福建省華安縣重點中學2022-2023學年高二下學期期中考試數學試卷及參考答案

華安重點中學2022-2023學年下學期高二數學期中考試卷滿分：150分考試時間：120分鐘注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、座號等信息;2．請將答案填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共8小題，每題5分，共40分。把答案填在答題卡上。）1．已知函數，則的極小值為（

）A．-2 B．-1 C．0 D．12．直線的方向向量，直線的方向向量，則直線與的位置關系是（

）A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能確定3．曲線在處的切線方程為（

）A．B．C．D．4．直三棱柱中，若，，，則（

）A． B．C． D．5．如圖，在棱長為2的正方體中，E為的中點，則直線與平面BDE所成角的正弦值為（

）A．B． C． D．6．若函數為增函數，則的取值范圍是（

）A． B．C．D．7．若，且，則必有（

）A． B． C． D．8．函數，若關于的方程恰有四個不同的實數根，則實數范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題，每題5分，共20分。全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分。）9．已知為直線的方向向量，，分別為平面，的法向量（，不重合），那么下列說法中，正確的有（

）A．B．C．D．10．下列運算正確的是（

）A．B．C．D．11．在棱長為2的正方體中，E為的中點F為的中點，如圖建系，則下列說法正確的有（

）A．B．向量與所成角的余弦值為C．平面的一個法向量是 D．點D到直線的距離為12．下列判斷正確的是（

）A．B．C．D．第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分。把答案填在答題卡上。）13．已知在處有極值-2，則______．14．已知，，，點，若平面，則點的坐標為________．15．已知函數是函數的導函數，，對任意實數都有，則不等式的解集為______．16．已知函數，其單調增區(qū)間為_______；若對于，都有，則的取值范圍是______.四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或驗算步驟。）17．(本小題滿分10分）已知函數f（x）＝x3+ax+b的圖象是曲線C，直線y＝kx+1與曲線C相切于點（1，3）.(1)求函數f（x）的解析式；(2)求函數f（x）的遞增區(qū)間.18．(本小題滿分12分）如圖，四棱錐中，為等邊三角形，，E為的中點，平面平面.(1)求點D到平面的距離；(2)求平面與平面夾角的正弦值.19.(本小題滿分12分)已知函數，.(1)求函數的單調區(qū)間；(2)若函數與有相同的極值點，求函數在區(qū)間上的最值.20.(本小題滿分12分）如圖，在長方體中，，．若在上存在點，使得平面．(1)求線段的長；(2)求直線與平面所成角的正弦值．21.(本小題滿分12分）如圖，在三棱錐中，是正三角形，平面平面，，點，分別是，的中點.(1)證明：平面平面；(2)若，點是線段上的動點，問：點運動到何處時，平面與平面所成的銳二面角最小.22.(本小題滿分12分）已知函數.(1)若，判斷在區(qū)間上是否存在極小值點，并說明理由；(2)已知，設函數.若在區(qū)間上存在零點，求實數m的取值范圍.高二數學期中考試卷參考答案一．BBDADCBD二．9.AB10.BC11.BCD12.BCD三．(13)3(14)(15)(16),7．解：因為，且，所以，，令，，由于，所以，為偶函數，因為，當時，，所以函數在上單調遞增，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以.故選：B8．解：作出函數的圖像如下所示，當，時，，所以時遞增，當時遞減，所以當時，在處取最大值為：（如下圖所示平行于直線）；因為，即，解得或，當時，觀察圖像易知此時只有一個交點，即有一個根，要使關于的方程恰有四個不同的實數根，則需要與圖像有三個不同交點，只需要，即.12．解：選項A：，選項B：，選項C：，選項D：，構造函數，則，則得；由得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，由知，，故A錯誤；由知，，故B正確；由知，，知C正確；由知，，16．解：，，令，得出，故的單調增區(qū)間為.時，，單調遞減，設，即可轉化為，令，在上單調遞增，不等式才能恒成立，則，解得.令，時單調遞增，時單調遞減，，.故答案為：，.四．解答題：17．解：(1)∵切點為（1，3），∴k+1＝3，得k＝2，∵f'（x）＝3x2+a，∴f'（1）＝3+a＝2，得a＝﹣1，則f（x）＝x3﹣x+,由f（1）＝3得b＝3.∴f（x）＝x3﹣x+3.(2)因為，可得f′（x）＝3x2﹣1，令3x2﹣1＞0，解得x或x.所以函數f（x）的遞增區(qū)間（﹣∞，），（，+∞）.18.解：（1）取的中點O，連接，因為為等邊三角形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，∴平面，又，E為的中點，∴，∵，∴，分別以所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，設平面的法向量為，則，可取，又，所以點D到平面的距離；（2），設平面的一個法向量為，則，即，令，得平面的一個法向量為則，∴，故平面與平面夾角的正弦值為.19．解：解：(1)的定義域：，由得，由得，∴的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為.(2)，由（1）知的極值點為1.∵函數與有相同的極值點，∴，即，∴，從而，在上單調遞減，在上遞增,又，,∴在區(qū)間上，，.20．(1)解：以為原點，以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，如圖所示：設，其中，則、、、、，，，，若平面，則，，則，解得，則.(2)解：由（1）可知平面的一個法向量為，且，，因此，直線與平面所成角的正弦值為.21．解：(1)因為△ABC是正三角形，點E是BC中點，所以AEBC，又因為平面ABC平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE平面ABC，所以AE平面BCD，又因為CD平面BCD，所以CDAE，因為點E，F分別是BC，CD的中點，所以EF//BD，又因為BDCD，所以CDEF，又因為CDAE，AE∩EF，AE平面AEF，EF平面AEF，所以CD平面AEF，又因為CD平面ACD，所以平面ACD平面AEF.(2)在平面BCD中，過點E作EH⊥BD，垂足為H,設BC=4，則，DF=FC=l，.以為正交基底，建立如圖空間直角坐標系E-xyz,則,設，則,，設平面AEG的法向量為,由，得，令，故，設平面ACD的法向量為，則,即，令，則,設平面AEG與平面ACD所成的銳二面角為,則，當最大，此時銳二面角最小，故當點G為BD的中點時，平面AEG與平面ACD所成的銳二面角最小.22．解：(1)，則，則.令，則，由單調遞增，且，得在上恒