⑴,?,由題意得，\y=4X，解得“=：，

y=~x+i口—

...A(4,3)；

(2)過點A作x軸的垂線，垂足為D,在RtZMDAD申，由勾股定理得,

OA=^OUr+ACP=742+32=5，

77

，BC=-0A=—x5=1,

55

P(a,0),

???B(ci9—ci)9C(a,-a+7),

37

BC=-a-(-a-^l)=-a-l，

44

-a-1=7>解得a=8,

4

二?SAQBC=；BCOP=；X7X8=28。

課堂訓練當堂檢測

1.(2016廣州)若一次函數y=ax+6的圖象經過第一、二、四象限,

則下列不等式中總是成立的是()

A.?/?>0B.<2-/>>0C.a2+b>0D.a+h>0

【答案】C

2.（2016重慶巴蜀）甲、乙兩車從A城出發(fā)勻速行駛至B城，在整

個行駛過程中，甲、乙兩車離開A城的距離y（千米）與甲車行駛時

間/（小時）之間的函數關系如圖所示，則下列結論：①A、B兩城相

距300千米：②乙車比甲車晚出發(fā)1小時，卻早到1小時：③乙車出

發(fā)后2.5小時追上甲車；④當甲、乙兩車相距50千米時，x=9或身，

44

其中正確的結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

3.如圖，直線>=區(qū)+8經過A(3,1)和8(6,0)兩點，則不等式組0

<kx+b<-]x的解集為.

3

【答案】：3V%V6

4.如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABC。的頂點4在y軸正半

軸上，頂點B在％軸正半軸上，QA、03的長分別是一元二次方程

?-7^+12=0的兩個根(OA>OB).

(1)求點D的坐標；

(2)求直線3c的解析式.

【答案】解：（1）7*+12=0,解得西=3,X2=4,,：OA>OB,

：.OA=4,OB=3.

過。作。軸于點E.AD^AB,NQAB=90°,ZDAE+

ZOAB=9Q°,NA3O+NO48=90°,

：.ZABO=ZDAE,VDE1AE,：.ZAED=90°=ZAOB,在△D4E

ZABO=ZDAE

和AABO中,，NAED=ZAOB=90°,

AB=AD

妾△ABO(AAS),：.DE=OA=4,AE=OB=3,：.OE=1,

.?.0(4,7)；

(2)過C作CMJ_x軸于點M.同上可證得△3CM也△A30,：.CM

=0B=3,BM=OA=4,：.0M=7,，C(7,3),設直線BC的解析

式為y=Ax+6(%W0,k、。為常數)，代入3(3,0),C(7,3)得

[3攵+Z?=0

k=l

解得4?%—2.

b=，44

4

中考達標

模擬自測

A組基礎訓練

一、選擇題

1.(2016溫州)如圖，一直線與兩坐標軸的正半軸分別交于A、B兩

點，P是線段A8上任意一點(不包括端點)，過P分別作兩坐標

軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形的周長為10,則該直線的函數表

達式是()

A.y=%+5B.y=x+10C.y——x+5

D.y=—%+10

【答案】C

2.一次函數y=ox+仇aVO）圖象上有A、3兩點，A（%i，M），8（如

”），且％1>%2，則yi和>2的大小關系為（）

A.M>竺B.yV>2C?yi="

D.無法判斷

【答案】B

3.（2016德州）下列函數中，滿足y的值隨％的值增大而增大的是

（）

A.y=~2xB.y=3%—1C.y=-

X

D.y=x

【答案】B

4.（2015濟南）如圖，一次函數與一次函數竺=履+4的圖

象交于點。（1,3）,則關于％的不等式x+b>區(qū)+4的解集是（）

A.x>—2B.%>0C.%>1

D.x<\

y

y2=kx+4y

yi=x+b

【答案】c

二、填空題

5.若點A（—2,/篦）在正比例函數y=-的圖象上，則m的值為

2

【答案】1

6.（2016濰坊）在平面直角坐標系中，直線/：y=x-1與％軸交于

點A［，如圖所示依次作正方形Ai&G。、正方形432。2。1、…、正方

形A志KG1，使得點C、人2、A3、…在直線/上，點G、。2、。3、…

在y軸正半軸上，則點B?的坐標是.

【答案】（2叫2"-1）

7.（2016包頭）如圖，直線丁=尹+4與％軸、y軸分別交于點A和

點B,點、C、D分別為線段AB.OB的中點，點尸為OA上一動

點，PC+尸。值最小時點。的坐標為

【答案】（一|,0）

三、解答題

8.（2016北京）如圖，在平面直角坐標系xOy中，過點4（-6,0）

的直線G與直線為：y=2x相交于3（加，4）.

（1）求直線/i的表達式；

（2）過動點尸（〃，0）且垂直于％軸的直線與/i，，2的交點分別為。、

D,當點C位于點。上方時，寫出〃的取值范圍.

【答案】解：（1）;?點3在直線為上，，4=2m，，m=2,則8（2,

4）,設人的表達式為>=丘+上由4、3兩點均在直線上得到,

4=2k+b,解得:

0=-6Z+b

6=3

則直線Z,的表達式為y=；%+3.

(2)由圖可知：C(^+3,〃)，D(2n,n),由于點。在點。的上方，

得到2+3>2〃,解得：〃<2.

2

9.(2016綏化)在平面直角坐標系％Oy中，直線y=—x+3與％軸、

y軸分別交于A、B,在△AOB內部作正方形，使正方形的四個頂

點都落在該三角形的邊上，求正方形落在％軸正半軸的頂點坐標.

【答案】解:分兩種情況：

①如圖1,令％=0,則y=3；令y=0,則x=3,：.OA=OB=3,：.

ZBAO=45°,VDE1OA,：.DE=AE,二?四邊形COEQ是正方形，

：.OE=DE,：.OE=AE,.?.O￡=1QA=3,0)；

222

②如圖2,由①知△ObC,△EM是等腰直角三角形，.?.CF=&OE

AF=叵EF,\?四邊形CDEb是正方形，：.EF=CF,:.AF=叵CF

=2OF,：.OA=OF-\-2OF=3,：.OF=1,/.F(l,0).

B組提高練習

一、選擇題

10.（2016泰安）如圖，直線y=—乎％+2與％軸、y軸分別交于4、

3兩點，把△AQB繞點A順時針旋轉60°后得到△AO'3',則點

3'的坐標是（）

A.（4,26）B.（2^3,4）C.（53）

D.（273+2,2A/3）

【答案】B

（提示：在、=一#%+2中令％=0,解得：y=2；令y=0,解得：%

=20.則OA=2g,08=2..,.在直角△A80中，AB=S/OA2+OB2

=4,/BAO=30°,又?.?N8A3'=6（T,NOAB'=90°,.?.點3

'的坐標是（26，4）.）

11.（2016德州）如圖，在平面直角坐標系中，函數＞=2%和〉=一工

的圖象分別為直線/”h，過點（1，0）作％軸的垂線交。于點A”

過點A作y軸的垂線交L于點42，過點4作％軸的垂線交4于

點A?，過點4作y軸的垂線交4于點44，…依次下去，則點A2017

的坐標為.

【答案】⑵頤，21009)

(提示:觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：Ai(l,2),A2(-2,2),A3(-2,-4),4(4,

w

-4),4(4,8),.-.A2n+1((-2),2X(—2)")(〃為自然數).???

2017=1008X2+1,，42017的坐標為((-2)1叫2(-2)1008)=

10091009

.008,2).故答案為⑵顏,2).)

12.(2014天津)在平面直角坐標系中，。為原點，直線/：x=l,

點A(2,0),點E、點死點M(l,—1)都在直線/上，且點E和

點廠關于點M對稱，直線E4與直線交于點P.

(1)當點尸的坐標為(1,1)時，如圖，求點P的坐標；

(2)當點/為直線/上的動點時，記點尸(x,y),求y關于％的函

數解析式.

y

【答案】解：(1)?.?點0(0,0),尸(1,1),???直線O尸的解析式為y

=%.設直線E4的解析式為：y=^+b/W0),???點七和點廠關于點

M(l,一1)對稱，；.E(1,-3).又?.?42,0),點￡在直線E4上，

解得［：［1..?直線?的解析式為7=3%—6....點尸是

直線O歹與直線用的交點，則［=：,解得卜=：,...點P的坐標

［y=3x-6［y=3

是(3,3).

(2)由已知可知點尸的坐標是(1,/)..?.直線。廠的解析式為y=江.

設直線E4的解析式為：y=cx+d(c、d是常數，且cWO).由點石和

點/關于點M(l,-1)對稱，得點E(l,-2~t).又點A、E在直線

EA上，???｛：=：；“解得｛；：；〉)，?.?直線班的解析式為：產

(2+。%—2(2+/).?.?點P為直線0b與直線E4的交點，.?.比=(2+。%

—2(2+。，即t=x~2.則有y=tx=(x—2)x—j(r—2x.

第三節(jié)一次函數的應用

課標呈現(xiàn)

指引方向

能用一次函數解決簡單實際問題.

考點梳理

夯實基礎

1.利用一次函數性質解決實際問題的步驟：

(1)確定實際問題中的自變量和因變量.

(2)根據條件中的等量關系確定一次函數表達式及自變量的取值范

圍.

(3)利用函數性質解決實際問題.

2.結合一次函數的圖象解決實際問題：

(1)通過函數圖象獲取信息時，要分清楚是一個一次函數問題還是

幾個一次函數問題；要讀懂橫縱坐標表示的實際意義，要注意平面直

角坐標系中點的特征與意義，還需學會將圖象中的點的坐標轉化為數

學語言，建立一次函數模型.

(2)數形結合是解決與一次函數應用題的關鍵方法，能起到事半功

倍的作用.

考點精析

專項突破

考點一利用一次函數解析式解決實際問題

【例。(2016洛陽)如圖，某個體戶購進一批時令水果，20天銷售

完畢，他將本次銷售情況進行跟蹤記錄，根據所記錄的數據繪制的函

數圖象，其中日銷售量y（千克）與銷售時間x（天）之間的函數關系如圖

甲所示，銷售單價p（元/千克）與銷售時間雙天）之間的函數關系如圖乙

所示.

（1）直接寫出y與％之間的函數關系；

（2）分別求出第10天和第15天的銷售金額;

（3）若日銷售量不低于24千克的時間段為“最佳銷售期”，則此次

銷售過程中“最佳銷售期”共有多少天？在此期間銷售單價最高為多

少元？

解題點撥：（1）用待定系數法分別求出0W%W15、15<%W20時銷售

量y關于銷售時間％的函數關系式；（2）由圖乙先求出OWxVIO、10

W%W20時銷售單價p關于銷售時間％的函數關系式，再求出％=10

和％=15時的銷售單價，最后根據銷售額=銷售單價X銷售量分別求

之；（3）分別求出0W%W15、15V%W20時銷售量）與24時一％的范圍。

可知共有多少天，再結合上述％的范圍根據一次函數性質求p的最大

值即可.

解：（1）分兩種情況：

①當0W%W15時-，設日銷售量y與銷售時間％的函數解析式為>=鬲％,

?.〉=鬲％過點(15,30),/.15^=30,解得e=2,.?.y=2%(0W%W15)；

②當15V%W20時-，設日銷售量y與銷售時間％的函數解析式為曠=

22%+上：點(15,30),(20,0)在y=g+h的圖象上，??/2+?=3°,

解得仁：，.??,=—6%+120(15V%W20)；

綜上，可知y與％之間函數關系式為：尸蕓<<孫.

[-6x+120(15VxW20)

(2)?.?第10天和第15天在第10天和第20天之間，???當102人

20時，設銷售單價p(元/千克)與銷售時間雙天)之間的函數解析式為p

=如+〃，?.?點(10,10),(20,8)在P=mx+"的圖象上，.?.「°"+〃小°,

[20根+〃=8

_1

解得『=一二，.?.〃=-：+12(10W%W20),

77=125

當％=10時，p=10,y=2X10=20,銷售金額為：10X20=200(元)，

當％=15時，〃=—；><15+12=9,y=30,銷售金額為：9X30=

270(%).

故第10天和第15天的銷售金額分別為200元，270元.

(3)若日銷售量不低于24千克，則y224.

當0W%W15時，y=2x,解不等式2x224,得入212；

當15<xW20時，y=-6x+120,解不等式-6九+120224,得％W16,

，12W%W16,.??“最佳銷售期”共有：16—12+1=5(天);

?.?〃=—；%+12(10W%W20),-l<0,.?.〃隨％的增大而減小，...當

16時，尤取12時，〃有最大值，此時P=一;義12+12=9.6(元

/千克).

故此次銷售過程中“最佳銷售期”共有5天，在此期間銷售單價最高

為9.6元.

考點二綜合一次函數解析式和圖象解決實際問題

[例2]（2016無錫）某公司今年如果用原線下銷售方式銷售一產品，

每月的銷售額可達100萬元.由于該產品供不應求，公司計劃于3月

份開始全部改為線上銷售，這樣，預計今年每月的銷售額y（萬元）與

月份雙月）之間的函數關系的圖象如圖1中的點狀圖所示（5月及以后

每月的銷售額都相同），而經銷成本p（萬元）與銷售額y（萬元）之間函數

關系的圖象如圖2中線段A3所示.

2（萬元）產（萬元）

200-------------

—1—■—1--1--1--1----

0123456*（月）°100200y（萬元）

圖1圖2

（1）求經銷成本p（萬元）與銷售額y（萬元）之間的函數關系式；

（2）分別求該公司3月，4月的利潤；

（3）問：把3月作為第一個月開始往后算，最早到第幾個月止，該

公司改用線上銷售后所獲得利潤總額比同期用線下方式銷售所能獲

得的利潤總額至少多出200萬元？（利潤=銷售額一經銷成本）

解題點撥：（1）設p=6+。，A（100,60）,B（200,110）,代入即可

解決問題.

（2）根據利潤=銷售額一經銷成本，即可解決問題.

（3）設最早到第％個月止，該公司改用線上銷售后所獲得利潤總額

比同期用線下方式銷售所能獲得的利潤總額至少多出200萬元，列出

不等式即可解決問題.

解：⑴設〃A(100,60),3(200,110),代入得［黑

解得,"一5,，p=Ly+l。.

6=102

(2)?.,y=150時,.=85,二三月份利潤為150—85=65萬元.

?.，=175時一，〃=97.5,...四月份利潤為175—97.5=77.5萬元.

(3)設最早到第％個月止，該公司改用線上銷售后所獲得利潤總額

比同期用線下方式銷售所能獲得的利潤總額至少多出200萬元.

V5月份以后的每月利潤為90萬元，.??65+77.5+90(%—2)—40%2

200,.?.%24.75,

...最早到第5個月止，該公司改用線上銷售后所獲得利潤總額比同期

用線下方式銷售所能獲得的利潤總額至少多出200萬元.

課堂訓練

當堂檢測

1.從甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明騎車從

甲地出發(fā)，到達乙地后立即返回甲地，途中休息了一段時間.假設

小明騎車在平路、上坡、下坡時分別保持勻速前進，已知小明騎車

上坡的速度比在平路上的速度每小時少5km.下坡的速度比在平路

上的速度每小時多5km.設小明出發(fā)％h后，到達離甲地ykm的地

方，圖中的折線。4BCQE表示y與％之間的函數關系，則下列說

法正確的有()個

①小明騎車在平路上的速度為15km/h；

②小明途中休息了O.lh；

③如果小明兩次經過途中某一地點的時間間隔為0.15h,那么該地

點離甲地5.75km.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

2.（2015連云港）如圖是某地區(qū)一種產品30天的銷售圖象，圖①是

產品日銷售量M單位：件）與時間《單位：天）的函數關系，圖②是一

件產品的銷售利潤z（單位：元）與時間（單位：天）的函數關系，已知日

銷售利潤=日銷售量又一件產品的銷售利潤.下列結論錯誤的是

（）

A.第24天的銷售量為200件

B.第10天銷售一件產品的利潤是15元

C.第12天與第30天這兩天的日銷售利潤相等

D.第30天的日銷售利潤是750元

【答案】c

3.（2016重慶）為增強學生體質，某中學在體育課中加強了學生的

長跑訓練.在一次女子800米耐力測試中，小靜和小茜在校園內200

米的環(huán)形跑道上同時起跑，同時到達終點；所跑的路程S（米）與所用

的時間/（秒）之間的函數圖象如圖所示，則她們第一次相遇的時間是

起跑后的第秒.

【答案】120

4.（2016武漢）某公司計劃從甲、乙兩種產品中選擇一種生產并銷

售，每年產銷工件.已知產銷兩種產品的有關信息如下表:

每年其他費每年最大

每件售價每件成本

產品用產

（萬元）（萬元）

（萬元）銷量（件）

甲6a20200

乙201040+0.05/80

其中。為常數，且3WaW5.

(1)若產銷甲、乙兩種產品的年利潤分別為“萬元、”萬元，直接

寫出力、”與％的函數關系式；

(2)分別求出產銷兩種產品的最大年利潤；

(3)為獲得最大年利潤，該公司應該選擇產銷哪種產品？請說明理

由.

解：(1)y]=(6—q)%—20(0V%W200),-0.05?+10^-40(0<^

W80)；

(2)甲產品：?「3WaW5,隨％的增大而增大，

.?.當％=200時，)1機依=1180—200磯3忘。忘5).

乙產品：y2=-0.05%2+10x—40(0V%W80)

/.當0V%W80時,經隨匯的增大而增大,

當％=80時一，y2y=440(萬元).

.?.產銷甲種產品的最大年利潤為(1180—200。)萬元，產銷乙種產品的

最大年利潤為440萬元；

(3)1180-200?>440,解得3Wa<3.7時，此時選擇甲產品；

1180-2000=440,解得丁=3.7時,此時選擇甲乙產品；

1180-200a<440,解得3.7V“W5時,此時選擇乙產品.

...當3WaV3.7時，生產甲產品的利潤高；當。=3.7時，生產甲乙兩

種產品的利潤相同；3.7VaW5時一，生產乙產品的利潤高.

中考達標

模擬自測

A組基礎訓練

一、選擇題

1.（2016宜賓）如圖是甲、乙兩車在某時段速度隨時間變化的圖象,

下列結論錯誤的是（）

A.乙前4秒行駛的路程為48米

B.在。到8秒內甲的速度每秒增加4米/秒

C.兩車到第3秒時行駛的路程相等

D.在4至8秒內甲的速度都大于乙的速度

【答案】C

2.小明從家出發(fā)，外出散步，到一個公共閱報欄前看了一會報后，

繼續(xù)散步了一段時間，然后回家，如圖描述了小明在散步過程中

離家的距離s（米）與散步所用時間《分）之間的函數關系，根據圖

象，下列信息錯誤的是（）

A.小明看報用時8分鐘

B.公共閱報欄距小明家200米

C.小明離家最遠的距離為400米

D.小明從出發(fā)到回家共用時16分鐘

【答案】A

第1題

3.（2016安徽）一段筆直的公路AC長20千米，途中有一處休息點

B,A3長15千米，甲、乙兩名長跑愛好者同時從點4出發(fā)，甲以15

千米/時的速度勻速跑至點B.原地休息半小時后，再以10千米/

時的速度勻速跑至終點C；乙以12千米/時的速度勻速跑至終點

C.下列選項中，能正確反映甲、乙兩人出發(fā)后2小時內運動路程y

（千米）與時間％（小時）函數關系的圖象是（）

C.D.

【答案】A

4.（2016荊門）如圖，正方形A8CQ的邊長為2cm.動點、P從點A

出發(fā)，在正方形的邊上沿A-3-C的方向運動到點C停止，設點P

的運動路程為％（cm）,在下列圖象中，能表示△人￡）「的面積》（cm?）關

于％（cm）的函數關系的圖象是（）

第4題

【答案】A

二、填空題

5.（2016重慶）甲、乙兩人在直線道路上同起點、同終點、同方向,

分別以不同的速度勻速跑步1500米，先到終點的人原地休息，已知

甲先出發(fā)30秒后，乙才出發(fā)，在跑步的整個過程中，甲、乙兩人的

距離y（米）與甲出發(fā)的時間％（秒）之間的關系如圖所示，則乙到

終點時，甲距終點的距離是米.

y/m

75

0

30180x/s

第5題

【答案】175

6.（2016沈陽）在一條筆直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、

3兩地之間，甲，乙兩車分別從4、3兩地出發(fā)，沿這條公路勻速行

駛至C地停止.從甲車出發(fā)至甲車到達C地的過程，甲、乙兩車各

自與C地的距離＞'（km）與甲車行駛時間*h）之間的函數關系如圖表

示，當甲車出發(fā)h時，兩車相距350km.

【答案】之

2

7.（2016蘇州）某商場在“五一”期間舉行促銷活動，根據顧客按

商品標價一次性購物總額，規(guī)定相應的優(yōu)惠方法：①如果不超過500

元，則不予優(yōu)惠；②如果超過500元，但不超過800元，則按購物總

額給予8折優(yōu)惠；③如果超過800元，則其中800元給予8折優(yōu)惠，

超過800元的部分給予6折優(yōu)惠.促銷期間，小紅和她母親分別看中

一件商品，若各組單獨付款，則應分別付款480元和520元；若合并

付款，則她們總共只需付款元.

【答案】830或910

三、解答題

8.某政府為了增強城鎮(zhèn)居民抵御大病風險的能力，積極完善城鎮(zhèn)居

民醫(yī)療保險制度，納入醫(yī)療保險的居民的大病住院醫(yī)療費用的報銷比

例標準如下表：

醫(yī)療費用范圍報銷比例標

準

不超過8000元不予報銷

超過8000元且不超過30000元的部50%

分

超過30000元且不超過50000元的60%

部分

超過50000元的部分70%

設享受醫(yī)保的某居民一年的大病住院醫(yī)療費用為工元，按上述標準報

銷的金額為y元.

（1）直接寫出％W50000時-，y關于％的函數關系式，并注明自變

量％的取值范圍；

（2）若某居民大病住院醫(yī)療費用按標準報銷了20000元，問他住

院醫(yī)療費用