數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)：隨機變量及其分布

隨機變量及其分布知識網(wǎng)絡(luò)知識要點梳理知識點一：離散型隨機變量及其分布列.離散型隨機變量:.離散性隨機變量的分布列:.離散型隨機變量的分布列都具有下面兩個性質(zhì):PjN0,i=1,2…；P1+P2+-=1知識點二:離散型隨機變量的二點分布知識點三：離散型隨機變量的二項分布在一次隨機試驗中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)：是一個隨機變量，如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P,那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是1七=? …堂=0,12…/應(yīng)=1一⑼,于是得到隨機變量歲的概率分布如下:01…K…Np……若歲?前也而，則豆歲"呼\卬呼知識點四：離散型隨機變量的幾何分布獨立重復(fù)試驗中，某個事件第一次發(fā)生時所作試驗的次數(shù)〈也是一個正整數(shù)的離散型隨機變量。"表"汩表示在第k次獨立重復(fù)試驗時該事件第一次發(fā)生，

如果把第k次重復(fù)試驗時事件A發(fā)生記作Ak，事件A不發(fā)生記作&且=尸尸（4）=5那么F@二對二尸（耳耳…屈4）=（1那么離散型隨機變量，的概率分布是：1 2 3 … k稱這樣的隨機變量《服從幾何分布，記作曲上為"Q"產(chǎn)，其中無二°，1，2,一bl遜」弊=匕f若隨機變量4服從幾何分布鼠也乃二Q一或）△，則中，p知識點五：超幾何分布在含M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品數(shù)，則事件｛*二陽發(fā)生的概率為:.-fkr-i'M-.tF〈X=4=疝盟-如金，上=0,12…/其中心mm｛跖*n<N,M<N,根M,NeIf若隨機變量X服從超幾何分布鱷二絲則曾若隨機變量X服從超幾何分布鱷二絲則曾稱分布列X01…mP…為超幾何分布列。離散型隨機變量X服從超幾何分布。知識點六：離散型隨機變量的期望與方差1、離散型隨機變量的期望：2、離散型隨機變量的方差：經(jīng)典例題精析類型一：獨立重復(fù)試驗的概率1、把n個不同的球隨機地放入編號為1,2,…，m的m個盒子內(nèi)，求1號盒恰有r個球的概率?【變式1】十層電梯從低層到頂層停不少于3次的概率是多少？停幾次概率最大?【變式2】實力相等的甲、乙兩隊參加乒乓球團體比賽，規(guī)定5局3勝制(即5局內(nèi)誰先贏3局就算勝出并停止比賽).(1)試分別求甲打完3局、4局、5局才能取勝的概率.(2)按比賽規(guī)則甲獲勝的概率.類型二：分布列的性質(zhì)2、若離散型隨機變量，的概率分布列為:101p9c2-c3-8c試求出常數(shù)c與，的分布列?！咀兪?】某一射手射擊所得的環(huán)數(shù)，的分布列如下:45678910P0.020.040.060.090.280.290.22求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)三7”的概率.【變式2】隨機變量4的分布列如下：J—101F0bc其中&成二成等差數(shù)列，若 3,則"4的值是類型三：離散型隨機變量的分布列3、某人參加射擊，擊中目標(biāo)的概率是7。①設(shè)歲為他射擊6次擊中目標(biāo)的次數(shù)，求隨機變量的分布列；②設(shè)寸為他第一次擊中目標(biāo)時所需要射擊的次數(shù)，求b的分布列；③若他只有6顆子彈，若他擊中目標(biāo)，則不再射擊，否則子彈打完，求他射擊次數(shù)的分布列。舉一反三：【變式1】在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求：(1)不放回抽樣時，抽到次品數(shù)，的分布列；(2)放回抽樣時，抽到次品數(shù)n的分布列.【變式2】從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機抽取1件，假設(shè)事件工：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率=0%.(1)求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率中；(2)若該批產(chǎn)品共100件，從中任意抽取2件，^表示取出的2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求^的分布列.【變式3】某運動員射擊一次所得環(huán)數(shù)充的分布如下:X678910P00.20.30.30.2現(xiàn)進行兩次射擊，以該運動員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績，記為0.(I)求該運動員兩次都命中7環(huán)的概率；(II)求’的分布列；類型四：離散型隨機變量的期望和方差4、已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個紅球和4個黑球.現(xiàn)從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取2個球.(I)求取出的4個球均為黑球的概率；(II)求取出的4個球中恰有1個紅球的概率；(III)設(shè)〈為取出的4個球中紅球的個數(shù)，求4的分布列和數(shù)學(xué)期望.舉一反三：【變式1】某地區(qū)為下崗人員免費提供財會和計算機培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項培訓(xùn)、參加兩項培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過財會培訓(xùn)的有60%,參加過計算機培訓(xùn)的有75%,假設(shè)每個人對培訓(xùn)項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響.(I)任選1名下崗人員，求該人參加過培訓(xùn)的概率；(II)任選3名下崗人員，記〈為3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)，求歲的分布列和期望.【變式2】某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經(jīng)過兩次燒制，當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M入第二次燒制，兩次燒制過程相互獨立.根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為^方，°6,°4,經(jīng)過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0上，°5,075.(1)求第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率；(2)經(jīng)過前后兩次燒制后，合格工藝品的個數(shù)為J，求隨機變量〈的期望.【變式3】A、B兩個代表隊進行乒乓球?qū)官悾筷犎爢T，A隊隊員是A1,A2,A3,B隊隊員是B1,B2,B3,按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負(fù)概率如下：對陣隊員A隊隊員勝的概率A隊隊員負(fù)的概率A對B21133A對B232255A對B233355現(xiàn)按表中對陣方式出場，每場勝隊得1分，負(fù)隊得0分，設(shè)A隊、B隊最后所得總分分別為，、n，(1)求，、n的概率分布；(2)求E；、En。5、甲乙兩人獨立解某一道數(shù)學(xué)題，該題被甲獨立解出的概率為0.6,被甲或乙解出的概率為0.92。(1)求該題被乙獨立解出的概率；(2)求解出該題的人數(shù)，的數(shù)學(xué)期望和方差。舉一反三：【變式】一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，從他的家到學(xué)校的途中有6個交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事件是獨立的，并且概率都是行。(I)求這名學(xué)生首次遇到紅燈前，已經(jīng)過了兩個交通崗的概率；(II)求這名學(xué)生在途中遇到紅燈數(shù)，的期望與方差。

舉一反三：【變式1】利用下列盈利表中的數(shù)據(jù)進行決策，應(yīng)選擇的方案是.盈方Y(jié)八案Ai*2a2550.70*20980-30雨265282-645261678.—10【變式2】甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為8、n，￡和0的分布列如下:￡012P13n012P315試對這兩名工人的技術(shù)水平進行比較?！咀兪?】甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨立的隨機變第與的且或不的分布列為：;123pa0.10.6123p0.3b0.3⑴求a、b的值；⑵甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分均小于3的概率誰更大?⑶計算或不的期望與方差，并以此分析甲乙的技術(shù)狀況。高考題萃(2008全國I)已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物.血液化驗結(jié)果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患病.下面是兩種化驗方法：方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止.方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗.若結(jié)果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗.(I)求依方案甲所需化驗次數(shù)不少于依方案乙所需化驗次數(shù)的概率；(II)歲表示依方案乙所需化驗次數(shù)，求^的期望.(2008全國II).購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費以元，若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險，則可以獲得10000元的賠償金.假定在一年度內(nèi)有10000人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立.已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為1一°,99/”.(I)求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率中；(II)設(shè)保險公司開辦該項險種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50000元，為保證盈利的期望不小于0,求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(單位：元).(2008北京).甲、乙等五名奧運志愿者被隨機地分至隰&四門四個不同的崗位服務(wù)，每個崗位至少有一名志愿者.(I)求甲、乙兩人同時參加工崗位服務(wù)的概率；(I)求甲、乙兩人不在同一個崗位服務(wù)的概率；(III)設(shè)隨機變量^為這五名志愿者中參加工崗位服務(wù)的人數(shù)，求歲的分布列.(2008四川).設(shè)進入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為$,購買乙種商品的概率為°石，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品也是相互獨立的。(I)求進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；(I)求進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；(I)記歲表示進入商場的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)，求歲的分布列及期望。(2008安徽)為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物。某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳成活與否是相互獨立的，成活率為p，設(shè)^為成活沙柳的或株數(shù)，數(shù)學(xué)期望E歲二工標(biāo)準(zhǔn)差說為2。(I)求n,p的值并寫出歲的分布列；(II)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補種，求需要補種沙柳的概率。(2008山東)甲乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分。假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為馬，乙隊中3人答對的22概率分別為馬'馬’5且各人正確與否相互之間沒有影響.用w表示甲隊的總得分.(I)求隨機變量W分布列和數(shù)學(xué)期望；(II)用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求P(AB).(2008江西)某柑桔基地因冰雪災(zāi)害，使得果林嚴(yán)重受損，為此有關(guān)專家提出兩種拯救果林的方案，每種方案都需分兩年實施；若實施方案一，預(yù)計當(dāng)年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5.若實施方案二，預(yù)計當(dāng)年可以使柑桔產(chǎn)量達到災(zāi)前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0.4、0.6.實施每種方案，第二年與第一年相互獨立。令點幻表示方案工實施兩年后柑桔產(chǎn)量達到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù).(1)寫出身備的分布列；(2)實施哪種方案，兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大？(3)不管哪種方案，如果實施兩年后柑桔產(chǎn)量達不到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計可帶來效益10萬元；兩年后柑桔產(chǎn)量恰好達到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計可帶來效益15萬元；柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計可帶來效益20萬元；問實施哪種方案所帶來的平均效益更大？(2008湖北)袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上筮號的有霓個(內(nèi)=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球.歲表示所取球的標(biāo)號.(I)求歲的分布列，期望和方差；(I)若好厘,助」切二"，試求a,b的值.(2008湖南)甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約.乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設(shè)每人面試合格的概率都是3，且面試是否合格互不影響.求：(I)至少有1人面試合格的概率；(II)簽約人數(shù)歲的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2008陜西)某射擊測試規(guī)則為：每人最多射擊3次，擊中目標(biāo)即終止射擊，第工次擊中目標(biāo)得4一工@二12,3)分，3次均未擊中目標(biāo)得0分.已知某射手每次擊中目標(biāo)的概率為0.8,其各次射擊結(jié)果互不影響.(I)求該射手恰好射擊兩次的概率；(II)該射手的得分記為歲，求隨機變量歲的分布列及數(shù)學(xué)期望.(2008重慶)甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進行比賽，而前一局的失敗者輪空比賽按這種規(guī)則一直進行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止.設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為5,且各局勝負(fù)相互獨立.求：(I)打滿3局比賽還未停止的概率；(I)比賽停止時已打局?jǐn)?shù)歲的分別列與期望^..(2008福建)某項考試按科目人、科目B依次進行，只有當(dāng)科目A成績合格時，才可繼續(xù)參加科目B的考試.已知每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得證書.現(xiàn)某人參加這項考試，科目A每次考試成績合格的概率均為石，科目B每次考試成績合格的概率均為5.假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響.(I)求他不需要補考就可獲得證書的概率；(I)在這項考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機會，記他參加考試的次數(shù)為自，求自的數(shù)學(xué)期望W歲.(2008廣東)隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元.設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位：萬元)為上(1)求歲的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即右的數(shù)學(xué)期望)；(3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為儲，一等品率提高為如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？14.(2008浙江)一個袋中有若干個大小相同的黑球、白球和紅球。已知從袋中任意摸2 7出1個球，得到黑球的概率是三；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是?。(I)