留數(shù)定理在定積分中的應(yīng)用

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留數(shù)定理在定積分中的應(yīng)用

1．留數(shù)定義及留數(shù)定理

1．1留數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)()fz以有限點(diǎn)a為孤立點(diǎn)，即()fz在點(diǎn)a的某個(gè)去心鄰域0zaR?內(nèi)解析，則積分()()1:,02fzdzzaRiρρπΓ

Γ?=?為()fz在點(diǎn)a的留數(shù)，記為：()Reza

sfz=．1．2留數(shù)定理

介紹留數(shù)定理之前，我們先來(lái)介紹復(fù)周線的柯西積分定理：設(shè)D是由復(fù)周線012CCCC--=+++…nC-所圍成的有界連通區(qū)域，函數(shù)()fz在D內(nèi)解析，在_

DDC=+上連續(xù)，則()0Cfzdz=?．

定理1[]1

（留數(shù)定理）設(shè)()fz在周線或復(fù)周線C所范圍的區(qū)域D內(nèi)，除12,,aa…,na外解析，在閉域_

DDC=+上除12,,aa…,na外連續(xù)，則（“大范圍〞積分）()()12Rekn

zakCfzdzisfzπ===∑?．（1）證明以ka為心，充分小的正數(shù)kρ為半徑畫圓周:kkzaρΓ?=（1,2,k=…,n）使這些圓周及內(nèi)部均含于D，并且彼此相互隔離，應(yīng)用復(fù)周線的柯西定理得

()()1knkCfzdzfzdz=Γ=∑??，

由留數(shù)的定義，有

()()2Rek

kzafzdzisfzπ=Γ=?．特別地，由定義得()2Rek

kzafzdzisπ=Γ=?，

代入（1）式得()()12Rekn

zakCfzdzisfzπ===∑?．

2．留數(shù)定理在定積分中的應(yīng)用

利用留數(shù)計(jì)算定積分活反常積分沒(méi)有普遍的實(shí)用通法，我們只考慮幾種特別類型的積分．

2．1形如()20

cos,sinfxxdxπ

?型的積分

這里()cos,sinfxx表示cos,sinxx的有理函數(shù)，并且在[]0,2π上連續(xù)，把握此類積分要注意，第一：積分上下限之差為2π，這樣當(dāng)作定積分時(shí)x從0經(jīng)歷變到2π，對(duì)應(yīng)的復(fù)變函數(shù)積分正好沿閉曲線繞行一周．其次：被積函數(shù)是以正弦和余弦函數(shù)為自變量。當(dāng)滿足這兩個(gè)特點(diǎn)之后，我們可設(shè)ixze=，則dzizdx=，

21sin22ixixeezxiiz==，21cos22ixixeezxz

-++==得

()2221011cos,sin,22zzzdzfxxdxfzizizπ

=??--=?????

()12Rekn

zzkisfzπ===∑．

例1計(jì)算2053cosdIπ

θθ

=+?．解令izeθ=，則()2210253cos3103zdIdzizzπ

θθ===+++??()()12

1313zdzizz==++?()()13

212Re3

13zisizzπ=-??=???++??32π=

．例2

計(jì)算()2202dxIxπ

=+

?．解()2221021222zdxdz

Iizxzzπ===??++???????()2124

43zz

dzizz==+?

124

4313

zzdzi

zz==

++?，由于分母有兩個(gè)根12zz==121,1zz，因此I=142Re43zzisi

ππ=?=．2．2形如

()fxdx+∞

-∞?型的積分

把握此類積分要注意，首先分析其函數(shù)特點(diǎn)，函數(shù)必需滿足一下兩條才能適用。第一：()()()

PzfzQz=，其中()Pz，()Qz均為關(guān)于z的多項(xiàng)式，且分母()Qz的次數(shù)至少比分子()Pz的次數(shù)高兩次；其次：()fz在半平面上的極點(diǎn)為kz（k＝1，2，3，…，

n），在實(shí)軸上的極點(diǎn)為kx（k＝1，2，3，…，n）則有

()()12Reknzzkfxdxisfzπ+∞

==-∞??=????

∑?．例3計(jì)算2

421xIdxxx+∞

-∞=++?．解取()()()

22

4222111zzfzzzz

zzz==++

-+++，

孤立點(diǎn)為12341111,,,2222zzzz=+=-=-=--，其中落在上半平面的為1z，3z，故

(

)212RekzzkIisfzπ====

∑。

例4計(jì)算()()22220xIdxaxa+∞

-∞=

+?．

解由于()2222lim0zzzza→∞?=+，且上半平面只有一個(gè)極點(diǎn)ia，因此

()2222xIxa+∞

-∞=

+?()22222Rezaiziszaπ==?+

()222zai

zizaiπ=??=???+????2a

π=．2．3形如()()imxPxedxQx+∞

-∞?型的積分2．3．1留數(shù)公式

定理2[]1（若爾當(dāng)引理）設(shè)函數(shù)()gz沿半徑圓周:ReiRzθΓ=（0θπ≤）上連

續(xù)，且()lim0Rgz→+∞=在RΓ上一致成立，則()()lim00RimzRgzedzmΓ→+∞=?．

證明()00,0Rεε??，使當(dāng)0RR時(shí)，有(),Rgzzε∈Γ

于是()()Resin00ReReiRimziimimRgzedzgedRedθππθθ

θθεθ-Γ=≤???（2）這里利用了()Re,ReiigiRθθε=以及ResincossiniimmRimRmReeeθ

θθθ-+-==于是由若爾當(dāng)不等式2sinθ

θθπ≤≤（02π

θ≤≤）將（2）化為

()sin02RimzmRgzedzRedπ

θεθ-?！??()220232mRmReRemRmmπ

θθπθπεπεεπ=--=????=-=-??????即()lim0RimzRgzedz?！?∞=?．

2．3．2舉例

例5計(jì)算2210ix

xeIdxxx+∞

-∞=-+?．解不難驗(yàn)證，函數(shù)()2210

iz

zefzzz=-+滿足若爾當(dāng)引理?xiàng)l件．這里1m=，()2210

zgzzz=-+，函數(shù)有兩個(gè)一階極點(diǎn)13zi=+及13zi=-，()()()3

1321313Re6210iizziziiezesfzizz-+=+=++==-+

于是2210ix

xeIdxxx+∞

-∞=-+?()31326iieiiπ-++=()()33cos13sin13cos1sin133eieπ

π

--=-++．

2．4形如()()cosPxmxdxQx+∞

-∞?和()()sinPxmxdxQx+∞-∞?型積分定理3[]1設(shè)()()()

PxgzQx=，其中()Px和()Qx是互質(zhì)多項(xiàng)式，并且符合條件：（1）()Qx的次數(shù)比()Px的次數(shù)高；

（2）在實(shí)軸上()0Qx≠；

（3）0m．

則有

()()2Rek

kimximzzaimagxedxisgzeπ+∞

=-∞??=??∑?（3）特別地，將（3）式分開實(shí)虛部，就可用得到形如

()()cosPxmxdxQx+∞-∞?及()()sinPxmxdxQx+∞-∞?的積分．

例6計(jì)算()()

22

cos19xIdxxx+∞

-∞=++?．解利用()()()221

019zzz→→∞++以及若爾當(dāng)引理，且分母在上半圓只有兩個(gè)

孤立奇點(diǎn)zi=和3zi=，得到

()()

22

cos19xIxx+∞

-∞=++?()()()()22223Re2ReRe1919iziz

zizieeisszzzzπ==???=+?++++??

()()()()22223Re21919izizzizieeizzzzπ==???=+??++++??

13Re21648eeiiiπ--??=+?-??

()233124eeπ

=-．

例7計(jì)算440sinxmxIdxxa

+∞

=+?（0,0ma）．解被積函數(shù)為偶函數(shù)，所以

440sinxmxIdxxa+∞=+?44441sin122imxxmxxedximdxxaxa+∞+∞-∞-∞==++??，

設(shè)函數(shù)關(guān)系式為()44

imz

zefzza=+，它共有四個(gè)一階極點(diǎn)，即24kikaaeππ

+=（0,1,2,3k=）

得()44Rekk

imz

zazazesfzza===+（0,1,2,3k=），由于0a，所以()fz在上半面只有兩個(gè)一階極點(diǎn)0a及1a，于是

444402Rekmkimximz

zazaxezedxisxazaπ+∞=-∞

=++∑?

2i