泰勒公式及其應(yīng)用

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泰勒公式及其應(yīng)用

許文鋒

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)2023級6班指導(dǎo)老師：謝驪玲

中文摘要

文章簡要介紹了泰勒公式的證明及其推導(dǎo)過程，詳細(xì)探討了泰勒公式在高等

數(shù)學(xué)、數(shù)值分析、數(shù)值最優(yōu)化理論、其他非數(shù)學(xué)領(lǐng)域等應(yīng)用,其中包括利用泰勒公式求近似值、證明積分、不等式、求行列式等高等數(shù)學(xué)問題；在數(shù)值分析問題上面主要探討了泰勒公式在數(shù)值微積分及微分方程數(shù)值解上的應(yīng)用；在最優(yōu)化問題上面，分別探討了泰勒公式在理論證明和算法設(shè)計(jì)上面的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：泰勒公式，高等數(shù)學(xué)，數(shù)值分析，數(shù)值最優(yōu)化，應(yīng)用

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泰勒公式及其應(yīng)用

TaylorFormulaanditsApplication

XuWenFeng

（Grade07,Class6,MajorinInformationandComputingScience,Schoolof

Mathematics,

SouthChinaNormalUniversity)

Tutor:XieLiLing

Abstract

ThispaperbrieflyintroducestheproofofTayloranditsderivation.AndwediscusstheapplicationofTaylorformulaindetailinsomefieldssuchasadvancedmathematics,numericalanalysis,numericaloptimizationtheoryandotherapplicationsinsomenon—mathematicalfields,includingusingTaylorformulatosolvesomeadvancedmathematicalproblemssuchasapproximation,proofofintegral,inequality,solutionofdeterminantetc.InnumericalanalysiswemainlydiscusstheapplicationsofTaylorformulainnumericaldifferentiationandnumericalintegration.Asfornumericaloptimization，wediscusstheapplicationsofTaylorformulaintheoreticalproofandalgorithmdesign.

Keyword：Taylorformula,advancedmathematics,numericalanalysis,numericaloptimization,applications

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泰勒公式及其應(yīng)用

一、前言

對于某些函數(shù)，假使我們要求其在某一點(diǎn)上的值，有時(shí)是無法通過直接計(jì)算得到的.在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)和微分概念時(shí)我們已經(jīng)知道，假使函數(shù)

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)??(x?x0)f(x0)?f?(x0)(x?x0)f在x0點(diǎn)可導(dǎo)，則

，即在點(diǎn)

x0附近，用一次多項(xiàng)式的高階無窮小.然而在

迫近函數(shù)

f(x)時(shí)，其誤差為(x?x0)尋常的場合中，取一次的多項(xiàng)式迫近是不夠的，往往需要用二次或高于二次的多項(xiàng)式去迫近，因此我們提出了用一個(gè)多項(xiàng)式去迫近一個(gè)函數(shù)，泰勒公式就是滿足上述迫近性質(zhì)的多項(xiàng)式.泰勒公式特別在一些近似計(jì)算和數(shù)值方法上發(fā)揮著舉足輕重的作用.本文分為三部分，第一部分是給出了本文所需要用的定理和推論；其次部分是一元泰勒公式的推導(dǎo)和證明以及多元泰勒公式的介紹；第三部分是通過多個(gè)實(shí)例介紹泰勒公式的應(yīng)用，包括在高等數(shù)學(xué)和數(shù)值計(jì)算方面的應(yīng)用。

二、預(yù)備知識及定理

1.柯西中值定理設(shè)1函數(shù)

(x?(a,b))f(x),g(x)滿足是在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?內(nèi)可導(dǎo)，

?(a,b)，使

f?(?)g?(?)?f(b)?f(a)g(b)?g(a)g?(x)?0

則至少存在一點(diǎn)?

2.拉格朗日中值定理取g(x)?x時(shí)候，就有

f?(?)?f(b)?f(a)b?a

于是就得到了拉格朗日中值定理.3.連續(xù)函數(shù)介值定理

函數(shù)

fmax,fminf(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在該閉區(qū)間必有最大值和最小值

fmax?fmin，且.那么，對于??(a???b)?[fmin,fmax]在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存

在一點(diǎn)?，使得特別地，當(dāng)4.比較原則設(shè)?有

unf(?)??

f(?)?0fmin?0,fmax?0時(shí)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使得

和?vn是兩個(gè)正項(xiàng)級數(shù)，假使存在某整數(shù)N，對于一切n?N都

un?vn

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則

(i)若級數(shù)?(ii)若級數(shù)?

若函數(shù)

f(x)vnun收斂，則級數(shù)?發(fā)散，則級數(shù)?unvn也收斂；也發(fā)散.

三、一元泰勒公式

在含有x的開區(qū)間(a,b)內(nèi)有直到n?x0)?1階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)函數(shù)在此

區(qū)間內(nèi)時(shí)，可展開為一個(gè)關(guān)于(xf(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?的多項(xiàng)式和一個(gè)余項(xiàng)的和：

2f??(x0)2!(x?x0)???f(n)(x0)n!(x?x0)n?f(n?1)(?)(n?1)!(x?x0)n?1其中Rn(x)?f(n?1)(?)(n?1)!(x?x0)n?1?在x和x0之間的一個(gè)數(shù)，該余項(xiàng)Rn(x)為拉格

朗日余項(xiàng)。

1.泰勒公式的推導(dǎo)過程

我們知道

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)??，根據(jù)拉格朗日中值定理導(dǎo)出的有

，其中誤差?是在?x?0限增量定理有l(wèi)im?x?0f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x即

x?x0的前提下才趨于

0，所以在近似計(jì)算中往往不夠確切，于是我們需要一個(gè)

能夠確切計(jì)算的而且能估計(jì)出誤差的多項(xiàng)式：

p(x)?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2???an(x?x0)n

來近似表達(dá)函數(shù)

f(x)并且誤差為Rn(x)?f(x)?p(x)；

(n)設(shè)多項(xiàng)式p(x)滿足p(x0)因此可以得出a0,a1?a1?f?(x0)an?f(x0),p?(x0)?f?(x0)?p(x0)?f(n)(x0)

.顯然，p(x0)，所以

?a0，所以a0f??(x0)2!??f(x0)；p?(x0)?a1，所以

；

p??(x0)?2!a2a2?p(n)(x0)?n!an，所以有

an?f(n)(x0)n!

因此，多項(xiàng)式p(x)的各項(xiàng)系數(shù)已經(jīng)全部求出了，多項(xiàng)式p(x)為：

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p(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)2???f(n)(x0)n!(x?x0)n

其實(shí)要推出泰勒公式的表達(dá)式并不難，關(guān)鍵就是要推出其誤差表達(dá)式，即余項(xiàng)。2.泰勒公式余項(xiàng)的證明

我們利用柯西中值定理來推出泰勒公式的余項(xiàng)（拉格朗日余項(xiàng)）：設(shè)Rn(x)?f(x)?p(x)

(n)于是有Rn(x0)所以有Rn(x0)?f(x0)?p(x0)?0?(x0)?Rn??(x0)???Rn?Rn(x0)?0

根據(jù)柯西中值定理可得：

Rn(x)(x?x0)(n?1)?Rn(x)?Rn(x0)(x?x0)(n?1)?0??(?1)Rn(n?1)(?1?x0)n?1是在x和x0之間的一個(gè)數(shù)；

對上式再次使用柯西中值定理，可得：

?(?1)Rn(n?1)(?1?x0)n??(?1)?Rn?(x0)Rn((n?1)(?1?x0)n?0)???(?2)Rnn(n?1)(?2?x0)(n?1)?2是在?1和x0之

間的一個(gè)數(shù)；

連續(xù)使用柯西中值定理nRn(x)(x?x0)(n?1)?1次后得到：

?Rn(n?1)(?)(n?1)!這里?是介于x和x0之間的一個(gè)數(shù)。

?0由于p(n)(x)Rn(n?1)?n!an(n?1)，n!an是一個(gè)常數(shù)，故p(n?1)(x)，于是得到：

(x)?f(x)，綜上可得，余項(xiàng)：Rn(x)?f(n?1)(?)(n?1)!(x?x0)n?1?介于x和x0之間

此余項(xiàng)又稱為拉格朗日余項(xiàng)。

到此為止，我們知道了泰勒公式的一般形式可以表示為：

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)2???f(n)(x0)n!(x?x0)n?Rn(x)

其中Rn(x)為泰勒公式的余項(xiàng)，它可以有一下幾種形式：(1)佩亞諾（Peano）余項(xiàng)Rn(x)??((x?x0))n

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n?1n1n1n12n2ln?ln(1?)???13n3?14n4???1n,

所以

1n?11nln?所以

un?1n?lnn?1n?0

故該級數(shù)是正向級數(shù).又由于

n?1n1n12n2ln???13n3?o(1n3)?1n?1n2?14n3?(1n?13)?1n?13

2n22n2所以

1nn?1n1n1n13un??ln??(?)?13

2n22n2?由于?n?113收斂,所以由正向級數(shù)比較原則知級數(shù)

2n2??(n?11n?lnn?1n)收斂

(6)利用泰勒公式求定積分的近似值例1.6求定積分?1sinxxdx的近似值

0分析：由于被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，用牛頓-萊布尼茲公式無法求出其確切的解.若用泰勒展開，就能便利的求得其近似解.解：由泰勒公式得

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sinx?x?故有

sinxx?1?x2x33!?x5sin(?x??7!72?)x

75!3!?x4sin(?x??7!72?)x65!

所以由牛頓-萊布尼茲公式

1?sinxxdx?(x?x303?3!?x511sin(?x?7!72?)xdx65?5!)0??

0由于,故?1sin(?x?72?)?1

1?1?1?1?1?1?1?1?1?1?1?0.09461sinxxdx?1?03!35!57!73!35!5

(7)利用泰勒公式求行列式的值例1.7求n階行列式D的值

xzyxz?zyyx?z?????yyy?xD=

z?z

分析：用行列式的性質(zhì)直接求解該行列式是比較困難的，但是假使把行列式看作是某個(gè)變量的泰勒展開，然后再求解就十分簡單了.

xzyxz?zyyx?z?????yyy?x解：設(shè)Dn(x)?z?z

則Dn(x)在z上的泰勒展開為

Dn(x)?Dn(z)??(z)Dn1!(x?z)???(z)Dn2!(x?z)2???Dn(n)(z)n!(x?z)n

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zyy?yzzy?y其中Dn(z)?zzz?y

?????zzz?z將k列乘(-1)+第k?1列，k?n,n?1?2

z-y00?y0z?y0?y故Dn(z)?00z?y?y?z(z?y)n?1

?????000?z又對Dn(x)求一階導(dǎo)數(shù)

100?0xyy?yxzxy?y010?0zD?n(x)?zzx?y?zzx?y???z???????????zzz?xzzz?x0xy?y?nzx?y?nD????n?1(x)

zz?x因此有Dn?(x)?nDn?1(x)

根據(jù)遞推關(guān)系有Dn?-1(x)?(n?1)Dn?2(x)

?

D?2(x)?2D1(x)

D1?(x)?1

(D1(x)?x)

再有遞推關(guān)系有Dn??(x)?nD?n?1(x)?

D(n)n(x)?nD(n?1)n?1(x)

有上面兩個(gè)遞推關(guān)系可以得到：

D?n(z)?nDn?1(z)?nz(z?y)n?2

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yy?xy?zx????00?yyy?1

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??(z)?nDn??1(z)?n(n?1)Dn?2(z)?n(n?1)z(z?y)Dnn?3

???(z)?nDn???1(z)?n(n?1)Dn??1(z)?n(n?1)(n?2)Dn?3(z)?n(n?1)(n?2)z(z?y)Dnn?4?

Dn(n?1)(z)?n(n?1)?2D1(z)

Dn(n)(z)?n!

所以Dn(x)?z(z?y)n?1?nz(z?y)n?2(x?z)?n(n?1)2!nz(z?y)n?3(x?z)2

假使z

?y???n(n?1)?2(n?1)!z(x?z)n?1?(x?z)

，則

n?1Dn(x)?nz(x?z)?(x?z)n?(x?z)n?1[x?(n?1)z]

若

z?y，則

z[(z?y)nDn(x)?z?y?n(z?y)n?1(x?z)?n(n?1)2!(z?y)n?2(x?z)2

???n(n?1)?2(n?1)!(z?y)(x?z)n?1?(x?z)]?nyz?y(x?z)n

?zz?y[(z?y)?(x?z)]n?yz?y(x?z)n

?z(x?y)n?y(x?z)nz?yn?1

z?yz?y

?(x?z)[x?(n?1)z]?因此行列式D??z(x?y)n?y(x?z)n?z?y?

2.泰勒公式在數(shù)值分析上面的應(yīng)用(1)泰勒公式在插值問題中的應(yīng)用

泰勒公式的思想就是用一個(gè)多項(xiàng)式去迫近某個(gè)連續(xù)函數(shù)，從而可以簡化計(jì)算.在數(shù)值分析之中，多項(xiàng)式插值是一種常見的迫近法，利用泰勒公式，也能實(shí)現(xiàn)插值近似計(jì)算.

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泰勒公式及其應(yīng)用

例2.1對y?ex進(jìn)行插值計(jì)算，求其近似值

利用泰勒公式將下式展開成泰勒級數(shù)形式ex?t?ex?et?e(1?t?x12t2??)(2.1)

假設(shè)因子ex為已知的.將該級數(shù)在t2項(xiàng)后截?cái)?，這